概率論與數(shù)理統(tǒng)計實驗報告-7

概率論與數(shù)理統(tǒng)計實驗報告應物12班郭帥2110903026一、實驗內(nèi)容：用蒙特卡洛方法估計積分值1用蒙特卡洛方法估計積分，和的值，并將估計值與真值進行比較。2用蒙特卡洛方法估計積分和的值，并對誤差進行估計。二、要求：（1）針對要估計的積分選擇適當?shù)母怕史植荚O(shè)計蒙特卡洛方法；（2）利用計算機產(chǎn)生所選分布的隨機數(shù)以估計積分值；（3）進行重復試驗，通過計算樣本均值以評價估計的無偏性；通過計算均方誤差（針對第1類題）或樣本方差（針對第2類題）以評價估計結(jié)果的精度。三、目的：（1）能通過MATLAB或其他數(shù)學軟件了解隨機變量的概率密度、分布函數(shù)及其期望、方差、協(xié)方差等；（2）熟練使用MATLAB對樣本進行基本統(tǒng)計，從而獲取數(shù)據(jù)的基本信息；（3）能用MATLAB熟練進行樣本的一元回歸分析。蒙特卡洛方法：當所求解問題是某種隨機事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。四、實驗步驟：（1）方法：x在0至pi/2區(qū)間上隨機取10000個數(shù)為均勻分布的簡單隨機樣本,然后計算y的值一共計算二十次,即可用樣本均值作為積分的估計值.Y=pi/2*x.*sin(x)y*f(x)即為被積函數(shù)clcclearx=rand(20,10000)*pi/2y=(pi/2)*x.*sin(x)a=sum(y,2)/10000u=sum(a,1)/20H=1E=abs(H-u)b=abs(H-u)^2D=sum(b,1)/19結(jié)果樣本均值為u=0.9987E=0.0013D=8.971e-008=0.00000008971真值計算:clcclearsymsxf='x*sin(x)'int(f,x,0,pi/2)結(jié)果真值為1(2)方法:x在負無窮到正無窮之間按標準正態(tài)分布取10000個樣本，然后計算y值二十次，即可用樣本均值估計積分值。clcclearx=randn(20,10000)y=exp((-x.^2)/2)*sqrt(2*pi)a=sum(y,2)/10000b=sum(a,1)/20u=b/2H=1/2*pi^(1/2)E=abs(H-u)c=abs(H-u)^2D=sum(c,1)/19結(jié)果樣本均值為：0.8870誤差=0.00076131樣本方差=3.0505e-008=0.0000000.0505真值：symsxf='exp(-x^2)'int(f,x,0,inf)真值為：1/2*pi^(1/2)(3)原積分=方法:把看做x,使x在0到1之間取10000個值坐在0至1區(qū)間上的均勻分布的隨機簡單樣本,計算樣本對應的y值,因為y與無關(guān),所以第二重積分可直接乘以得樣本均值,一共計算二十次,即可用樣本均值作為積分的估計值.y=exp(x^2)*xclcclearx=rand(20,10000)g=x.*exp(x.^2)a=sum(g,2)/10000b=sum(a,1)/20u=2*pi*bH=pi*(exp(1)-1)E=abs(H-u)c=abs(H-u)^2D=sum(c,1)/19結(jié)果樣本均值為5.4140誤差=0.0159樣本方差=1.3294e-005=0.000013294真值計算:clcclearsymsxyf='exp(x^2)*x'int(int(f,x,0,1),y,0,2*pi)結(jié)果pi*(exp(1)-1)=5.3981二(1)方法：x在0至1區(qū)間上隨機取10000個數(shù)為均勻分布的簡單隨機樣本,然后計算y的值一共計算二十次,即可用樣本均值作為積分的估計值.Y=exp(x^2)clcclearx=rand(20,10000)y=exp(x.^2)a=sum(y,2)/10000u=sum(a,1)/20b=(a-u).^2D=sum(b,1)/19U為樣本均值,計算結(jié)果樣本均值=1.4627D為樣本方差,樣本方差=1.0156e-005=0.000010156（2）方法:隨機產(chǎn)生20組數(shù)據(jù)每組10000個,保證這些數(shù)據(jù)為均勻分布在單位園內(nèi)的簡單隨機樣本,然后計算z的值,即可用z在單位圓上均勻分布的期望值對積分制進行估計.Z=pi/(sqrt(1+x^4+y^4))clcclearm=rand(20,10000)n=rand(20,10000)a=rand(20,10000)*2*pib=rand(20,10000)*2*pix=m.*cos(a)y=n.*sin(b)z=pi./(sqrt(1+x.^4+y.^4))b=s