第一章 彈性力學(xué)基本理論

第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論1第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論

本章主要介紹彈性力學(xué)的基本理論，主要包括：線彈性問(wèn)題的幾個(gè)假設(shè)；應(yīng)力、應(yīng)變的定義和性質(zhì)；應(yīng)力平衡方程、幾何方程和物理方程等彈性力學(xué)基本方程的推導(dǎo)。這些是進(jìn)行機(jī)械結(jié)構(gòu)有限元分析的重要力學(xué)理論基礎(chǔ)。要求:學(xué)習(xí)并掌握應(yīng)力、應(yīng)變基本概念和主要性質(zhì)，掌握彈性力學(xué)基本方程、應(yīng)力邊界條件、協(xié)調(diào)方程等。本章概述21.1彈性力學(xué)的基本概念彈性力學(xué)（ElasticTheory）彈性力學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，彈性力學(xué)是固體力學(xué)(solidmechanics)的一個(gè)分支，其基本任務(wù)是針對(duì)各種具體情況，確定彈性體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的分布規(guī)律。也就是說(shuō)，當(dāng)已知彈性體的形狀、物理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時(shí),確定其任一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)和位移。在機(jī)械、航空、航天、土建和水利等領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)分析中,都需要應(yīng)用彈性力學(xué)的基本理論。1.1.1彈性力學(xué)及其基本假設(shè)31.1.1彈性力學(xué)及其基本假設(shè)彈性力學(xué)與材料力學(xué)的區(qū)別材料力學(xué)彈性力學(xué)研究對(duì)象幾何形狀桿狀構(gòu)件桿、板、殼、塊、三維體描述方程常微分方程偏微分方程求解難易程度容易困難適用范圍窄寬彈性力學(xué)與材料力學(xué)(StrengthsofMaterials)在研究對(duì)象、研究?jī)?nèi)容和基本任務(wù)方面有許多是相同的，但是二者的研究方法有較大差別。41.1.1彈性力學(xué)及其基本假設(shè)彈性力學(xué)是一門基礎(chǔ)理論，把彈性力學(xué)理論直接用于工程問(wèn)題分析具有很大的困難，其主要原因主要是在于它的基本方程即偏微分方程邊值問(wèn)題求解通常比較困難。由于經(jīng)典的解析方法很難用于工程構(gòu)件分析，因此探討近似解法是彈性力學(xué)發(fā)展中的一個(gè)重要任務(wù)。彈性力學(xué)問(wèn)題的近似求解方法，如差分法和變分法等，特別是隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用而不斷發(fā)展的有限單元法，為解決工程實(shí)際問(wèn)題開(kāi)辟了廣闊的前景。51.1.1彈性力學(xué)及其基本假設(shè)

彈性力學(xué)的基本任務(wù)是針對(duì)各種具體情況，確定彈性體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的分布規(guī)律。也就是說(shuō)，當(dāng)已知彈性體的形狀、物理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時(shí)，確定其任一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)和位移。彈性力學(xué)的研究對(duì)象是理想彈性體，所謂理想彈性體應(yīng)符合下述的五個(gè)假定。61.1.1彈性力學(xué)及其基本假設(shè)五個(gè)基本假設(shè)——理想彈性體

（1）連續(xù)性假定。也就是假定整個(gè)物體的體積都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，不存在任何空隙。保證物體內(nèi)一些物理量（應(yīng)力、應(yīng)變、位移等）的連續(xù)性，從而可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)描述。

（2）完全彈性假定。這是假定物體服從胡克定律，即應(yīng)變與引起該應(yīng)變的應(yīng)力成正比。保證物體在任意瞬時(shí)的應(yīng)變將完全取決于該瞬時(shí)物體所受到的外力或溫度變化等因素，而與加載的歷史和加載順序無(wú)關(guān)。

71.1.1彈性力學(xué)及其基本假設(shè)五個(gè)基本假設(shè)——理想彈性體 （3）均勻性假定。假定整個(gè)物體由同一材料組成。保證整個(gè)物體的所有各部分具有相同的彈性，因而物體的彈性常數(shù)才不會(huì)隨位置坐標(biāo)而變，可以取出該物體的任意一小部分來(lái)加以分析，然后把分析所得的結(jié)果應(yīng)用于整個(gè)物體。 （4）各向同性假定。假定物體的彈性在所有各方向上都相同。也就是說(shuō)，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變化。 （5）小位移和小變形的假定。假定物體受力以后，物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來(lái)的尺寸，并且其應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都小于1。保證在建立變形體的平衡方程時(shí)，可以用物體變形前的尺寸來(lái)代替變形后的尺寸，而不致引起顯著的誤差，在考察物體的變形及位移時(shí)，對(duì)于轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次冪或其乘積都可以略去不計(jì)。

8（1）外力作用于物體的外力通?？煞譃閮深悾好媪?SurfaceForce)

體力(BodyForce)

1.1.2外力與內(nèi)力9

面力是指分布在物體表面上的外力，包括分布力(DistributedForce)和集中力(ConcentratedForce)，如壓力容器所受到的內(nèi)壓、水壩所受的靜水壓力、物體和物體之間的接觸壓力等等。通常情況下，面力是物體表面各點(diǎn)的位置坐標(biāo)的函數(shù)。 在物體表面P點(diǎn)處取一微小面積

S，假設(shè)其上作用有表面力

F，則P點(diǎn)所受的表面力定義為

（1.1）（1.2） 通常用各坐標(biāo)方向上的分量來(lái)表示面力，即1.1.2外力與內(nèi)力10

體力(BodyForce)一般是指分布在物體體積內(nèi)的外力，作用于彈性體內(nèi)每一個(gè)體積單元。通常與物體的質(zhì)量成正比、且是各質(zhì)點(diǎn)位置的函數(shù)，如重力、慣性力、磁場(chǎng)力等。作用在物體內(nèi)P點(diǎn)上的體力，可按面力定義方式進(jìn)行定義，即在P點(diǎn)處取一微小體積

V，假定其上作用有體力

R，則P點(diǎn)所受的體力可定義為一般也是用各坐標(biāo)方向上的分量來(lái)表示體力，即（1.3）（1.4）1.1.2外力與內(nèi)力11

物體在外力作用下，其內(nèi)部將產(chǎn)生抵抗變形的“附加”內(nèi)力。若假想用一經(jīng)過(guò)物體內(nèi)P點(diǎn)的截面mn將物體分為兩部分A和B，移去其中的一部分B。顯然，在截面mn上必定有某種力存在使A平衡，這種力就稱為內(nèi)力，實(shí)際上也就是物體內(nèi)部的相互作用力。（2）內(nèi)力圖1-1物體內(nèi)任意點(diǎn)處的應(yīng)力1.1.2外力與內(nèi)力12

所謂一點(diǎn)處某個(gè)截面上的應(yīng)力(Stress)就是指該截面上的“附加內(nèi)力”，即應(yīng)力是內(nèi)力在該點(diǎn)處的集度。如圖1-1所示，在截面mn上P點(diǎn)處取一微小面積

A，假設(shè)作用于

A上的內(nèi)力為

G，則圖1-1物體內(nèi)任意點(diǎn)處的應(yīng)力（1.5）T就是P點(diǎn)處的應(yīng)力。

通常將應(yīng)力沿截面

A的法向和切向進(jìn)行分解，相應(yīng)的分量就是常用的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。它們滿足（1.6）1.1.3應(yīng)力1.1.3應(yīng)力13在物體內(nèi)的同一點(diǎn)處，不同方向截面上的應(yīng)力是不同的。只有同時(shí)給出過(guò)該點(diǎn)截面的外法向方向，才能確定物體內(nèi)該點(diǎn)處此截面上應(yīng)力的大小和方向，才能表示這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。圖1-2微小正方體元素的應(yīng)力狀態(tài)

如圖1-2所示，正方體各面上的應(yīng)力可按坐標(biāo)軸方向分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，即每個(gè)面上的應(yīng)力都用三個(gè)應(yīng)力分量來(lái)表示。這樣，用9個(gè)應(yīng)力分量來(lái)表示正方體各面上的應(yīng)力，即（1.7）其中，σ為正應(yīng)力，下標(biāo)表示作用面和作用方向；τ是剪應(yīng)力，第一下標(biāo)表示截面外法線方向，第二下標(biāo)表示剪應(yīng)力的方向。應(yīng)力狀態(tài)1.1.3應(yīng)力14

應(yīng)力分量的符號(hào)規(guī)定：若應(yīng)力作用面的外法線方向與坐標(biāo)軸的正方向一致，則該面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果應(yīng)力作用面的外法線是指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向，那么該面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。（1.8）剪應(yīng)力互等定理：

1.1.3應(yīng)力6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量15

物體在外力作用下，其形狀要發(fā)生改變，變形(Deformation)指的就是這種物體形狀的變化。因此，為了考察物體內(nèi)某一點(diǎn)處的應(yīng)變(Strain)，可在該點(diǎn)處從物體內(nèi)截取一單元體，研究其棱邊長(zhǎng)度和各棱邊夾角之間的變化情況。對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩部分討論：

（1）棱邊長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)量，即正應(yīng)變(或線應(yīng)變,LinearStrain)

（2）兩棱邊間夾角的改變量（用弧度表示），即剪應(yīng)變（或角應(yīng)變,ShearStrain）。

1.1.4應(yīng)變16在圖1-3(a)中，單元體在x方向上有一個(gè)的伸長(zhǎng)量。微分單元體棱邊的相對(duì)變化量就是x方向上的正應(yīng)變。即相應(yīng)地，y軸方向的正應(yīng)變?yōu)椋簒-y平面內(nèi)的剪應(yīng)變：（1.9）（1.10）（1.11）(a)x方向的線應(yīng)變(b))y方向的線應(yīng)變(c)xy面內(nèi)的剪應(yīng)變圖1-3應(yīng)變的幾何描述1.1.4應(yīng)變17因此，剪應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變分量的矩陣型式（1.12）（1.13）除了上面的兩種應(yīng)變，還有一種體積應(yīng)變(VolumeStarin)。體積應(yīng)變表示彈性體體積的擴(kuò)張或收縮，按線彈性理論，體積應(yīng)變的大小等于三個(gè)線應(yīng)變的和，即（1.14）1.1.4應(yīng)變181.2應(yīng)力狀態(tài)的描述彈性體在外力作用下產(chǎn)生應(yīng)力場(chǎng)，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用6個(gè)應(yīng)力分量描述。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與所選定的坐標(biāo)系相關(guān)。以下從應(yīng)力坐標(biāo)變換、任意截面的應(yīng)力分解實(shí)現(xiàn)對(duì)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，并介紹主應(yīng)力等概念。191.2.1應(yīng)力坐標(biāo)變換圖1-4一點(diǎn)附近的坐標(biāo)系及其旋轉(zhuǎn)變換用一個(gè)斜面切過(guò)實(shí)體，并與三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面相交，就會(huì)隔離出關(guān)于一點(diǎn)的四面體單元。設(shè)軸為斜面的外法線，和與該斜平面相切，，和構(gòu)成新的直角坐標(biāo)系。斜面的外法線方向角定義為，和，即軸分別與x，y，z軸的夾角。如圖1-4，這些夾角的余弦值定義為軸的方向余弦。分別為：（1.15）三個(gè)方向余弦滿足如下關(guān)系：（1.16）201.2.1應(yīng)力坐標(biāo)變換相應(yīng)地，分別求解，軸的方向余弦，新坐標(biāo)系三個(gè)軸向的方向余弦寫(xiě)成如下矩陣形式

T即為應(yīng)力變換矩陣。根據(jù)靜力學(xué)平衡條件可知其中，是的轉(zhuǎn)置矩陣。分別為新坐標(biāo)系和原坐標(biāo)系下的一點(diǎn)的應(yīng)力矩陣。（1.17）（1.18）圖1-4一點(diǎn)附近的坐標(biāo)系及其旋轉(zhuǎn)變換211.2.1應(yīng)力坐標(biāo)變換例題：

如該坐標(biāo)系先繞z軸旋轉(zhuǎn)45°，然后再繞新的x軸旋轉(zhuǎn)30°，試確定該點(diǎn)在新的坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩陣。MPa某一點(diǎn)在xyz坐標(biāo)系內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)已知，其應(yīng)力矩陣如下（a）解：對(duì)于每一次旋轉(zhuǎn)，都可以通過(guò)一系列的坐標(biāo)變換得到彈性體表面的法線向量，并可將該法向向量分別投影到x,y,z軸，得到三個(gè)方向上的向量分量。其中第一次旋轉(zhuǎn)得到的向量分量為221.2.1應(yīng)力坐標(biāo)變換（b）=將第一式代入上式，可得第二次旋轉(zhuǎn)確定了x’y’z’坐標(biāo)，它們與坐標(biāo)的關(guān)系如下==（c）231.2.1應(yīng)力坐標(biāo)變換將和代入，得到變換矩陣T，為將T代入式(1.18)，解得變換后的應(yīng)力矩陣MPa241.2.2任意截面上的應(yīng)力分解圖1-5一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)設(shè)平面ABC的外法線為N，而N的方向余弦為cos(N,x)=nx，cos(N,y)=ny，cos(N,z)=nz

（1.19）可見(jiàn)，如果把平面ABC的外法線N作為變換后的任一坐標(biāo)軸，則上面方向余弦對(duì)應(yīng)變換矩陣的一行。用應(yīng)力變換的方法可快速求得平面ABC上的正應(yīng)力（1.20）(1)用坐標(biāo)變換法求任意截面上的應(yīng)力25（2）用靜力平衡推導(dǎo)法求任意截面上的應(yīng)力見(jiàn)圖1-5，由平衡條件

Fx=0，得即同理，還可得到另外兩個(gè)相似的方程：該方程稱為柯西應(yīng)力公式（Cauchy’sstressformula）。公式描述了彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P的6個(gè)應(yīng)力分量，與通過(guò)P點(diǎn)任一平面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。（1.21）（1.22）圖1-5一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1.2.2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——任意截面上的應(yīng)力261.2.2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——任意截面上的應(yīng)力（2）用靜力平衡推導(dǎo)法求任意截面上的應(yīng)力由上述公式很容易求出平面ABC上的全應(yīng)力：故有（1.23）而平面ABC上的正應(yīng)力則可通過(guò)，，三個(gè)分量投影后合成得到，或參考公式(1.20)，即因?yàn)槿珣?yīng)力與正應(yīng)力、剪應(yīng)力之間滿足如下關(guān)系(見(jiàn)式1.6）（1.24）（1.25）（1.26）271.2.3主應(yīng)力（1）主應(yīng)力的定義在過(guò)一點(diǎn)的所有截面中，存在著三個(gè)互相垂直的特殊截面，在這三個(gè)截面上僅有正應(yīng)力。這種沒(méi)有剪應(yīng)力存在的截面稱為過(guò)該點(diǎn)的主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力，主應(yīng)力的方向總是與主平面的法線方向平行，稱為該點(diǎn)應(yīng)力的主方向。由柯西應(yīng)力公式，可得設(shè)一主方向的方向余弦為nx，ny，nz，因?yàn)樵谥髌矫嫔蠜](méi)有剪應(yīng)力，可用代表該主平面上的全應(yīng)力，則全應(yīng)力在x,y,z軸的投影可表示為（1.28）（1.27）（1.29）281.2.3主應(yīng)力將此行列式展開(kāi)，得到一個(gè)關(guān)于應(yīng)力的一元三次方程因?yàn)?，即不全?，上述方程組中有非平凡解的條件是其系數(shù)矩陣的行列為0，即（1.30）（1.31）可以證明，該方程有三個(gè)實(shí)根，而這三個(gè)根就是P點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力。將主應(yīng)力分別代入（1.28），結(jié)合（1.29）式便可分別求出各主應(yīng)力方向的方向余弦。還可以證明，三個(gè)主方向是相互垂直的。291.2.3主應(yīng)力（2）應(yīng)力不變量方程式(1.31)中，的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)記為定義為第一，第二，第三應(yīng)力不變量。(1.31)可表示為（1.35）301.2.3主應(yīng)力一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用六個(gè)直角應(yīng)力分量組成的矩陣來(lái)表示：應(yīng)力不變量可以用主應(yīng)力表示成：（1.36）也可以通過(guò)選擇主坐標(biāo)作為參考坐標(biāo)，用主應(yīng)力組成的矩陣來(lái)表示：311.2.3主應(yīng)力（3）摩爾圓彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用摩爾圓來(lái)表示，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的具體值在陰影區(qū)域表示。主應(yīng)力按代數(shù)值排列，以和為坐標(biāo)軸的橫軸和縱軸，沿著軸標(biāo)記出和，接著畫(huà)三個(gè)圓，直徑分別為(),()和(),如圖1-6所示圖1-6應(yīng)力摩爾圓用摩爾圓圖形可顯示任一可能截面上的應(yīng)力，如圖1.6陰影區(qū)，這個(gè)陰影區(qū)叫做摩爾應(yīng)力的π平面，這三個(gè)圓就叫作摩爾圓。從圖中可以得出以下結(jié)論：（1）主應(yīng)力用圖上點(diǎn)A，B和C來(lái)表示，這些點(diǎn)相應(yīng)的剪應(yīng)力為0。（2）最大剪應(yīng)力為，對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力為，可用圖上D點(diǎn)表示。（3）對(duì)于正應(yīng)力有三個(gè)極限值和所對(duì)應(yīng)的平面叫主應(yīng)力平面，主剪應(yīng)力有（1.38）321.3平衡微分方程一般情況下物體內(nèi)不同的點(diǎn)將有不同的應(yīng)力。各點(diǎn)的應(yīng)力分量都是點(diǎn)的位置坐標(biāo)（x,y,z）的函數(shù)，而且在一般情況下，都是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。當(dāng)彈性體在外力作用下保持平衡時(shí)，可根據(jù)平衡條件來(lái)導(dǎo)出應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，即平衡微分方程。這是彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論中的一個(gè)重要方程式。圖1-7微小單元體的應(yīng)力平衡根據(jù)平衡方程，有，整理得（1.39）（1.40）331.3平衡微分方程同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程。即（1.41）（1.42）341.3平衡微分方程展開(kāi)這個(gè)式子，略去四階微量，整理后得到或同理，得和將上面三個(gè)式子聯(lián)立，得到任意一點(diǎn)處應(yīng)力分量的另一組關(guān)系式這個(gè)結(jié)果表明：任意一點(diǎn)處的六個(gè)剪應(yīng)力分量成對(duì)相等，即剪應(yīng)力互等定理

為便于表示，一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量寫(xiě)成應(yīng)力列陣，（1.43）（1.44）（1.45）351.4幾何方程彈性體受到外力作用時(shí)，其形狀和尺寸會(huì)發(fā)生變化，即產(chǎn)生變形。應(yīng)變分量與位移分量之間存在的關(guān)系式一般稱為幾何方程，或叫做Cauchy幾何方程(GeometricalEquations)。從物體內(nèi)P點(diǎn)處取出一個(gè)正方微元體，其三個(gè)棱邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz，如圖1-8所示。當(dāng)物體受到外力作用產(chǎn)生變形時(shí)，不僅微元體的棱邊長(zhǎng)度會(huì)隨之改變，而且各棱邊之間的夾角也會(huì)發(fā)生變化。為研究方便，可將微元體分別投影到三個(gè)坐標(biāo)面上。圖1-9為投影到xoy面的情況。圖1-8微元體圖1-9位移與應(yīng)變361.4幾何方程據(jù)此，可以求得根據(jù)線應(yīng)變（正應(yīng)變）的定義，AB線段的正應(yīng)變?yōu)橐颍视缮鲜娇傻么?1.46）式，得由于只是微小變形的情況，可略去上式中的高階微量（即平方項(xiàng)）。當(dāng)微元體趨于無(wú)限小時(shí)，AB線段的正應(yīng)變就是P點(diǎn)沿x方向的正應(yīng)變。用同樣的方法考察AD線段，則可得到P點(diǎn)沿y方向的正應(yīng)變。（1.46）（1.47）（1.48）（1.49）371.4幾何方程式中與1相比可以略去，故現(xiàn)在再來(lái)分析AB和AD兩線段之間夾角（直角）的變化情況。在微小變形時(shí)，變形后AB線段的轉(zhuǎn)角為同理，