2023-2024學(xué)年北師大版必修第二冊(cè) 平面向量基本定理 課件（53張）

§4平面向量基本定理及坐標(biāo)表示4.1平面向量基本定理導(dǎo)思1.什么是平面向量基本定理?向量的基需要滿足哪些條件?2.怎樣用基向量表示其他向量?必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)平面向量基本定理1.定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量a,存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=__________.2.基:把不共線的向量e1,e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基,記為{e1,e2}.λ1e1+λ2e23.正交基:若基中的兩個(gè)向量互相垂直,則稱這組基為正交基.4.正交分解:在正交基下向量的線性表示稱為正交分解.5.標(biāo)準(zhǔn)正交基:若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量,則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基.【思考】(1)零向量能不能作為基?提示:由于0與任何向量都是共線的,因此0不能作為基.(2)平面向量的基唯一嗎?提示:不唯一,只要兩個(gè)向量不共線,都可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基.(3)在一組基{e1,e2}下,若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2,那么λ1,μ1,λ2,μ2有何關(guān)系?提示:由已知得λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2.因?yàn)閑1與e2不共線,所以λ1-μ1=0,μ2-λ2=0,所以λ1=μ1,λ2=μ2.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)e1,e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量.(1)λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量.(

)(2)對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a,使a=λe1+μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ,μ)有無(wú)窮多個(gè). (

)(3)若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2).

(

)

(4)若存在實(shí)數(shù)λ,μ使得λe1+μe2=0,則λ=μ=0.(

)提示:(1)√.e1,e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,它們就可以表示該平面內(nèi)所有向量.(2)×.由平面向量基本定理可知,一旦一個(gè)平面的基確定,那么任意一個(gè)向量在此基下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的.(3)×.當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0時(shí),這樣的λ有無(wú)數(shù)個(gè).(4)√.實(shí)數(shù)λ,μ使得λe1+μe2=0,所以λe1=-μe2,而e1,e2是不共線的,所以只能λ=μ=0.2.已知AD,BE分別是△ABC的邊BC,AC上的中線,且,則=(

)【解析】選D.因?yàn)樗?.設(shè)O為平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心,=4e1,=6e2,則2e1-3e2等于(

)

【解析】選B.2e1-3e2.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一向量在給定基下的分解(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),,則 (

)【思路導(dǎo)引】取與作為一組基,根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出向量【解析】選A.由題得【變式探究】1.在例題中將“”改為“”,用表示=________.

【解析】

答案:

2.在例題中將“”改為“”,試用表示向量

=________.

【解析】答案:【解題策略】用基表示向量的方法1.平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)基進(jìn)行表示,轉(zhuǎn)化時(shí)一定要看清轉(zhuǎn)化的目標(biāo),要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,同時(shí)結(jié)合實(shí)數(shù)與向量積的定義,牢記轉(zhuǎn)化方向,把未知向量逐步往基方向進(jìn)行組合或分解.2.具體表示方法有兩種:①利用向量的線性運(yùn)算及法則對(duì)所求向量不斷轉(zhuǎn)化,直至能用基表示為止;②列向量方程組,利用基表示向量的唯一性求解.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖,已知,用a,b表示,則等于 (

)

【解析】選B.2.已知G為△ABC的重心,設(shè).則用a,b表示向量=__________.

【解析】如圖,連接AG并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),

答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分別是DC和AB的中點(diǎn),若=a,=b,試用a,b表示【解析】如圖所示,連接CN,則四邊形ANCD是平行四邊形.則

類(lèi)型二利用平面向量基本定理求參數(shù)(數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理)【典例】如圖,在正方形ABCD中F是邊CD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn),連接BF交AC于點(diǎn)E,若,則m+n的值是 (

)

【思路導(dǎo)引】由題意知,B,E,F三點(diǎn)共線,則,用和表示出,根據(jù)E,C,A三點(diǎn)共線,可得到μ值,整理化簡(jiǎn)即可得到m和n值.【解析】選C.由題意知,B,E,F三點(diǎn)共線,F是邊CD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn),則又E,C,A三點(diǎn)共線,則,即μ=,則所以m=-1,n=,故m+n=.【解題策略】與向量分解式有關(guān)的結(jié)論1.設(shè)a,b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,則有2.若A,B,C三點(diǎn)共線,O為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x,y,使且x+y=1.【題組訓(xùn)練】1.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC,若(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為_(kāi)_______.

【解析】所以,則λ1+λ2的值為.答案:

2.如圖,在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若,其中λ,μ∈R,則λ+μ=________.

【解析】設(shè)又因?yàn)榇鸢?

類(lèi)型三用向量解決平面幾何問(wèn)題(直觀想象,邏輯推理)【典例】如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求AP∶PM與BP∶PN.【思路導(dǎo)引】以與為基,利用平面向量基本定理求解,解題時(shí)注意條件A,P,M和B,P,N分別共線的應(yīng)用.【解析】設(shè)=e1,=e2,則=-3e2-e1,=2e1+e2.因?yàn)锳,P,M和B,P,N分別共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,μ使得=-λe1-3λe2,=2μe1+μe2.故.而=2e1+3e2,由平面向量基本定理,得解得所以,所以AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.【解題策略】用向量解決平面幾何問(wèn)題的一般步驟1.選取不共線的兩個(gè)平面向量作為基.2.將相關(guān)的向量用基向量表示,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.3.利用向量知識(shí)進(jìn)行向量運(yùn)算,得出向量問(wèn)題的解.4.再將向量問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解.【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示,已知梯形ABCD中,AB∥DC,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),求證:EF∥AB∥DC.

【證明】延長(zhǎng)EF到M,使EF=FM,連接CM,BM,EC,EB,得?ECMB.

由平行四邊形法則得由于AB∥DC,所以共線且同向,根據(jù)平面向量基本定理,存在正實(shí)數(shù)λ,使

由三角形法則得所以所以∥.由于E,D不共點(diǎn),所以EF∥AB∥DC.1.設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),下列向量組:

其中可作為表示這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的基的是 (

)A.①②

B.①③

C.①④

D.③④【解析】選B.由基的定義知,①③中兩向量不共線,可以作為基.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.如圖所示,在矩形ABCD中,=5e1,=3e2,則等于 (

)A.(5e1+3e2)

B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1)【解析】選A.(5e1+3e2).3.如圖,將45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起,其中45°直角三角板的斜邊與30°直角三角板的30°角所對(duì)的直角邊重合,若,則x=________,y=________.

【解析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F,由∠ACD=45°,∠BCA=90°,得∠BCE=45°,則CE=BE.設(shè)CE=BE=mCD(m>0),則AF=ED=(m+1)CD,BF=BE-EF=(m-1)CD,AB=2AC=2CD.由AF2+BF2=AB2可得解得m=,故答案:

4.如圖,已知△ABC中,D為BC的中點(diǎn),E,F為BC的三等分點(diǎn),若,用a,b表示【解析】

十八平面向量基本定理【基礎(chǔ)通關(guān)——水平一】(15分鐘30分)1.已知e1,e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基,則下列四個(gè)向量中,不能作為一組基的是 (

)A.e1+e2和e1-e2

B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+2e2和e2+2e1 D.e2和e1+e2【解析】選B.因?yàn)?e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以3e1-2e2與4e2-6e1共線,所以它們不能作為一組基,作為基的兩向量一定不共線.課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)2.在四邊形ABCD中,,則四邊形ABCD的形狀是

(

)A.長(zhǎng)方形 B.平行四邊形C.菱形 D.梯形【解析】選D.,故為梯形.3.設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且

(

)A.反向平行 B.同向平行C.互相垂直 D.既不平行也不垂直【解析】選A.如圖,因?yàn)?.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基向量a,b的線性組合,即e1+e2=________a+________b.

【解析】由題意,設(shè)e1+e2=ma+nb.因?yàn)閍=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得所以答案:

5.設(shè)e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)已知c=3e1+4e2,以a,b為基,表示向量c;(2)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)設(shè)c=λa+μb,則3e1+4e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(3μ-2λ)e2,所以解得所以c=a+2b.(2)4e1-3e2=λa+μb=λ(e1-2e2)+μ(e1+3