數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第六章數(shù)列§6.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法考點(diǎn)梳理1．?dāng)?shù)列的概念(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的________．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做__________)，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成__________，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)，叫做數(shù)列的通項(xiàng)．常把一般形式的數(shù)列簡(jiǎn)記作{an}．(2)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的__________與序號(hào)__________之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(3)從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數(shù)(離散的)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列________．(4)數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)__________與它的前一項(xiàng)__________(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．(5)數(shù)列的表示方法有__________、__________、__________、__________.2．?dāng)?shù)列的分類(1)數(shù)列按項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限來(lái)分，分為__________、__________.(2)按項(xiàng)的增減規(guī)律分為__________、__________、__________和__________．遞增數(shù)列?an＋1______an；遞減數(shù)列?an＋1_____an；常數(shù)列?an＋1______an.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為__________．3．?dāng)?shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系已知Sn，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＝1）_________，,（n≥2）_________.))自查自糾：1．(1)項(xiàng)首項(xiàng)a1，a2，a3，…，an，…(2)第n項(xiàng)n(3)函數(shù)值(4)anan－1(5)通項(xiàng)公式法(解析式法)列表法圖象法遞推公式法2．(1)有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列(2)遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)列＞＜＝單調(diào)數(shù)列3．S1Sn－Sn－1典型例題講練類型一數(shù)列的通項(xiàng)公式例題1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…；(3)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(4)5，55，555，5555，….解：(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式正負(fù)性可用(－1)n調(diào)節(jié)，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)．(2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積．故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2n,（2n－1）（2n＋1）).(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2).(4)將原數(shù)列改寫為eq\f(5,9)×9，eq\f(5,9)×99，eq\f(5,9)×999，…，易知數(shù)列9，99，999，…的通項(xiàng)為10n－1，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(5,9)(10n－1)．變式1寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)eq\f(2,3)，－1，eq\f(10,7)，－eq\f(17,9)，eq\f(26,11)，….(4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)an＝(－1)n·eq\f(1,n)；(2)an＝2n＋1；(3)由于－1＝－eq\f(5,5)，故分母為3，5，7，9，11，…，即{2n＋1}，分子為2，5，10，17，26，…，即{n2＋1}．符號(hào)看作各項(xiàng)依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n＋1}，故an＝(－1)n＋1·eq\f(n2＋1,2n＋1).(4)觀察數(shù)列{an}可知，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)（n為奇數(shù)），,2\s\up6(\f(n,2))（n為偶數(shù)）.))(2)∵eq\f(an＋1,an)＝2n，∴eq\f(a2,a1)＝21，eq\f(a3,a2)＝22，…，eq\f(an,an－1)＝2n－1，將這n－1個(gè)等式疊乘，得eq\f(an,a1)＝21＋2＋…＋(n－1)＝2eq\s\up6(\f(n（n－1）,2))，∴an＝2eq\s\up6(\f(n（n－1）,2)).當(dāng)n＝1時(shí)，適合．故an＝2eq\s\up6(\f(n（n－1）,2)).(3)由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.類型四數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)例題4已知數(shù)列{an}，且an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)(n∈N*)．求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)．解：因?yàn)閍n＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)是積冪形式的式子且an＞0，所以可用作商法比較an與an－1的大?。猓毫頴q\f(an,an－1)≥1(n≥2)，即eq\f(（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n－1))≥1，整理得eq\f(n＋1,n)≥eq\f(11,10)，解得n≤10.令eq\f(an,an＋1)≥1，即eq\f(（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),（n＋2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n＋1))≥1，整理得eq\f(n＋1,n＋2)≥eq\f(10,11)，解得n≥9.∴從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減．故a9＝a10＝eq\f(1010,119)最大．變式4數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(n,n2＋90)，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是()A．3eq\r(10)B．19C.eq\f(1,19)D.eq\f(\r(10),60)解：易得an＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，運(yùn)用基本不等式得，eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＝9或10時(shí)，an＝eq\f(1,19)最大．故選C.方法規(guī)律總結(jié)1．已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)從以下幾方面考慮：(1)如果符號(hào)正負(fù)相間，則符號(hào)可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)節(jié)．(2)分式形式的數(shù)列，分子和分母分別找通項(xiàng)，并充分借助分子和分母的關(guān)系來(lái)解決．(3)對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來(lái)解決．2．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2），))注意an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，還須驗(yàn)證a1是否符合an(n≥2)，是則合并，否則寫成分段形式．3．已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)掌握先由a1和遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可以用“累加法”得：an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n)．(2)已知a1且eq\f(an,an－1)＝f(n)，可以用“累乘法”得：an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n)．注：以上兩式均要求{f(n)}易求和或積．4．?dāng)?shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)單調(diào)性：若an＋1＞an，則{an}為遞增數(shù)列；若an＋1＜an，則{an}為遞減數(shù)列．(2)周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k為非零正整數(shù))，則{an}為周期數(shù)列，k為{an}的一個(gè)周期．(3)最大值與最小值：若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))則an最大；若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1，))則an最小．課后練習(xí)1．1，2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是這個(gè)數(shù)列的()A．第16項(xiàng) B．第24項(xiàng)C．第26項(xiàng) D．第28項(xiàng)解：觀察a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，得n＝26.故選C.2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an＝()A．2n－1B．n2C.eq\f(（n＋1）2,n2)D.eq\f(n2,（n－1）2)解：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn＝n2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq\f(Tn,Tn－1)＝eq\f(n2,（n－1）2).故選D.3．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝()A．7B．6C．5D．4解：依題意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，∴a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.故選D.4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－1，則滿足eq\f(an,n)≤2的正整數(shù)n的集合為()A．{1,2} B．{1,2,3,4}C．{1,2,3} D．{1,2,4}解：B5．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，則an的值為()A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgnC．2＋nlgn D．1＋nlgn解法一：∵an＋1－an＝lgeq\f(n＋1,n)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lgeq\f(n,n－1)＋lgeq\f(n－1,n－2)＋…＋lgeq\f(2,1)＋2＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)·\f(n－1,n－2)·…·\f(3,2)·\f(2,1)))＋2＝lgn＋2.解法二：an＋1＝an＋lg(n＋1)－lgn，an＋1－lg(n＋1)＝an－lgn，所以數(shù)列{an－lgn}是常數(shù)列，an－lgn＝a1－lg1＝2，an＝2＋lgn.故選A.6．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1an＝an－1，則a2017的值為()A．－1B.eq\f(1,2)C．2D．3解：根據(jù)題意，∵數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1an＝an－1，∴an＋1＝1－eq\f(1,an)，∴a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，…，可知數(shù)列的周期為3，∵2017＝3×672＋1，∴a2017＝a1＝2.故選C.7．已知數(shù)列{an}滿足as·t＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，則a8＝________.解：令s＝t＝2，則a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，則a8＝a2×4＝a2×a4＝8.故填8.8．下列關(guān)于星星圖案的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝________.解：從題圖中可觀察星星的個(gè)數(shù)構(gòu)成規(guī)律，n＝1時(shí)，有1個(gè)；n＝2時(shí)，有3個(gè)；n＝3時(shí)，有6個(gè)；n＝4時(shí)，有10個(gè)；…，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).故填eq\f(n（n＋1）,2).9．若數(shù)列{an}滿足eq\f(1,an＋1)－eq\f(p,an)＝0，n∈N*，p為非零常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”．已知正項(xiàng)數(shù)列{eq\f(1,bn)}為“夢(mèng)想數(shù)列”，且b1b2b3…b99＝299，則b8＋b92的最小值是________．解：4依題意可得bn＋1＝pbn，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．又b1b2b3…b99＝299＝beq\o\al(99,50)，則b50＝2.b8＋b92≥2eq\r(b8·b92)＝2b50＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b8＝b92，即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào)．10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a