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文檔簡介

列集與列緊集例題1.證明是緊距離空間。有界線性算子和連續(xù)線性泛函例1:,,則。例2:設(shè)是賦范線性空間,則上的任意線性泛函皆連續(xù)。內(nèi)積空間和希爾伯特空間題1:設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集,證明:,。題2:設(shè)為Hilbert空間的線性子空間,若在上的投影皆存在。證明:。題3:設(shè)是Hilbert空間的非空子空間。證明:是中包含的最小閉子空間。題4:設(shè)是希爾伯特空間的閉子空間,,證明:。題5:設(shè)是內(nèi)所有實(shí)值連續(xù)函數(shù)全體所構(gòu)成的集合,為內(nèi)奇連續(xù)函數(shù)全體,是內(nèi)偶連續(xù)函數(shù)全體。證明:。題6:設(shè)是Hilbert空間,是其中的規(guī)范正交系,,證明:函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)達(dá)到極小值。題7:設(shè)是內(nèi)積空間的規(guī)范直交系,證明:。題8:設(shè)是Hilbert空間的規(guī)范直交系,證明:完全成立題9:設(shè)是Hilbert空間的完全規(guī)范直交系,又設(shè),是中的規(guī)范直交系,且滿足,證明:。題10:,證明:。題11:設(shè),證明:。題12:在,將用格萊姆-施密特方法正交化為規(guī)范直交系。

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