電氣工程師-專業(yè)基礎（供配電）-電路與電磁場-1.6靜電場

電氣工程師-專業(yè)基礎（供配電）-電路與電磁場-1.6靜電場[單選題]1.空氣中半徑為R的球域內存在電荷體密度ρ＝0.5r的電荷，則空間最大的電場強度值為()。[2018年真題]A.（江南博哥）R2/（8ε0）B.R/（8ε0）C.R2/（4ε0）D.R/（4ε0）正確答案：A參考解析：由高斯定律有：可得：E＝R2/（8ε0）。[單選題]2.兩半徑為a和b（a＜b）的同心導體球面間電位差為U0，則兩極間電容為()V/m。[2018年真題]A.4πε0ab/（b－a）B.4πε0ab/（b＋a）C.4πε0a/bD.4πε0ab/（b－a）2正確答案：A參考解析：設球形電容器帶電荷為τ，球層場強則同心導體球面間電位差：因此，C＝τ/U0＝4πε0ab/（b－a）。[單選題]3.無線大真空中有一半徑為a的球，內部均勻分布有體電荷，電荷總量為q，在r＜a的球內部，任意－r處電場強度的大小為()V/m。[2018年真題]A.qr/（4πε0a）B.qr/（4πε0a2）C.q/（4πε0r2）D.qr/（4πε0a3）正確答案：D參考解析：由高斯定律當r＜a時，有故[單選題]4.如圖1-6-1所示二芯對稱屏蔽電纜，測得導體1、2之間的等效電容為0.036μF，導體1、2相連時和外殼間的等效電容為0.064μF，若導體1與外殼間的部分電容為C10，導體1、2之間的部分電容為C12，則C10和C12分別為()。[2017年真題]圖1-6-1A.C10＝0.018μF，C12＝0.018μFB.C10＝0.032μF，C12＝0.018μFC.C10＝0.032μF，C12＝0.02μFD.C10＝0.018μF，C12＝0.02μF正確答案：C參考解析：等效電路如圖1-6-2所示。由對稱關系可知：C20＝C10＝0.064/2＝0.032μF；由串并聯關系可知：C12＋C10/2＝0.036。代入數據可得：C12＝0.036－0.032/2＝0.02μF。圖1-6-2[單選題]5.在真空中，有一半徑為R的均勻帶電球面，面密度為σ，球心處的電場強度為()。[2016年真題]A.σ/（2ε0）B.ε0σC.σ/ε0D.0正確答案：D參考解析：帶電球面為等位體，并且電荷在球面上均勻分布，根據對稱性可知，球心處場強為0。[單選題]6.在真空中，電荷體密度為ρ的電荷均勻分布在半徑為a的整個球體積中，則在球體中心處的電場強度E為()。（設球內的介電常數為ε0）[2014年真題]A.ρ/（3ε0）B.0C.ρa/（3ε0）D.ρa2/（3ε0）正確答案：B參考解析：假設無窮遠處為零電位點，則：①在球體外，點P的電場強度為：E＝ρa3/（3ε0r2up>）（r＞a），正電荷時方向為由球心到點P指向球外，負電荷時指向球內；②在球體內，點P的電場強度為：ρr/（3ε0）（r≤a）。因此，當處于球心時，r＝0，故點P的電場強度為0。[單選題]7.在真空中，一導體平面中的某點處電場強度為，此點的電荷面密度為()。（單位為10－12C/m2，設該點的場強與導體表面外法線向量一致）[2014年真題]A.－0.65B.0.65C.－11.24D.11.24正確答案：D參考解析：由題可知，場強的模為：則該點的電荷面密度為：ρ＝ε0E＝8.854×10－12×1.27＝11.24×10－12C/m2。[單選題]8.在無限大真空中，有一半徑為a的導體球，離球心d（d＞a）處有一點電荷q，該導體球的電位φ應為下列哪項數值？()[2013年真題]A.q/（4πε0d）B.q/（4πε0a）C.q/（4πε0d2）D.q/（4πε0a2）正確答案：A參考解析：由高斯定理求得電場強度表達式為：E＝q/（4πε0x2），則導體球與距離電荷為d的電位為：。由于導體球處于點電荷q的靜電場中，其自身為等電位體，所以導體球的電位為q/（4πε0d）。[單選題]9.一無損耗同軸電纜，其內導體的半徑為a，外導體的內半徑為b。內外導體間媒質的磁導率為μ，介電常數為ε，該同軸電纜單位長度的外電感L0應為下列哪項數值？()[2013年真題]A.（2πμ）/ln（b/a）B.（3πε）/ln（b/a）C.（2π/ε）ln（b/a）D.（μ/2π）ln（b/a）正確答案：D參考解析：設內外導體流動的電流為I，由安培環(huán)路定律可得磁感應強度為：B＝μI/（2πr）（a≤r≤b），內外導體間單位長度的外自感為：。或代入同軸電纜的單位長度電感計算公式，可直接計算得到外電感為：L＝（μ/2π）ln（r2/r1）＝（μ/2π）ln（b/a）（r2為外導體內半徑，r1為內導體半徑）。[單選題]10.兩半徑為a和b（a＜b）的同心導體球面間電壓為V，若b固定，要使半徑為a的球面上場強最小，應取比值a/b為()。[2005年、2008年、2011年真題]A.1/2B.1/4C.1/eD.1/π正確答案：A參考解析：同心導體球之間的電場分布呈輻射對稱狀，設內導體球所帶電荷量為Q，根據高斯公式，4πε0r2E＝Q，球殼之間的電壓：U＝Q/（4πε0）（1/a－1/b），則：Q/（4πε0）＝U/（1/a－1/b），E（r＝a）＝Q/（4πε0a2）＝U/[U（a－a2/b）]，令f（a）＝a－a2/b，將b視為常數，對a求導數，df（a）/da＝1－2a/b＝0，則當a/b＝1/2時電場強度取得最小值。[單選題]11.一高壓同軸圓柱電纜，內導體的半徑為a，外導體的內半徑為b，若b固定，要使內導體表面上場強最小，a與b的比值應該是()。[2009年、2010年真題]A.1/eB.1/2C.1/4D.1/8正確答案：A參考解析：設圓柱電纜單位長度的帶電量為τ，那么由高斯公式可得：U0＝τ/（2πε0）ln（b/a），則τ/（2πε0）＝U0/ln（b/a）。則內導體表面電場強度為：E（r＝a）＝τ/（2πε0a）＝U0/[aln（b/a）]，若要使E（r＝a）最小，則aln（b/a）應取最大。令f（a）＝aln（b/a），由于b為常數固定不變，對a求導數有：df（a）/da＝ln（b/a）－1，顯然導數為0時，f（a）取得最大值，即df（a）/da＝ln（b/a）－1＝0，解得a/b＝1/e。[單選題]12.在一個圓柱形電容器中，置有兩層同軸的絕緣體，其內導體的半徑為3cm，外導體的內半徑為12cm，內、外兩絕緣層的厚度分別為3cm和6cm，內、外導體間的電壓為270V（以外導體為電位參考點）。設有一很薄的金屬圓柱片放在兩層絕緣體之間，為了使兩絕緣體內的最大場強相等，金屬圓柱片的電位為()。[2009年真題]A.60VB.90VC.150VD.180V正確答案：D參考解析：如圖1-6-3所示，設內層介質介電常數為ε1，外層介質介電常數為ε2，圓柱導體單位長度的電荷量為τ。電介質中電場強度的最大值出現在內導體表面上，所以內層介質最大場強出現在3cm處，外層介質最大場強出現在6cm處。則有：E＝τ/（2πε13）＝τ/[2πε1（3＋3）]，由此可知，ε1＝2ε2。內外導體電位差為：解得金屬圓柱片的電位為：U1＝τ/（2πε2）ln（12/6）＝180V。圖1-6-3[單選題]13.在一個圓柱形電容器中，置有兩層同軸的圓柱體，其內導體的半徑為2cm，外導體的內半徑為8cm，內外兩絕緣層的厚度分別為2cm和4cm，內外導體間的電壓為150V（以外導體為電位參考點）。設有一根薄的金屬圓柱片放在兩層絕緣體之間，為了使兩層絕緣體內的最大場強相等，金屬圓柱片的電位應為()。[2007年真題]A.100VB.250VC.667VD.360V正確答案：A參考解析：方法一：設內層介質介電常數為ε1，外層介質介電常數為ε2，圓柱體的單位長度電荷量為τ。由高斯公式可得，內外層絕緣體的電場強度分別為：E1＝τ/（2πε1r），E2＝τ/（2πε2r）。內層介質最大場強出現在r1＝2cm處，外層介質最大場強出現在r2＝4cm處，要使兩層介質最大場強相等，則有：τ/（2πε1r）＝τ/（2πε2r）。由此可知：τ/（2πε1）＝τ/（2πε2），ε1＝2ε2。假設無窮遠處點位為0，則內外導體之間的電壓為：U＝τ/（2πε1）ln（4/2）＋τ/（2πε2）ln（8/4）＝150V，所以金屬圓柱的電位：U1＝τ/（2πε2）ln（8/4）＝100V。方法二：如圖1-6-4所示，設金屬圓柱片的電位為φ（電位參考點取在外導體上），則有：φ＝τ2/（2πε2）ln（c/b）。由于內導體與金屬圓柱片間的電壓為：U0＝τ2/（2πε2）ln（c/b），由題知內外導體間的電壓為150V，則有U0＝150－φ，即：150－φ＝τ1/（2πε1）ln（b/a）。聯立式以上方程可得：τ1＝（2πε1）（150－φ）/ln（b/a），τ2＝（2πε2φ）/ln（c/b）。由于E1＝τ1/（2πε1r），E2＝τ2/（2πε2r），所示最大電場強度出現在r＝a時，有：E1max＝τ1/（2πε1a）；當r＝b時，有：E2max＝τ2/（2πε2b）。欲使E1max＝E2max，則：τ1/（2πε1a）＝τ2/（2πε2b）。由以上計算結果可得：（150－φ）/[aln（b/a）]＝φ/[bln（c/b）]，所以：（150－φ）/（2ln2）＝φ/（4ln2），可得金屬圓柱片的電位為：φ＝100V。圖1-6-4[單選題]14.一高壓同軸圓柱電纜，內導體的半徑為a，外導體的內半徑為b，若b固定，要使內導體表面上場強最小，b與a的比值應該是下列何值()。[2007年真題]A.eB.2C.4D.3正確答案：A參考解析：設同軸電纜單位長度的帶電量為τ。在圓柱型電纜中，內外柱面間的場強為：當外加電壓U時，有：化簡可得：E（a）＝τ/（2πε0a）＝U0/[aln（b/a）]令f（a）＝aln（b/a）。由題意可知b固定，那么對a求導數，即：df（a）/da＝ln（b/a）－1＝0，即：b/a＝e此時f（a）取到極大值，場強為最小值。[單選題]15.在真空中，相距為a的兩無限大均勻帶電平板，面電荷密度分別為＋σ和－σ，該兩帶電平板間的電位U應為下列哪項數值？()[2013年真題]A.σa2/ε0B.σa/ε0C.ε0a2/σD.σa/ε02正確答案：B參考解析：設板A在兩板間產生的場強大小為E1，根據其對稱性，其在兩板外產生的場強亦為E1，方向相反。對板A取一截面積為s的圓柱形高斯面，根據靜電場的高斯定理：∮E1ds＝∑q1/ε0，∑q1＝σs，有∮E1ds＝E1×2s，解得：E＝σ/（2ε0）。同理，設板B在兩板間產生的場強大小為E2，可得：E2＝σ/（2ε0）E1、E2方向相反，合場強為：E＝E2－E1＝σ/ε0，方向由B指向A，故兩板間電勢差為：U＝σa/ε0。[單選題]16.一高壓同心圓球，外導體的半徑為b，內導體的半徑為a，其值可以自由選定。若b固定，要使半徑為a的內導體表面上場強最小，b與a的比值應該是()。[2012年真題]A.eB.2C.3D.4正確答案：B參考解析：同心導體球之間的電場分布呈輻射對稱狀，設內導體球所帶電荷量為Q，根據高斯公式，4πε0r2E＝Q，球殼之間的電壓為：U＝Q/（4πε0）（1/a－1/b）。則：Q/（4πε0）＝U/（1/a－1/b），E（r＝a）＝Q/（4πε0a2）＝U/[U（a－a2/b）]，令f（a）＝a－a2/b，b固定，對a求偏導數，df（a）/da＝1－2a/b＝0則當b/a＝2時電場強度取得最小值。[單選題]17.無限大真空中一半徑為a的帶電導體球，所帶體電荷在球內均勻分布，體電荷總量為q。球外（即r＞a處）任一點r處的電場強度的大小E為()V/m。[2011年真題]A.q/（4πε0a）V/mB.q/（4πε0a2）V/mC.q/（4πε0r）V/mD.q/（4πε0r2）V/m正確答案：D參考解析：根據高斯定理：；真空中D＝ε0E，則：D·4πr2＝∑q，解得：E＝q/（4πε0r2）V/m。[單選題]18.一半徑為R的半球形金屬球，置于真空中的一無限大接地導電平板上方，在球外有一點電荷q，位置如圖1-6-5所示。在用鏡像法計算點電荷q受力時，需放置鏡像電荷的數目為()。[2008年真題]圖1-6-5A.4個B.3個C.2個D.無限多正確答案：B參考解析：設電荷q和導體平面法線所在的平面為xz平面，如圖1-6-6所示。圖1-6-6先作電荷q對導體平面xz平面的鏡像電荷－q（－x，0，－z），其次作q對球面的鏡像為：。q′位于原點O與電荷q的連線上，且與原點的距離為：。最后作鏡像電荷q′對xz平面的鏡像－q′。由電荷q、－q、q′和－q′組成點電荷系統可以使原問題的邊界條件得到滿足，導體外任意點的場可以由這4個點電荷共同確定。因此，在用鏡像法計算點電荷q受力時，需放置鏡像電荷的數目為3個。[單選題]19.真空中，一無限長載流直導線與一無限長薄電流板構成閉合回路，電流為I，電流板寬為α，二者相距也為α，導線與板在同一平面內，如圖1-6-7所示，導線單位長度受到的作用力為()。[2016年真題]圖1-6-7A.μ0I2ln2/（4πa）B.μ0Iln2/（4πa）C.μ0I2ln2/（2πa）D.μ0Iln2/（2πa）正確答案：C參考解析：長直導線周圍的磁感應強度的相量形式為：。如圖1-6-8所示，取任意一細長條電流x～x＋dx，其中dI＝idx＝（I/a）dx，則單位長度受力為：df＝1×（I/a）dx×μ0I/（2πx），則。圖1-6-8[單選題]20.平板電容器，保持板上電荷量不變，充電后切斷電源。當板間距離變?yōu)?d時，兩板間的力為()。[2012年真題]A.FB.F/2C.F/4D.F/8正確答案：A參考解析：設平板電容器變化前充電至電壓U。當板間距為d時，電容C＝εS/d，則有：U＝Q/C＝Qd/（εS），兩板間的力F＝QE＝QU/d。當板間距變?yōu)?d時，C′＝εS/2d＝C/2，電壓變?yōu)椋篣′＝Q/C′＝Q（2d）/（εS）＝2U，兩板間的力F′＝QE′＝QU′/2d＝2QU/2d＝F，未發(fā)生改變。[單選題]21.以點電荷Q所在點為球心，距點電荷Q的距離R處的電場強度E＝()。A.Q/（4πε0R2）B.Q/（4πε0R）C.Q/（2πε0R2）D.Q/（4πR）正確答案：A參考解析：根據高斯定理，靜電場對任意封閉曲面的電通量只決定于被包圍在該曲面內部的電量，∮SEdS＝Q/ε0，計算得：E＝Q/（4πε0R2）。[單選題]22.圖1-6-9所示，給平行板電容器加電壓V0，其極板上所受的電場力為()。圖1-6-9A.－εSV02/（2d2）B.εSV0/dC.dV0/（εS）D.εSV02/d正確答案：A參考解析：電容器儲存的電場能量為：We＝CV02/2＝εSV02/（2d），利用虛位移法