基本不等式經(jīng)典試題

基本不等式完整版

(一)基本不等式的概念1.兩個(gè)不等式重要不等式：a^(2)+b^(2)≥2ab(a，b∈R),(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào))。常見(jiàn)變形公式：2(a^(2)+b^(2))≥(a+b)^(2)(a，b∈R)、ab≤(a^(2)+b^(2))/(2)基本不等式：(a+b)/(2)≥sqrt(ab)(a，b∈R^(+)),(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào))。常見(jiàn)變形公式：a+b≥2sqrt(ab)；ab≤((a+b)/(2))^(2).【注意】(1)成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)；(2)取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)”。(3)我們稱(chēng)(a+b)/(2)為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)sqrt(ab)為a,b的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。2.由公式a^(2)+b^(2)≥2ab和(a+b)/(2)≥sqrt(ab)引申出的常用結(jié)論①(b)/(a)+(a)/(b)≥2(a,b同號(hào))；②(b)/(a)+(a)/(b)≤-2(a,b異號(hào))；③(2)/((1)/(a)+(1)/(b))≤sqrt(ab)≤(a+b)/(2)≤sqrt((a^(2)+b^(2))/(2))(a>0,b>0)或ab≤((a+b)/(2))^(2)≤(a^(2)+b^(2))/(2)(a>0,b>0)(二)基本不等式(a+b)/(2)≥sqrt(ab)的證明1.幾何面積法如圖，在正方形ABCD中有四個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，那么正方形的邊長(zhǎng)為sqrt(a^(2)+b^(2)).這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形ABCD的面積為a^(2)+b^(2).由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：a^(2)+b^(2)≥2ab.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a^(2)+b^(2)=2ab.得到結(jié)論：如果a,b∈R^(+)，那么a^(2)+b^(2)≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)“=”)特別的，如果a>0，b>0,我們用sqrt(a)、sqrt(b)分別代替a、b，可得：如果a>0，b>0,則a+b≥2sqrt(ab)，(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)“=”)。通常我們把上式寫(xiě)作：如果a>0，b>0,sqrt(ab)≤(a+b)/(2)，(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)“=”)2.代數(shù)法∵a^(2)+b^(2)-2ab=(a-b)^(2)≥0，當(dāng)a≠b時(shí)，(a-b)^(2)>0；當(dāng)a=b時(shí)，(a-b)^(2)=0.所以(a^(2)+b^(2))≥2ab，(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)“=”).(三)基本不等式(a+b)/(2)≥sqrt(ab)的幾何意義如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b，過(guò)點(diǎn)C作DC⊥AB交圓于點(diǎn)D，連接AD、BD。易證RtΔACD~RtΔDCB，那么CD^(2)=CA?CB，即CD=sqrt(ab).這個(gè)圓的半徑為(a+b)/(2)，它大于或等于CD，即(a+b)/(2)≥sqrt(ab)，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)，等號(hào)成立。(四)利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿(mǎn)足三個(gè)條件：一正二定三取等.①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.2、積定和最小，和定積最大(1)設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若x+y=s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)