第三章數(shù)值描述度量

BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-1Chapter3數(shù)值描述度量BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-2描述數(shù)值數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)、變異程度和分布形狀的特性計(jì)算總體的描述性總結(jié)度量構(gòu)建和解釋盒須圖描述協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-3集中趨勢(shì)是指所有的數(shù)據(jù)觀測(cè)值組在一個(gè)典型或者中心值周圍的范圍。變異度是觀測(cè)值與一個(gè)中心值散布或分散的量。分布形狀是觀測(cè)值從最小值到最大值分布的模式。數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(shì)(位置)偏態(tài)和峰態(tài)（形狀）離中趨勢(shì)

(分散程度)數(shù)據(jù)分布特征的測(cè)度數(shù)據(jù)特征的測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰態(tài)四分位差異眾比率偏態(tài)BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-63.1集中趨勢(shì)的度量算術(shù)平均數(shù)簡(jiǎn)稱均值是最常見的集中趨勢(shì)的度量。對(duì)一組樣本容量是n的數(shù)據(jù):樣本容量數(shù)據(jù)觀測(cè)值第i個(gè)數(shù)據(jù)讀作：x-barBusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-7最常見的集中趨勢(shì)的測(cè)度指標(biāo)

均值=標(biāo)志值總量/總體總量

受極端值（離群點(diǎn)）的影響(continued)012345678910Mean=3

012345678910Mean=4加權(quán)均值

(weightedmean)設(shè)各組的組中值為：M1，M2，…，Mk

相應(yīng)的頻數(shù)為：f1，f2，…，fk樣本加權(quán)均值總體加權(quán)均值已改至此?。∧畴娔X公司銷售量數(shù)據(jù)分組表按銷售量分組組中值（Mi）頻數(shù)（fi）Mifi140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合計(jì)—12022200加權(quán)均值

(例題分析)加權(quán)均值

(權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響)

甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)及其分布數(shù)據(jù)如下

甲組：考試成績(jī)（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：118

乙組：考試成績(jī)（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：811均值

(數(shù)學(xué)性質(zhì))1. 各變量值與均值的離差之和等于零

2.各變量值與均值的離差平方和最小調(diào)和平均數(shù)

(harmonicmean)1. 集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2. 均值的另一種表現(xiàn)形式易受極端值的影響計(jì)算公式為原來(lái)只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)！調(diào)和平均數(shù)

(例題分析)某日三種蔬菜的批發(fā)成交數(shù)據(jù)蔬菜名稱批發(fā)價(jià)格(元)

Mi成交額(元)Mifi甲乙丙1.200.500.8018000125006400合計(jì)—36900【例】某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表，計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格某日三種蔬菜的批發(fā)成交數(shù)據(jù)蔬菜名稱批發(fā)價(jià)格(元)

Mi成交額(元)Mifi成交量(公斤)fi甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合計(jì)—3690048000幾何平均數(shù)

(geometricmean)1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2.n

個(gè)變量值乘積的n

次方根3.適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均4.主要用于計(jì)算平均增長(zhǎng)率5.計(jì)算公式為6.可看作是均值的一種變形幾何平均數(shù)

(例題分析)

【例】一位投資者持有一種股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分別為4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-17中位數(shù)按從最小到最大排序以后處于正中間的數(shù)據(jù)值。

不受極端值的影響012345678910Median=3

012345678910Median=3Me50%50%中位數(shù)

(位置的確定)未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(計(jì)算公式)數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(9個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789中位數(shù)

1080

數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(10個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):

15007507806601080850960200012501630排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:12345

678910

眾數(shù)

(mode)集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極端值的影響可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)眾數(shù)

(不唯一性)無(wú)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

364242BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-24如何選擇合適的測(cè)度指標(biāo)：當(dāng)沒有極端值的時(shí)候，一般使用均值。當(dāng)存在極端值的時(shí)候，經(jīng)常使用中位數(shù)。BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-25小結(jié)：集中趨勢(shì)算術(shù)平均值中位數(shù)眾數(shù)MiddlevalueintheorderedarrayMostfrequentlyobservedvalueBusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-26相同的中心值,不同的方差3、2變異度測(cè)度變異度度量數(shù)據(jù)集中的觀測(cè)值的離散程度或散布程度。變異度標(biāo)準(zhǔn)差變異度系數(shù)全距方差BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-27全距最簡(jiǎn)單的測(cè)度值最大值與最小值之差Range=Xlargest–Xsmallest01234567891011121314Range=13-1=12Example:BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-28沒有考慮數(shù)據(jù)的分布易受極端值的影響789101112Range=12-7=5789101112Range=12-7=5

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120Range=5-1=4Range=120-1=119平均差

(meandeviation)平均差是指各變量值與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù)。能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少計(jì)算公式未分組數(shù)據(jù)組距式分組數(shù)據(jù)例三：某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均差計(jì)算表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)140—150150—160160—170170—180180—190190—200200—210210—220220—230230—24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合計(jì)—120—2040含義：每一天的銷售量平均數(shù)相比，平均相差17臺(tái)方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(varianceandstandarddeviation)1. 離散程度的測(cè)度值之一2. 最常用的測(cè)度值3. 反映了數(shù)據(jù)的分布反映了各變量值與均值的平均差異樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(samplevarianceandstandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：注意：樣本方差用自由度n-1去除!自由度(degreeoffreedom)一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為

n

時(shí)，若樣本均值

x

確定后，只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)則不能自由取值.例如，樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則

x=5。當(dāng)

x=5

確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值

例五：

原始數(shù)據(jù):10591368離散系數(shù)離散系數(shù)(coefficientofvariation)定義：指標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比。對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測(cè)度消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較計(jì)算公式例六：某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)的離散程度。某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號(hào)產(chǎn)品銷售額（萬(wàn)元）x1銷售利潤(rùn)（萬(wàn)元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0結(jié)論：計(jì)算結(jié)果表明，v1<v2，說(shuō)明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤(rùn)的離散程度v1=536.25309.19=0.577v2=32.521523.09=0.710課堂練習(xí)1男生的平均體重是60千克,標(biāo)準(zhǔn)差是5千克;女生的平均體重是50千克,標(biāo)準(zhǔn)差是5千克;是男生的體重差異程度大還是女生的體重差異程度大？課堂練習(xí)2對(duì)10名成年人和10名幼兒的身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：計(jì)算各組的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差？比較分析哪一組的身高差異大？成年組166169172177180170172174168173幼兒組68696870717372737475BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-44Average(approximately)ofsquareddeviationsofvaluesfromthemeanSample

variance:MeasuresofVariation:

TheVarianceWhere

=arithmeticmeann=samplesizeXi=ithvalueofthevariableXBusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-45MeasuresofVariation:

TheStandardDeviationMostcommonlyusedmeasureofvariationShowsvariationaboutthemeanIsthesquarerootofthevarianceHasthesameunitsastheoriginaldataSample

standarddeviation:BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-46MeasuresofVariation:

TheStandardDeviationStepsforComputingStandardDeviation1. Computethedifferencebetweeneachvalueandthemean.2. Squareeachdifference.3. Addthesquareddifferences.4. Dividethistotalbyn-1togetthesamplevariance.5. Takethesquarerootofthesamplevariancetogetthesamplestandarddeviation.BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-47MeasuresofVariation:

SampleStandardDeviation:

CalculationExampleSample

Data(Xi):1012141517181824

n=8Mean=X=16Ameasureofthe“average”scatteraroundthemeanBusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-48Mean=15.5S=3.338

11121314151617181920211112131415161718192021DataBDataAMean=15.5S=0.9261112131415161718192021Mean=15.5S=4.570DataCBusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-49標(biāo)準(zhǔn)差較小標(biāo)準(zhǔn)差較大BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-50小結(jié)：數(shù)據(jù)越分散，全距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大。數(shù)據(jù)越集中，全距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差越小。如果所有的數(shù)據(jù)都是相同的（沒有變異），所有的測(cè)度指標(biāo)都是零。非負(fù)BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-51MeasuresofVariation:

TheCoefficientofVariationMeasuresrelativevariationAlwaysinpercentage(%)ShowsvariationrelativetomeanCanbeusedtocomparethevariabilityoftwoormoresetsofdatameasuredindifferentunitsBusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-52MeasuresofVariation:

ComparingCoefficientsofVariationStockA:Averagepricelastyear=$50Standarddeviation=$5StockB:Averagepricelastyear=$100Standarddeviation=$5Bothstockshavethesamestandarddeviation,butstockBislessvariablerelativetoitsprice標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

(standardscore)1.也稱標(biāo)準(zhǔn)化值2. 對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量3. 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)4. 用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理5.一般，如果Z值小于-3或者大于3被認(rèn)為是異常值。6.Z的絕對(duì)值越大，數(shù)據(jù)離均值的距離越遠(yuǎn)。BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-54X代表變量值 X是樣本均值 S是樣本標(biāo)準(zhǔn)差BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-55假設(shè)SAT分?jǐn)?shù)的均值是490,標(biāo)準(zhǔn)差是100.計(jì)算考試成績(jī)620的Z值.620比均值大1.3倍標(biāo)準(zhǔn)差，不能被考成是離群點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

(性質(zhì))均值等于02. 方差等于1標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

(性質(zhì))z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在改組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。

標(biāo)準(zhǔn)化值

(例題分析)9個(gè)家庭人均月收入標(biāo)準(zhǔn)化值計(jì)算表家庭編號(hào)人均月收入（元）標(biāo)準(zhǔn)化值z(mì)

123456789150075078010808509602000125016300.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.5561.8530.1160.996BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-59分布形狀測(cè)度數(shù)據(jù)是怎么分布的。形態(tài)的測(cè)度：對(duì)稱或者偏態(tài)均值=

中位數(shù)

均值<

中位數(shù)

中位數(shù)<均值右偏左偏對(duì)稱BusinessStatistics:AFirstCourse,5e?2009Prentice-Hall,Inc.Chap3-603.3總體的數(shù)值型描述性測(cè)度前面介紹的都是對(duì)樣本數(shù)據(jù)的測(cè)度，不是總體數(shù)據(jù)。測(cè)度總體數(shù)量特征的度量指標(biāo)稱為參數(shù),用希臘字母表示。三個(gè)比較重要的參數(shù)是：總體均值、總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差。BusinessStatistics