第一篇-第三章 平面光波在平界面層狀介質(zhì)薄膜中的反射與透射

第三章平面光波在平界面層狀介

質(zhì)薄膜中的反射與透射曹建章本章采用魯阿德遞推方法將導(dǎo)出描述光波在單層薄膜中反射和透射的特征矩陣，以及單層薄膜反射率計算的公式，然后討論光波在多層薄膜中反射率和透射率的計算。最后也將討論非均勻介質(zhì)薄膜及層狀各向異性介質(zhì)薄膜的反射和透射計算問題。3.1法向阻抗和光學(xué)有效導(dǎo)納的概念為了引入光學(xué)有效導(dǎo)納的概念，首先定義法向阻抗（也有作者稱之為切向阻抗）。法向阻抗定義為平面電磁波在分界平面上電場切向分量與磁場切向分量之比，即(3-1)注意此處的下標(biāo)t指切向分量，而不是透射分量。顯然，法向阻抗與本征阻抗

具有相同的量綱。那么，在斜入射S-波偏振的情況下，對入射波，由圖2-1可知式中

為入射角，則法向阻抗為對于反射波，有(3-2)(3-3)(3-4)則法向阻抗為波在界面上垂直入射時，，法向阻抗的絕對值等于介質(zhì)的本征阻抗。斜入射P-波偏振的情況下，對于入射波，由圖2-2可知式中

為入射角。法向阻抗為(3-5)（3-6）（3-7）對反射波，有如果不考慮場矢量的方向性（反射系數(shù)和透射系數(shù)已考慮場矢量的方向性），可定義S-波偏振界面上側(cè)介質(zhì)1中的法向阻抗為而P-波偏振界面上側(cè)介質(zhì)1中的法向阻抗為（3-8）（3-9）（3-10）（3-11）對于光學(xué)介質(zhì)來說，近似有

。根據(jù)式（1-39），法向阻抗又可以表達(dá)為

S-波：P-波：有了法向阻抗的概念后，光學(xué)有效導(dǎo)納定義為法向阻抗的倒數(shù)。但由于在式（2-14）和式（2-33）中分子、分母有公因子

，故可消去。因此，定義光學(xué)有效導(dǎo)納為S-波：（3-12）（3-13）（3-14）

P-波：引入光學(xué)有效導(dǎo)納的概念后，S-波偏振和P-波偏振反射系數(shù)與垂直入射情況下的形式相同，這就是2.1.1和2.1.2節(jié)中引入有效導(dǎo)納的原因。現(xiàn)把式（2-22）和式（2-39）重寫如下：（3-15）（3-16）（3-17）式中

S-波：

P-波：分別為S-波偏振和P-波偏振界面下側(cè)介質(zhì)2的光學(xué)有效導(dǎo)納。根據(jù)電場切向分量和磁場切向分量連續(xù)的邊界條件式（2-7），有（3-18）（3-19）(3-20)式中

與

為界面下側(cè)介質(zhì)2中透射電場的切向分量和透射磁場的切向分量。這就是確定平面波反射系數(shù)的列昂托維奇近似邊界條件，其意義在于它用介質(zhì)1中平面電磁波的切向分量來表達(dá)介質(zhì)2的光學(xué)有效導(dǎo)納，給計算平面電磁波在平面分層介質(zhì)中反射和透射問題提供了依據(jù)。為了下面討論方便起見，把S-波偏振和P-波偏振的反射系數(shù)式（3-16）和式（3-17）寫成通一形式為(3-21)式中

表示界面上側(cè)入射介質(zhì)中的光學(xué)有效導(dǎo)納，相對應(yīng)地入射介質(zhì)中的入射角為

，

表示界面下側(cè)透射介質(zhì)中的光學(xué)等效導(dǎo)納或稱組合導(dǎo)納。(注意此處P-波相差一“-”號，但并不影響反射率和透射率的計算)3.2平面分界面單層均勻介質(zhì)薄膜的反射與透射如圖3-1（a）所示為一單層薄膜，入射介質(zhì)的折射率為

，膜層的折射率為

，透射介質(zhì)（也稱基底）的折射率為

。入射波首先在界面1反射，透射波在膜層中兩個界面間相繼反射和透射。引入光學(xué)有效導(dǎo)納的概念后，不管是S-波偏振還是P-波偏振，電場矢量和磁場矢量都平行于界面，斜入射的問題轉(zhuǎn)化為垂直入射的問題，見圖3-1（b）。然后，應(yīng)用平界面垂直入射的反射系數(shù)公式（3-21）就可得到斜入射時的反射系數(shù)公式?，F(xiàn)應(yīng)用電場和磁場切向分量在界面兩側(cè)連續(xù)的邊界條件選取界面的單位法向矢量沿+Z方向，并利用式（3-20），可寫出在此需要說明，在式（3-23）第二式中光學(xué)有效導(dǎo)納

前略去了因子

，該式僅是形式上相等。因?yàn)樵诘玫降姆瓷湎禂?shù)最后表達(dá)式中(3-22)(3-23)該因子被消去，與不計入該因子得到的公式相同。為了書寫簡單和推導(dǎo)方便起見，取該因子為1。后面用到的光學(xué)等效導(dǎo)納

也是如此。對于界面2與界面1有相同X、Y坐標(biāo)的點(diǎn)，由式（2-6）得知，波在兩界面間傳播，正Z向傳播空間相位因子改變

，負(fù)Z向傳播空間相位因子改變

，而（3-24）式中

為真空中的波長。那么，有（3-25）由此得到寫成矩陣形式，有（3-26）（3-27）在介質(zhì)2中僅有正Z向傳播的波，界面2應(yīng)用電場和磁場切向連續(xù)的邊界條件，有解出

和

，有寫成矩陣形式，有(3-28)(3-29)(3-30)此式代入（3-27）式，得到(3-31)根據(jù)式（3-20）知于是，有令(3-32)(3-33)(3-34)而矩陣稱之為介質(zhì)層或薄膜的特征矩陣，它包含了反映介質(zhì)特性的全部物理參數(shù)，其中由此可將列向量

稱之為透射介質(zhì)（即基底）與膜層的組合特征向量。由于(3-35)(3-36)(3-37)由式（3-34）解出B和C，代入得到代入式（3-21），得到單層介質(zhì)薄膜的反射系數(shù)為(3-38)根據(jù)式（2-218）和式（2-220），不管是S-波偏振還是P-波偏振，反射率具有相同形式而根據(jù)式（2-224）和式（2-225），將式（3-39）代入，得到S-波偏振和P-波偏振透射率具有的相同形式為

下面根據(jù)式（3-39）對單層薄膜的一些特(3-39)(3-40)點(diǎn)加以討論。圖3-2是計算實(shí)例，其中入射介質(zhì)為空氣，折射率

，基底介質(zhì)為玻璃，折射率，薄膜介質(zhì)折射率取值,

1.4,1.5,1.7,2.0。，

1.垂直入射（

，

）垂直入射情況下，有又由式（3-24），當(dāng)或即薄膜的光學(xué)厚度

取四分之一波長的整數(shù)倍，此時(3-41)(3-42)(3-43)因此，當(dāng)

取奇數(shù)，式（3-34）化為得代入式（3-39），有(3-44)（3-45）（3-46）而當(dāng)

取偶數(shù)，式（3-34）化為得代入式（3-39），有（1）當(dāng)m取奇數(shù)時，由式（3-42）可知，其最小光學(xué)厚度為

，稱此膜層為

膜。(3-47)（3-48）（3-49）從數(shù)學(xué)的角度講，可以把Y看作是對應(yīng)于某介質(zhì)的光學(xué)有效導(dǎo)納，而實(shí)際的單層薄膜由“虛擬”的數(shù)學(xué)單一界面代替。

（2）由式（3-46）可知，當(dāng)薄膜折射率大于基底折射率時，即

，則

，由式（3-46）計算得到的反射率比未鍍膜的反射率高，這種膜稱為增反膜。當(dāng)

取

的奇數(shù)倍時，反射率達(dá)到極大值（3-50）顯然，比值

越大，反射率越高。但是實(shí)際可供選擇的材料的折射率是有限的，在可見光區(qū)，最大折射率

。如果取

，

，反射率

。在紅外區(qū)域，最大折射率

，如果取

，

，反射率

，故在可見光波段，單層膜可達(dá)到的最大反射率不會超過50%。另外，單層膜的增反射區(qū)域帶寬也很窄。

（3）當(dāng)m取偶數(shù)時，由式（3-42）可知，其最小光學(xué)厚度為

，稱此膜層為

膜。此膜系的反射率（3-49）式與膜層的折射率

無關(guān)，而是

和

兩介質(zhì)單一界面的反射率，見圖3-2，稱此膜層為“無效層”。但需要注意，條件式（3-42）除與光學(xué)厚度有關(guān)外，還與透射角

和波長

有關(guān)，即“無效層”是對一定的入射角和一定的波長無影響，當(dāng)入射角或波長改變時，膜系的反射率（3-49）式就不再成立，而與膜層折射率

有關(guān)，對反射率產(chǎn)生影響。

（4）對于

膜層，由式（3-46），當(dāng)滿足條件時，反射率R為零。說明當(dāng)入射介質(zhì)的折射率和基底折射率給定之后，要得到零反射，可（3-51）供選擇的膜層折射率取二者乘積的方根值。比如入射介質(zhì)為空氣

，基底介質(zhì)為玻璃

，那么這樣低的折射率在現(xiàn)有光學(xué)材料中還沒有，所以理論上可以得到零反射，而實(shí)際上無法實(shí)現(xiàn)。變通的辦法是在玻璃基底上鍍多層膜，可減小反射，增加透射。

（5)當(dāng)膜層折射率小于基底折射率,即,無論膜層光學(xué)厚度取何值，由式（3-39）計算可知，鍍膜后的反射率小于未鍍膜時的反射或不變，稱此膜為增透膜（或減反膜、抗反膜）。當(dāng)光學(xué)厚度取

的奇數(shù)倍時，反射率達(dá)到極小值當(dāng)光學(xué)厚度取

的偶數(shù)倍時，反射率達(dá)到極大值，此極大值等于未鍍膜時基底的反射率。鍍膜材料的折射率

與

的差別越小，增透的效果就越好。計算實(shí)例見圖3-2。

2.斜入射（

，

）（3-52）圖3-3是斜入射時單層薄膜的反射率隨光學(xué)厚度變化的關(guān)系曲線，其中入射介質(zhì)為空氣，折射率

，基底介質(zhì)為玻璃,折射率,薄膜介質(zhì)折射率取值

和1.7，而入射角

。在斜入射的情況下，垂直入射討論的定性結(jié)論仍然成立.但是當(dāng)斜入射時，,滿足極值點(diǎn)的條件不管是m取奇數(shù)值還是偶數(shù)值,光學(xué)厚度

都向增大的方向偏移，見圖3-3。另外，斜入射時，光學(xué)有效導(dǎo)納

、

和

的取值由式(3-53)確定，S-波偏振反射率和P-波偏振反射率不再相同，相對強(qiáng)度發(fā)生了變化，這種變化稱之為偏振分離。比如入射光為自然光，相對強(qiáng)度發(fā)生變化的結(jié)果是反射光和透射光變成了部分偏振光。3.3平面分界面多層均勻介質(zhì)薄膜的反射與透射3.3.1平面分界面多層均勻介質(zhì)薄膜反射系數(shù)和透射系數(shù)計算的矩陣方法

單層介質(zhì)薄膜反射和透射問題的計算歸結(jié)為單一“界面”反射系數(shù)的求解，通過薄膜特征矩陣式（3-35）把單層介質(zhì)薄膜等效為單一“界面”，如圖3-4所示。

與單層薄膜的等效相同，對于多層薄膜反射和透射問題的計算，可歸結(jié)為如圖3-5所示的等效過程，即用薄膜特征矩陣的的乘積把多層薄膜等效為單一“界面”。下面從數(shù)學(xué)的角度給予討論。

如圖3-6所示為多層均勻介質(zhì)薄膜參數(shù)模型，

、

分別為第i層膜的折射率和薄膜厚度；為第i層界面i下側(cè)透射和反射電場和磁場切向分量的總振幅，為第i層界面i+1上側(cè)反射和透射電場和磁場切向分量的總振幅；為第i界面的透射角，圖中標(biāo)記。由描述單層介質(zhì)薄膜的矩陣方程（3-31），在界面1和界面2應(yīng)用邊界條件，可得同樣，在界面2和界面3應(yīng)用邊界條件，得在界面K和K+1應(yīng)用邊界條件，得（3-54）（3-55）（3-56）由于界面的切向分量連續(xù)，有利用邊界條件連續(xù)的條件式（3-57），便可得到矩陣方程（3-57）（3-58）根據(jù)式（3-20），有因而式（3-58）可改寫為由此得到多層薄膜的組合特征向量為（3-59）（3-60）（3-61）式中第i層的透射角由斯涅爾定律確定，即式（3-60）至式（3-64）構(gòu)成光學(xué)薄膜反射和透射問題計算的基礎(chǔ)。首先，求解矩陣方程（3-61）得到膜層組合特征向量，然后（3-62）（3-63）（3-64）求光學(xué)等效導(dǎo)納

，代入式（3-21），就可得到多層薄膜的反射系數(shù)為反射率和透射率為顯然，多層薄膜與單層膜的反射系數(shù)、反射率和透射率表達(dá)式形式完全相同。（3-66）（3-65）（3-67）對于平面分層介質(zhì)為吸收層或鑲嵌有吸收層的情況，界面反射系數(shù)的計算僅需要將折射率

改為復(fù)折射率

，有效導(dǎo)納

改為復(fù)有效導(dǎo)納

，相應(yīng)的公式如下：（3-68）（3-69）（3-70）（3-71）（3-72）（3-73）（3-74）根據(jù)能量守恒，吸收介質(zhì)的吸收率為（3-75）3.3.2多層增透膜和高反射膜的基本構(gòu)成特點(diǎn)為了書寫方便，首先介紹薄膜光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計中通常采用的一些簡潔符號表示。鍍膜通常以

或

的整數(shù)倍表示膜層厚度，

膜層厚度用H、M或L表示，并賦予高、中、低折射率的含義。而

膜層厚度用2H、2M或2L表示，也可用HH、MM或LL表示。比如就表示在基底G上鍍高、中、低折射率分別為

、

、

，光學(xué)厚度均為

的三層膜系，A表示入射介質(zhì)，折射率記為

。在任意膜厚的情況下，也可把介質(zhì)折射率和膜層厚度寫在一起用數(shù)字表示和數(shù)字字母混合表示，如在鍍膜技術(shù)中，也有作者把光學(xué)厚度為

的整數(shù)倍膜層簡稱QWOT膜,光學(xué)厚度為

的整數(shù)倍膜層簡稱HWOT膜。

下面給出多層薄膜計算的一些實(shí)例,以說明增透膜和高反射膜的基本構(gòu)成特點(diǎn)。

1.增透膜由3.2節(jié)的討論可知，單層膜系當(dāng)膜層厚度取

，滿足零反射的條件是式（3-51）。另外，不管光學(xué)厚度取何值，只要膜層折射率小于基底介質(zhì)的折射率，都可達(dá)到增透的效果。現(xiàn)考慮一單層膜系,在玻璃基底上(