復(fù)變函數(shù) 部分內(nèi)容的總結(jié)與習(xí)題

基本的冪級數(shù)展開式：冪級數(shù)的重要性質(zhì)：逐項(xiàng)求導(dǎo)設(shè)則應(yīng)用：從已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式求它的導(dǎo)數(shù)的冪級數(shù)展開式，例如，求函數(shù)在指定點(diǎn)冪級數(shù)展開式:1.，，2.，，3.，，4.，提示：5.，提示：6.，洛朗級數(shù)展開式把冪級數(shù)展開式中的換成就得到洛朗級數(shù)中的負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)。設(shè)，則，所以，求洛朗級數(shù)展開式的方法就是求冪級數(shù)展開式的方法。例如，由得，，由，得，，即，，洛朗級數(shù)的重要性質(zhì)：逐項(xiàng)求導(dǎo)例如，上式逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，，求函數(shù)在指定圓環(huán)的洛朗級數(shù)展開式1.，2.，3.，提示：4.，5.，注意：在內(nèi)展開的結(jié)果必須是的正冪或負(fù)冪的和，即具有形式。6.，注意：在內(nèi)展開的結(jié)果必須是的正冪或負(fù)冪的和，即具有形式。7.，8.，9.10.求下列函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗展式：，，，，，，，，，，復(fù)變函數(shù)的積分不解析函數(shù)的積分利用曲線的參數(shù)方程，化成定積分計(jì)算。起點(diǎn)是a，終點(diǎn)是b的直線段的參數(shù)方程:，圓的參數(shù)方程：，圓的參數(shù)方程：，設(shè)C是起點(diǎn)是，終點(diǎn)是的直線段或圓，計(jì)算1.，即，2.，即3.4.二、解析函數(shù)在不閉合曲線上的積分，用原函數(shù)上下限計(jì)算，也可用參數(shù)方程化定積分計(jì)算。1.2.設(shè)C是圓從1到1反時(shí)針方向。（），（是去掉原點(diǎn)和正實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)的單值解析函數(shù)分支，計(jì)算，三、解析函數(shù)在閉合曲線上的積分，用留數(shù)計(jì)算，等于曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和乘以。1.2.3.4.無窮限廣義積分的計(jì)算有理函數(shù)，分母在實(shí)軸上不等于0，分母比分子至少高二次，從到積分，等于上半平面奇點(diǎn)的留數(shù)之和乘以。1.2.二、在實(shí)軸上沒有零點(diǎn)的有理函數(shù)和三角函數(shù)的乘積公式當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，，當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，等于在上半平面奇點(diǎn)的留數(shù)之和乘以。1.2.保形映射映射的保角性指的是什么？什么映射具有保角性？2.為什么分式線性函數(shù)具有保角性？3.如果一個(gè)保形映射把映射成，那么映射成的哪條邊？映射成的哪條邊？單葉（即一對一）解析函數(shù)的重要性質(zhì)：把區(qū)域映射成區(qū)域，區(qū)域的邊界映射成邊界。要確定映射成什么區(qū)域，首先確定它的邊界映射成什么曲線了。區(qū)域映射成曲線的內(nèi)或外，或左，或右。問題：一、對于，回答以下問題。把實(shí)軸映射成什么？把實(shí)軸上映射成什么？把實(shí)軸上映射成什么？把實(shí)軸上映射成什么？把映射成什么？把映射成什么？把映射成什么？把半圓映射成什么？把半圓映射成什么？把上半平面圓的外部區(qū)域映射成什么？把虛軸映射成什么？二、對于，回答以下問題。1.把實(shí)軸映射成什么？把虛軸映射成什么？把映射成什么？輻角●下面的條件分別表示什么集合？，，，，，，，●求值（寫出實(shí)部、虛部），，，，，●求把區(qū)域映射成什么區(qū)域，就是求的模和輻角的取值范圍；●求把區(qū)域映射成什么區(qū)域，就是求的實(shí)部和虛部的取值范圍；●下面的函數(shù)在什么點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)？求出導(dǎo)數(shù)。，，，●求對的導(dǎo)數(shù)。，設(shè)