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列集與列緊集例題1.證明是緊距離空間。有界線性算子和連續(xù)線性泛函例1：，，則。例2：設(shè)是賦范線性空間，則上的任意線性泛函皆連續(xù)。內(nèi)積空間和希爾伯特空間題1：設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集，證明：，。題2：設(shè)為Hilbert空間的線性子空間，若在上的投影皆存在。證明：。題3：設(shè)是Hilbert空間的非空子空間。證明：是中包含的最小閉子空間。題4：設(shè)是希爾伯特空間的閉子空間，，證明：。題5：設(shè)是內(nèi)所有實(shí)值連續(xù)函數(shù)全體所構(gòu)成的集合，為內(nèi)奇連續(xù)函數(shù)全體，是內(nèi)偶連續(xù)函數(shù)全體。證明：。題6：設(shè)是Hilbert空間，是其中的規(guī)范正交系，，證明：函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)達(dá)到極小值。題7：設(shè)是內(nèi)積空間的規(guī)范直交系，證明：。題8：設(shè)是Hilbert空間的規(guī)范直交系，證明：完全成立題9：設(shè)是Hilbert空間的完全規(guī)范直交系，又設(shè)，是中的規(guī)范直交系，且滿足，證明：。題10：，證明：。題11：設(shè)，證明：。題12：在，將用格萊姆-施密特方法正交化為規(guī)范直交系。

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