九年級(jí)上第01講 一元二次方程定義及解法 講義+練習(xí)

第第1講講一元二次方程定義及解法概述概述適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初三適用區(qū)域人教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長（分鐘）120知識(shí)點(diǎn)1、一元二次方程的定義2、一元二次方程的一般式3、直接開方法解一元二次方程4、配方法解一元二次方程教學(xué)目標(biāo)1、掌握一元二次方程的定義.2、掌握一元二次方程的不同解法.教學(xué)重點(diǎn)能根據(jù)題目的要求及特點(diǎn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼夥匠?教學(xué)難點(diǎn)配方法解一元二次方程.【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過程教學(xué)過程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法：情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象；溫故知新，在知識(shí)體系中，從學(xué)生已有知識(shí)入手，揭示本節(jié)知識(shí)與舊知識(shí)的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)供講師參考：一、課堂導(dǎo)入1、我們都學(xué)過哪幾種方程？2、觀察方程，結(jié)合以前學(xué)過的知識(shí)，你能否求出它的根？3、今天我們就學(xué)習(xí)一種新的方程——一元二次方程.二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)提問1．什么叫做一元一次方程？定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式：ax+b=0（a、b為常數(shù)，a≠0）。一元一次方程標(biāo)準(zhǔn)形式:

只含有一個(gè)未知數(shù)（即“元”），并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0）。其中a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x是未知數(shù)。未知數(shù)一般設(shè)為x，y，z。二、知識(shí)講解二、知識(shí)講解考點(diǎn)1考點(diǎn)1一元二次方程的定義【教學(xué)建議】通過前面的引導(dǎo)，得到學(xué)過的幾類方程，建議類比方式得出一元二次方程的定義。1．方程的分類：通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出：學(xué)過的幾類方程是沒學(xué)過的方程是x2-70x+825=0，x(x+5)=150．這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程．”據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類：特點(diǎn)總結(jié)：（1）該方程為整式方程。

（2）該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)。

（3）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2?？键c(diǎn)考點(diǎn)2一元二次方程的一般式1.一元二次方程的一般形式注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化為：x2+5x-150=0．從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．強(qiáng)調(diào)，其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)．要特別注意：二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù)．2.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程的方法：

要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對它進(jìn)行整理。如果能整理為的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程。點(diǎn)撥：①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要組成部分，當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，她就成為一元一次方程了。反之，如果明確了是一元二次方程，就隱含了a≠0這個(gè)條件；

②任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都能化成一般形式，在判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí)，首先化成一般形式，再判斷；

③二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的，所以咋確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，應(yīng)首先將方程化為一般形式；

④項(xiàng)的系數(shù)包括它前面的符號(hào)。如：x2+5x+3=0的一次項(xiàng)系數(shù)是5，而不是5x；3x2+4x-1=0的常數(shù)項(xiàng)是-1而不是1；

⑤若一元二次方程化為一元二次方程的一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)?？键c(diǎn)考點(diǎn)3直接開平方法直接開平方法回憶數(shù)的開方一章中的知識(shí)，請學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．求下列各式中的x：1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．回答解題過程中的依據(jù)．解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．即一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．引入新課我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識(shí)，那么上述方程屬于什么方程呢？新課例1解方程(2x-1)2=81解:兩邊直接開平方得：2x-1=±9，解得：x1=-4，x2=5.這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法

此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2=a(a≥0)的形式，利用數(shù)的開方直接求解．1、本題是解一元二次方程的有關(guān)知識(shí)，掌握直接開平方法解一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵；2、把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2=a(a≥0)的形式，利用數(shù)的開方直接求解；3、接下來，根據(jù)直接開平方法解一元二次方程的方法，結(jié)合題目中的方程，一一進(jìn)行解答即可.考點(diǎn)考點(diǎn)4配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程我們研究方程x2+6x+7=0的解法：將方程視為：x2+2·x·3=-7，即x2+2·x·3+32=32-7，∴(x+3)2=2，這種解一元二次方程的方法叫做配方法．這種方法的特點(diǎn)是：先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解．1.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;2.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半的平方;3.變形:方程左邊分解因式,右邊合并同類項(xiàng);4.開方:5.求解:解一元一次方程;6.定解:寫出原方程的解.考點(diǎn)1一元二次方程的定義三、例題三、例題精析類型一一元二次方程的定義例題1例題1下列方程是一元二次方程（）A．x+2y=1B．C． D．例題2例題2【教學(xué)建議】本題主要是考察一元二次方程的一般式化簡，關(guān)注一般式的特征結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵。類型二一元二次方程的解例題1例題1已知一元二次方程的一個(gè)根是，求代數(shù)式的值.類型三直接開平方法例題1例題1方程x2﹣4=0的解是（） A、x=2 B、x=﹣2 C、x=±2 D、x=±4類型四配方法例題1例題1用配方法解方程x2-7x-1=0．

四、課堂運(yùn)用四、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)基礎(chǔ)判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．

用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）A.B.C.D.若是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解，則m的值為．解方程：（1）；（2）．解：解：鞏固鞏固一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．B．C．D．用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）A．B．C．D．（1）解方程：．解：（2）若是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．解：拔高拔高將一元二次方程化成的形式，則的值為．已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值.先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值。Y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y+2)2?0∴(y+2)2+4?4∴y2+4y+8的最小值是4.(1)求代數(shù)式m2+m+4的最小值；(2)求代數(shù)式4?x2+2x的最大值；(3)某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上建一個(gè)長方形花園ABCD,花園一邊靠墻,另三邊用總長為20m的柵欄圍成。如圖,設(shè)AB=x(m)，請問：當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大?最大面積是多少?五、課堂小結(jié)五、課堂小結(jié)1、一元二次方程的特點(diǎn)；

（1）該方程為整式方程。（2）該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)。（3）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

2、一元二次方程的判斷方法：

要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對它進(jìn)行整理。如果能整理為(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程。3、直接開平方法（1）本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．（2）直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．4、配方法的一般步驟：

（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．

選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．六、課后作業(yè)六、課后作業(yè)基礎(chǔ)基礎(chǔ)已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則m的值為（）A．1B．0C．1D．1或1將代數(shù)式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4方程的解為．先化簡，再求值：，其中．鞏固鞏固在解方程時(shí)，甲同學(xué)說：由于，可令，，得方程的根；乙同學(xué)說：應(yīng)把方程右邊化為0，得，再分解因式，即，得方程的根．對于甲、乙兩名同學(xué)的說法，下列判斷正確的是（）A．甲錯(cuò)誤，乙正確B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲、乙都正確D．甲、乙都錯(cuò)誤對于代數(shù)式，通過配方能說明它的值一定是（）A．非正數(shù)B．非負(fù)數(shù)C．正數(shù)D．負(fù)數(shù)一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化為一般式后為3x2+2x-1=0，試求a2+b2-c2的值的算術(shù)平方根．若是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．答案與解析拔高拔高用配方法將關(guān)于x的方程可以變形為，那么用配方法也可以將關(guān)于x的方程變形為下列形式（）A.B.C.D.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx－2018=0有一個(gè)根為x=1，寫出一組滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的值：a＝，b＝．小明遇到下面的問題：求代數(shù)式的最小值并寫出取到最小值時(shí)的值.經(jīng)過觀察式子結(jié)構(gòu)特征，小明聯(lián)想到可以用解一元二次方程中的配方法來解決