粘彈性半無限土體內(nèi)部應(yīng)力和位移的時域解

粘彈性半無限土體內(nèi)部應(yīng)力和位移的時域解

1樁基基礎(chǔ)的粘彈性問題1936年，穆林給出了半自由體內(nèi)部功能集中力的彈性解。徐志英根據(jù)abu方程原理推斷出具有半自由體內(nèi)部垂直均勻負(fù)荷作用下的土壤垂直應(yīng)力公式。從那時起，一些科學(xué)家將模糊理論應(yīng)用于樁基分析。袁居云系統(tǒng)研究了垂直自由空間載荷、水平自由空間載荷、地板荷載和縱向自由空間載荷的作用，以及地板荷載和垂直自由空間載荷的作用。文獻(xiàn)在軸對稱條件下給出了粘彈性問題的Kelvin模型解答;文獻(xiàn)則研究了半空間Burgers體在法向集中力或切向集中力作用下的粘彈性解;文獻(xiàn)以布西奈斯克(Boussinesq)豎向位移解為依據(jù),運用彈性-彈粘性對應(yīng)原理,研究了矩形均布荷載作用下建筑物基礎(chǔ)沉降的粘彈性計算方法。雖然工程實踐證明,以Mindlin解為依據(jù)導(dǎo)出的樁基礎(chǔ)以及其它深基礎(chǔ)的沉降計算公式,往往與實測值吻合較好,但Mindlin計算理論并沒有考慮土體的粘彈性特征。建筑物的持續(xù)沉降通常與地基土的流變性質(zhì)有關(guān),因此,考慮地基土的粘彈性特征,研究半無限體內(nèi)部作用有豎向集中力的粘彈性解,對于較準(zhǔn)確的計算樁基位移與建筑物的沉降,無疑具有非常重要的理論價值和應(yīng)用價值。本文根據(jù)Mindlin彈性解和三維粘彈性體的微分型本構(gòu)方程,推導(dǎo)了豎向集中力作用在半無限體內(nèi)部的粘彈性應(yīng)力和位移解,并根據(jù)豎向位移的粘彈性解推導(dǎo)了深置基礎(chǔ)的粘彈性沉降計算公式。2半無限空間的粘合彈性解2.1u3000laplace乘子法理論的建立三參量固體模型不僅能夠反應(yīng)土體的瞬時彈性變形,而且能夠反應(yīng)土體隨時間逐步穩(wěn)定的粘彈性變形。因此,本文選擇三參量固體粘彈性模型描述土體的粘彈性本構(gòu)關(guān)系,研究粘彈性半空間體內(nèi)部作用有豎向集中力時的準(zhǔn)靜態(tài)粘彈性解。土體在內(nèi)部集中力作用下的應(yīng)力為三維復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),假定應(yīng)力球張量和應(yīng)變球張量之間符合彈性關(guān)系,而應(yīng)力偏張量和應(yīng)變偏張量之間符合三參量固體粘彈性本構(gòu)方程。由粘彈性理論可知,對時間t求Laplace變換后的三維應(yīng)力狀態(tài)下微分型本構(gòu)方程為ˉΡ1(s)ˉsij=ˉQ1(s)ˉeij,ˉΡ2(s)ˉσkk=ˉQ2(s)ˉεkk(1)其中:ˉsij、ˉeij分別為應(yīng)力、應(yīng)變偏張量的Laplace變換;ˉσkk、ˉεkk分別為應(yīng)力、應(yīng)變球張量的Laplace變換;ˉΡ1、ˉQ1分別為與偏張量有關(guān)的微分算子的Laplace變換;ˉΡ2、ˉQ2分別為與球張量有關(guān)的微分算子的Laplace變換;ˉΡ1、ˉQ1和ˉΡ2、ˉQ2的表達(dá)式為ˉΡ1=m∑k=0p′ksk?ˉQ1=n∑k=0q′ksk,ˉΡ2=m∑k=0p″ksk?ˉQ2=n∑k=0q″ksk如圖1所示,對三參量固體粘彈性模型,則有ˉΡ1(s)=Gk+G1+ηks,ˉQ1(s)=2G1Gk+2G1ηks?ˉΡ2(s)=1,ˉQ2(s)=3Κ(2)式中:K為體積彈性模量;G1、Gk、ηk分別為三參量模型參數(shù)。由式(2)可以得出{ˉE(s)=18ΚG1(Gk+ηks)/[6Κ(G1+Gk+ηks)+2(G1Gk+G1ηks)]ˉμ(s)=[3Κ(G1+Gk+ηks)-2G1(Gk+ηks)]/[6Κ(G1+Gk+ηks)+2(G1Gk+G1ηks)]ˉG(s)=(G1Gk+G1ηks)/(Gk+G1+ηks)(3)2.2土構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示,半無限彈性體內(nèi)部作用豎向集中力時,半無限體內(nèi)部任一點M(x,y,z)的Mindlin解答為σx=Ρ8π{-b1(z-h)R31+b23x2(z-h)R51-b13(z-h)R32+b44(z+h)R32+b230hx2z(z+h)R72+b33x2(z-h)R52-b16h(z+h)zR52+b512h2(z+h)R52+b6[4R2(R2+z+h)?(1-x2R2(R2+z+h)x2R22)]}(4a)σy=Ρ8π{b1[-(z-h)R31-3(z-h)R32-6hz(z+h)R52]+b2[3y2(z-h)R51+30hy2z(z+h)R72]+b33y2(z-h)R52+b44(z+h)R32+b512h2(z+h)R52+b64R2(R2+z+h)g?(1-y2R2(R2+z+h)-y2R22)}(4b)σz=Ρ8π{b1(z-hR31-z-hR32)+b2[3(z-h)3R51+30hz(z+h)3R72-3h(z+h)(5z-h)R52+b33z(z+h)2R52}(4c)τyz=Ρ8π{b1[yR31-yR32-3h(3z+h)R52+b23y(z-h)2R51+30hz(z+h)2R72]+b33z(z+h)R52}(4d)τxz=Ρ8π{b11R31-b21R32+b23(z-h)2R51+b230hz(z+h)2R72-b23h(3z+h)R52+b33z(z+h)R52}(4e)τxy=Ρ8π{b2[3xy(z-h)R51+30hz(z+h)R72]+b33xy(z-h)R52-b64R22(R2+z+h)?(1R2(R2+z+h)-1R2)}(4f)ux=Ρ16π[b9(z-h)xR31+b7x(z-h)R32-b104xR2(R2+z+h)+b96xhz(z+h)R32(5a)uy=Ρ16π[b9y(z-h)R31+b7y(z-h)R32-b104yR2(R2+z+h)+b96yhz(z+h)R32(5b)uz=Ρ16π[b71R1+b88R2-b71R2+b9(z-h)3R31+b7(z+h)3R32-b92hzR32+b96hz(z+h)2R52](5c)其中:r為集中力的作用線到計算點的水平距離,r=√x2+y2;R1=√r2+(z-h)2;R2=√r2+(z+h)2;μ為土體的泊松比;G為土體的剪切模量,G=E/2(1+μ);E為土的彈性模量;且有b1=(1-2μ)/(1-μ),b2=1/(1-μ),b3=(3-4μ)/(1-μ),b4=μ(1-2μ)/(1-μ),b5=μ/(1-μ),b6=1-2μ,b7=(3-4μ)/G(1-μ),b8=(1-μ)/Gb9=1/G(1-μ),b10=(1-2μ)/G(6)2.3a51t-4e13t-1e13t的表達(dá)假定粘彈性空間半無限體內(nèi)部深度h處受突加豎向集中力P(t)=P0H(t)作用,對P(t)求Laplace變換為ˉΡ(s)=Ρ0/s(7)根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)彈性-彈粘性對應(yīng)原理,在相同荷載條件下,首先對式(4a)～(5c)作關(guān)于時間t的Laplace變換,然后將式(3)代入,經(jīng)過一系列復(fù)雜的Laplace逆變換,即可求得半空間體的粘彈性解答,三參數(shù)固體粘彈性空間半無限體各應(yīng)力、位移分量的粘彈性解的計算結(jié)果為σx(x,y,z,t)=Ρ08π{[v1(1-a1(t))+e1a1(t)]?[-(z-h)R31-3(z-h)R32-6h(z+h)zR52]+[v2(1-a1(t))+e2a1(t)]g[3x2(z-h)R51+30hx2z(z+h)R72]+[v3(1-a1(t))+e3a1(t)]?3x2(z-h)R52+[v4+v5a1(t)-v6a2(t)]4(z+h)R32+[v7(1-a1(t))+e4a1(t)]12h2(z+h)R52+[v8(1-a2(t))+e5a2(t)][4R2(R2+z+h)(1-x2R2(R2+z+h)-x2R22]}(8a)σy(x,y,z,t)=Ρ08π{[v1(1-a1(t))+e1a1(t)]?[-(z-h)R31-3(z-h)R32-6h(z+h)zR52]+[v2(1-a1(t))+e2a1(t)]g[3y2(z-h)R51+30hy2z(z+h)R72]+[v3(1-a1(t))+e3a1(t)]?3y2(z-h)R52+[v4+v5a1(t)-v6a2(t)]4(z+h)R32+[v7(1-a1(t))+e4a1(t)]12h2(z+h)R52+[v8(1-a2(t))+e5a2(t)][4R2(R2+z+h)(1-y2R2(R2+z+h)-y2R22]}(8b)σz(x,y,z,t)=Ρ08π{[v1(A11-A22)+v2(A33-A55+A66)+v3A44(1-a1(t))+e1a1(t)(A11-A22)+e2a1(t)(A33-A55+A66)+e3a1(t)A44}(8c)τyz(x,y,z,t)=Ρ08π{[v1(1-a1(t))+e1a1(t)][yR31-yR32-3h(3z+h)R52+[v2(1-a1(t))+e2a1(t)]?[3y(z-h)2R51+30hz(z+h)2R72]+[v3(1-a1(t))+e3a1(t)]3z(z+h)R52}(8d)τxz(x,y,z,t)=Ρ08π{[v1(1-a1(t))+e1a1(t)][1R31-1R32]+[v2(1-a1(t))+e2a1(t)][3(z-h)2R51+30hz(z+h)2R72-3h(3z+h)R52]+[v3(1-a1(t))+e3a1(t)]3z(z+h)R52}(8e)τxy(x,y,z,t)=Ρ08π{[v2(1-a1(t))+e2a1(t)]?[3xy(z-h)R51+30hz(z+h)R72]+[v3(1-a1(t))+e3a1(t)][3xy(z-h)R52-[v8(1-a2(t))+e5a2(t)]?4R22(R2+z+h)(1R2(R2+z+h)-1R2)}(8f)ux(x,y,z,t)=Ρ016π{[v9-v10a3(t)-v11a1(t)]?x(z-h)R32+[v12-v10a3(t)+v11a1(t)][(z-h)xR31+6xhz(z+h)R32]-[v13(1-a2(t))+e6a2(t)]?4xR2(R2+z+h)}(9a)uy(x,y,z,t)=Ρ016π{[v9-v10a3(t)-v11a1(t)]?y(z-h)R32+[v12-v10a3(t)+v11a1(t)][(z-h)yR31+6yhz(z+h)R32]-[v13(1-a2(t))+e6a2(t)]?4yR2(R2+z+h)}(9b)uz(x,y,z,t)=Ρ016π{(1R1-1R2+(z+h)2R32)[v9-v10a3(t)-v11a1(t)]+8R2[v14-v15a3(t)-v16a2(t)]+[(z-h)2R31-2hzR32+6hz(z+h)2R52]?[v12-v10a3(t)+v11a1(t)]}(9c)式(8a)～(9c)中v1=6G1Gk4G1Gk+3ΚG1+3ΚGk,v2=2G1Gk+6Κ(G1+Gk)4G1Gk+3Κ(G1+Gk),v3=14G1Gk+6Κ(G1+Gk)4G1Gk+3Κ(G1+Gk),e1=6G14G1+3Κ,e2=2G1+6Κ4G1+3Κ,e3=14G1+6Κ4G1+3Κ,v4=6G1Gk(3ΚG1+3ΚGk-2G1Gk)(3ΚG1+3ΚGk+4G1Gk)(6ΚG1+6ΚGk+2G1Gk),v5=18ΚG1G1(3ΚG1+3ΚGk+4G1Gk)(3Κ+4G1),e4=3Κ-2G13Κ+4G1,v6=36ΚG1G1(6ΚG1+6ΚGk+2G1Gk)(6Κ+2Gk),e5=6G16Κ+2G1,v7=3Κ(G1+Gk)-2G1Gk3ΚG1+3ΚGk+4G1Gk,v8=6G1Gk6ΚG1+6ΚGk+2G1Gk,v9=(G1+Gk)(6ΚG1+6ΚGk+14G1Gk)G1Gk(3ΚG1+3ΚGk+4G1Gk),v10=2Gk,v11=24G1G1(3ΚG1+3ΚGk+4G1Gk)(3Κ+4G1),e6=66Κ+2G1,v12=(G1+Gk)(6ΚG1+6ΚGk+2G1Gk)G1Gk(3ΚG1+3ΚGk+4G1Gk),v13=6(G1+Gk)(6Κ+2G1)ηk,v14=(G1+Gk)(3ΚG1+3ΚGk+4G1Gk)G1Gk(6ΚG1+6ΚGk+2G1Gk),v15=12Gk,v16=6G1G1(6Κ+2G1)(6ΚG1+6ΚGk+G1Gk),a1(t)=e-4G1Gk+3ΚG1+3ΚGk4G1ηk+3Κηkt,a2(t)=e-6ΚG1+6ΚGk+2G1Gk(6Κ+2G1)ηkt,a3(t)=e-Gkηkt,A11=(z-h)/R31,A22=(z-h)/R32,A33=3(z-h)3/R51,A44=3z(z+h)2/R52,A55=3h(z+h)(5z-h)/R52,A66=30hz(z+h)3/R723沉降驗算的兩種方法基礎(chǔ)沉降問題是地基基礎(chǔ)設(shè)計中的一個重要課題,特別是對高層建筑設(shè)計更為重要,目前按沉降設(shè)計樁基礎(chǔ)的設(shè)計理念已逐漸得到工程界的認(rèn)可,樁基工程實踐表明,采用圖3所示的計算簡圖所得沉降量,結(jié)果往大于實測值。原因在于當(dāng)樁基礎(chǔ)埋深較深時,荷載是作用在半無限體內(nèi)部而非半無限體表面。為了改進(jìn)上述缺點,并考慮土體的粘彈性特征,本節(jié)以前面所得的豎向位移的粘彈性解為依據(jù),推導(dǎo)了粘彈性土體內(nèi)部矩形面積上作用有豎向均布荷載、三角形分布荷載時的粘彈性沉降計算公式。并以此為基礎(chǔ)給出了樁基礎(chǔ)沉降計算方法。3.1u3000va3t-1.2.3如圖4所示,設(shè)半空間表面下深度h處有一均布荷載p作用在矩形面積上,矩形面積的長度和寬度分別為b和c,為計算矩形面積角點N任一深度處的粘彈性沉降,可在矩形面積范圍內(nèi)取單元面積dS=dξdη,作用在單元面積上的分布荷載可以以集中力dP=pdξdη來代替。則可以通過積分求得N點以下任意深度處的土中6個應(yīng)力分量和3個位移分量。由z向粘彈性位移的表達(dá)式(9c),對其在矩形區(qū)域范圍內(nèi)積分,有w=∫c0∫b0uzdξdη=pc16π{[v9-v10a3(t)-v11a1(t)]?(A1-B1+D1)+8B1[v14-v15a3(t)-v16a2(t)]+[v12-v10a3(t)+v11a1(t)](C1+hzb2E1)}(10)式(10)中:v9～v16的表達(dá)式和式(8a)～(9c)相同,其中A1=lnbc+(bc)2+(z-hc)2+1(z-hc)2+12+bcln1+(bc)2+(z-hc)2+1(bc)2+(z-hc)2+2(z-hc)tan-1z-hcbc+(bc)2+(z-hc)2?[(bc)2+(z-hc)2+1-(bc)2+(z-hc)2]-(z-hc)tan-11/(z-hc),B1=lnbc+(bc)2+(z+hc)2+1(z+hc)2+12+bcln1+(bc)2+(z+hc)2+1(bc)2+(z+hc)2+2(z+hb)tan-1z+hcbc+(z+hc)2+(bc)2?[(bc)2+(z+hc)2+1-(bc)2+(z+hc)2]-(z+hc)tan-11z+hc,C1=(z-hc)tan-1bc(z-hc)(bc)2+(z-hc)2+1,D1=(z+hc)tan-1bc(z+hc)(bc)2+(z+hc)2+1,E1=2bc1(bc)2+(z+hc)2+1?[1(bc)2+(z+hc)2+1(z+hc)2+1]3.2v一e1t式若要計算圖5所示半空間內(nèi)部作用有豎向均布荷載所引起的矩形面積中點O下某一深度處的沉降,同樣可由z向粘彈性位移的表達(dá)式(9c),對其在矩形區(qū)域范圍內(nèi)積分求得,有w=4∫0c/2∫0b/2uzdξdη=pc8π{[v9-v10a3(t)-v11a1(t)](A2-B2+D2)+8B2[v14-v15a3(t)-v16a2(t)]+[v12-v10a3(t)+v11a1(t)](C2+hzb2E2)}(11)式(11)中,v9～v16的表達(dá)式和式(8a)～(9c)相同,其中A2=lnbc+(bc)2+4(z-hc)2+14(z-hc)2+1-bcln1+(bc)2+4(z-hc)2+1(bc)2+4(z-hc)2+4(z-hc)tan-12(z-hc)bc+(bc)2+4(z-hc)2?[(bc)2+4(z-hc)2+1-(bc)2+4(z-hc)2]-2(z-hc)tan-1c2(z-h),B2=lnbc+(bc)2+4(z+hc)2+14(z+hc)2+1+bcln1+(bc)2+4(z+hc)2+1(bc)2+4(z+hc)2+4(z+hc)tan-12(z+hc)bc+(bc)2+(z+hc)2?[(bc)2+4(z+hc)2+1-(bc)2+4(z+hc)2]-2(z+hc)tan-1c2(z+h),C2=2(z-hc)tan-1bc2(z-hc)(bc)2+4(z-hc)2+1,D2=2(z+hc)tan-1bc2(z+hc)(bc)2+4(z+hc)2+1,E2=8bc1(bc)2+4(z+hc)2+1?[1(bc)2+4(z+hc)2+14(z+hc)2+1]3.3模型公式求解如圖6所示,若在半空間表面下h深度處作用有沿y軸方向線性增長的三角性分布荷載,為計算荷載強(qiáng)度為零邊角點M下某一深度處的粘彈性沉降,可在矩形范圍內(nèi)取面積元素dS=dξdη,作用在面積元素dS上的分布荷載可用集中力dP表示dP=(pξ/c)dξdη,對表達(dá)式(9c)在矩形區(qū)域內(nèi)積分,有w=pc∫0c∫0bu2ξdξdη=pc32π{[v9-v10a3(t)-v11a1(t)][A3-B3+2(z+hb)2D3]+8B3[v14-v15a3(t)-v16a2(t)]+[v12-v10a3(t)+v11a1(t)](C3-4hzb2D3+hzb2E3)}(12)式(12)中,v9～v16的表和式(8a)～(9c)相同,其中A3=(bc)(bc)2+(z-hc)2+1+[1+(z-hc)2]?lnbc+(bc)2+(z-hc)2+1(z-hc)2+1-(bc)(bc)2+(z-hc)2-(z-hc)2lnbc+(bc)2+(z-hc)2az-hc,B3=bc(bc)2+(z+hc)2+1+[1+(z-hc)2]?lnbc+(bc)2+(z+hc)2+1(z+hc)2+1-(z+hc)2?lnbc+(bc)2+(z+hc)2z+hc-bc(bc)2+(z+hc)2,C3=2(z-hc)2[lnbc+(bc)2+(z-hc)2z-hc-lnbc+(bc)2+(z-hc)2+1(z-hc)2+1]?D3=lnbc+(bc)2+(z+hc)2z+hc-lnbc(bc)2+(z+hc)2+1(z+hc)2+1,E3=4(z+hc)2[bc(b+hc)2(bc)2+(z+hc)2-bc[1+(z+hc)2](bc)2+(z+hc)2+1]如果矩形面積上作用有梯形分布荷載或所求沉降點為地基中的任一點時,可以利用上述三個公式運用疊加原理進(jìn)行求解。若不考慮土體的粘彈性,即當(dāng)ηk=0時,式(10)、(11)和(12)分別可退化為文獻(xiàn)中矩形面積上的矩形角點、中點以及三角形分布荷載所引起的荷載強(qiáng)度為零邊角點下某一深度M點的彈性沉降計算公式。式(8a)～(9c)、(10)、(11)和(12)公式復(fù)雜,計算工作量很大,靠手工計算精度難以保證,且不便于工程應(yīng)用。作者根據(jù)本文的研究成果,運用VisualFortran語言編制了計算程序,可用于計算粘彈性半無限土體以及深基礎(chǔ)的整體粘沉降計算。4驗證與實例分析4.1應(yīng)力解的驗證以式(8c)、(9c)為例,分別研究空間半無限三參數(shù)粘彈性體內(nèi)部作用垂直集中力,半無限體內(nèi)部任一點M(x,y,z)的垂直應(yīng)力σz(x,y,z,t)和位移uz(x,y,z,t)的變化規(guī)律,將t=0和t→∞代入式(9c),則其在t=0時刻初始應(yīng)力值為σz(x,y,z,0)=p08π{(z-hR13-z-hR23)e1+[3(z-h)3R15-3h(z+h)(5z-h)R25+30hz(z+h)3R27]e2+3z(z+h)2R25e3}(13)上式與彈性解式(4c)相同,表明在加載瞬時材料變形主要由模型中的彈簧值G1承擔(dān),由此可以驗證粘彈性應(yīng)力解的正確性。當(dāng)t→∞時,則有穩(wěn)定的應(yīng)力值σz=Ρ08π[v1(A11-A22)+v2(A33-A55+A66)+v3A44](14)對豎向位移uz(x,y,z,t),由式(9c)可得t=0時刻的初始位移值為uz(x,y,z,0)=Ρ016π[e3G1(1R1-1R2+(z+h)2R23)+8R21G1e2+e2G1(z-h)2R13-2hzR23+6hz(z+h)2R25](15)上式與彈性解式(5c)相同,表明在加載瞬時材料變形主要由模型中的彈簧值G1承擔(dān)。因此可以驗證粘