角平分線的性質(zhì) 一等獎(jiǎng)

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)(上)11.3.1角平分線的性質(zhì)（1）ADBCE自學(xué)提綱1.角平分儀為什么能平分一個(gè)角？P482.如何畫一個(gè)角的平分線？P484.角的平分線的性質(zhì)是什么？如何證明？用幾何符號(hào)如何表示？P496.課本中利用角平分線的性質(zhì)解決了一個(gè)什么實(shí)際問題？P493.如何通過作一個(gè)平角的平分線得到直線的垂線？5.證明一個(gè)幾何命題的步驟是什么？P49

不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法？AOBC活動(dòng)1

再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？（對(duì)折）情境問題1、如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?活動(dòng)2情境問題ADBCE

如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？2、證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）ADBCE

根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）OABCE探究新知活動(dòng)3NOMCENMAOBCDE尺規(guī)作圖：作法：1、以____為圓心，___長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C、D兩點(diǎn)；2、分別以_____為圓心，__________的長為半徑作弧，兩條圓弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)____；3、作射線_____；_____就是所求作的射線。點(diǎn)O適當(dāng)C、D超過CD一半EOEOE觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？

Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分∠AOB。證明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC(SSS)∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB1〉平分平角∠AOB2〉通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？

3〉結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法?；顒?dòng)4ABOCD實(shí)踐應(yīng)用(1)探究角平分線的性質(zhì)

(1)實(shí)驗(yàn)：將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？活動(dòng)5

(2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.探究角平分線的性質(zhì)證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定義）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已證）∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E求證:PD=PE活動(dòng)5(3)驗(yàn)證猜想角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。(4)得到角平分線的性質(zhì)：活動(dòng)5

利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過程?(幾何符號(hào)語言）∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）PAOBCED12角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等隨堂練習(xí)BOAC·DPE1.如圖，OC是∠AOB的平分線，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷：練習(xí)2∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等?！滩槐卦僮C全等2.如圖,在△ABC中，AC⊥BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE=

CM.EDCBA4動(dòng)腦筋3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：⑴圖中相等的線段有

;相等的角有：。⑵哪條線段與DE相等？為什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長。EDCBABE=BC,DE=DC∠ABD=∠CBD∠BED=∠AED=∠C6810活動(dòng)6

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF實(shí)踐應(yīng)用(2)

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì))再用HL證明.試試自己寫證明。你一定行！證明:∵AD平分∠CＡＢ,D是AD上一點(diǎn)（已知）

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EB∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知）在RT△CDF和RT△BDE中

BD=DF（已知）

DC=DE（已證）∴RT△CDF≌RT△FDB(HL)∴CF＝BＥ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）ACDEBF∴DC＝DＥ(角平分線的性質(zhì)）回味無窮2.定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分