2023-2024學(xué)年蘇教版必修第二冊(cè) 15-1　隨機(jī)事件和樣本空間 學(xué)案

15.1隨機(jī)事件和樣本空間新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理觀察幾幅圖片：事件一：常溫下石頭在一天內(nèi)被風(fēng)化；事件二：木柴燃燒產(chǎn)生熱量；事件三：射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次中十環(huán).問(wèn)題以上三個(gè)事件一定會(huì)發(fā)生嗎？

知識(shí)點(diǎn)一確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象1.確定性現(xiàn)象：在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象.2.隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，某種結(jié)果可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象.確定性現(xiàn)象就是一定發(fā)生的現(xiàn)象.這種說(shuō)法對(duì)嗎？提示：不對(duì).下列現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象的是（）A.一天中進(jìn)入某超市的顧客人數(shù)B.一顧客在超市中購(gòu)買的商品數(shù)C.一顆麥穗上長(zhǎng)著的麥粒數(shù)D.早晨太陽(yáng)從東方升起解析：D選項(xiàng)A、B、C中的數(shù)量都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)現(xiàn)象；選項(xiàng)D中，早晨太陽(yáng)一定從東方升起，因此是確定性現(xiàn)象.知識(shí)點(diǎn)二樣本空間及事件1.樣本點(diǎn)和樣本空間定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)用ω表示樣本空間所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間用Ω表示有限樣本空間如果樣本空間Ω是一個(gè)有限集合，則稱樣本空間Ω為有限樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}2.事件隨機(jī)事件樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，當(dāng)一個(gè)事件僅包含單一樣本點(diǎn)，稱該事件為基本事件.事件一般用A，B，C等大寫英文字母表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω（全集）為必然事件不可能事件?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱?（空集）為不可能事件3.事件的包含關(guān)系及運(yùn)算（1）事件的包含關(guān)系：事件B發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生，這時(shí)，我們稱事件A包含事件B（或事件B包含于事件A），記作：B?A；（2）事件的運(yùn)算定義符號(hào)圖示并事件（或和事件）事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生即為事件C發(fā)生C＝A＋B交事件（或積事件）事件A與B同時(shí)發(fā)生即為事件C發(fā)生C＝AB如何確定試驗(yàn)的樣本空間？提示：確定試驗(yàn)的樣本空間就是寫出試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，并寫成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，當(dāng)在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，每次試驗(yàn)的結(jié)果是不知道的.（）（2）連續(xù)拋擲兩次硬幣，該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{正正，反反，正反}.（）（3）“已知一個(gè)盒中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任意取1個(gè)球，該球是白球或黑球”，此事件是必然事件.（）（4）若A，B表示隨機(jī)事件，則A＋B與AB也表示事件.（）答案：（1）√（2）×（3）√（4）√2.給出下列事件：①當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x－｜x｜＝2；②拋擲硬幣三次，三次都是正面向上；③從分別標(biāo)有0，1，2，3，…，9這十個(gè)數(shù)字的紙團(tuán)中任取一個(gè)，取出的紙團(tuán)是偶數(shù)；④體育彩票下一期開(kāi)獎(jiǎng)的特等獎(jiǎng)號(hào)碼.其中的隨機(jī)事件是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④解析：C①是不可能事件，由隨機(jī)事件的定義知②③④是隨機(jī)事件.3.從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)數(shù)字，則該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝.

解析：從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)數(shù)字，共有3個(gè)結(jié)果：（1，2），（1，3），（2，3），所以Ω＝{（1，2），（1，3），（2，3）}.答案：{（1，2），（1，3），（2，3）}題型一確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象的判斷【例1】判斷以下現(xiàn)象是否是隨機(jī)現(xiàn)象：（1）某路口單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)；（2）若x∈R，則x2≥0；（3）一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊的命中環(huán)數(shù)；（4）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的開(kāi)口方向.解（1）某路口單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)有可能是0次，1次，2次等，不能確定，因此是隨機(jī)現(xiàn)象.（2）任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，它的平方一定非負(fù)，是確定性現(xiàn)象.（3）射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊的命中環(huán)數(shù)可能是3環(huán)，也可能是1環(huán)等，因此是隨機(jī)現(xiàn)象.（4）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當(dāng)a＞0時(shí)開(kāi)口向上；當(dāng)a＜0時(shí)開(kāi)口向下，故在a≠0的條件下可能向上也可能向下，因此是隨機(jī)現(xiàn)象.通性通法判斷是確定性現(xiàn)象還是隨機(jī)現(xiàn)象關(guān)鍵點(diǎn)是看給定條件下的結(jié)果是否一定發(fā)生，若一定發(fā)生，則為確定性現(xiàn)象，若不確定，則其為隨機(jī)現(xiàn)象，即隨機(jī)現(xiàn)象事先難以預(yù)料，而確定性現(xiàn)象事先就能知道結(jié)果.判斷下列現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象還是隨機(jī)現(xiàn)象：（1）在一個(gè)裝有1個(gè)白球，9個(gè)黃球的不透明袋子中，任意摸出兩球，至少有一個(gè)黃球；（2）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)白球、2個(gè)黑球、3個(gè)紅球，大小形狀完全相同，攪拌均勻后，從中任取一球?yàn)榧t球.解：（1）袋中裝有1個(gè)白球、9個(gè)黃球，從中任取2個(gè)，一定至少有一個(gè)黃球，故是確定性現(xiàn)象.（2）袋中有5個(gè)白球、2個(gè)黑球、3個(gè)紅球，從中任取一個(gè)，可能是白球，可能是黑球，也可能是紅球，故是隨機(jī)現(xiàn)象.題型二事件類型的判斷及事件之間的關(guān)系【例2】（1）指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：①某人購(gòu)買福利彩票一注，中獎(jiǎng)500萬(wàn)元；②三角形的內(nèi)角和為180°；③沒(méi)有空氣和水，人類可以生存下去；④同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上；⑤從分別標(biāo)有1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號(hào)標(biāo)簽；⑥科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”將會(huì)出現(xiàn).（2）盒子里有6個(gè)紅球、4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}.①事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？②事件C與A的交事件是什么事件？解（1）①購(gòu)買一注彩票，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，所以是隨機(jī)事件.②所有三角形的內(nèi)角和均為180°，所以是必然事件.③空氣和水是人類生存的必要條件，沒(méi)有空氣和水，人類無(wú)法生存，所以是不可能事件.④同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機(jī)事件.⑤任意抽取，可能得到1，2，3，4號(hào)標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事件.⑥由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”不會(huì)出現(xiàn)，所以是不可能事件.（2）①對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球，或2個(gè)紅球、1個(gè)白球，故D＝A＋B.②對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球，或2個(gè)紅球、1個(gè)白球，或3個(gè)紅球，故CA＝A.通性通法進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件.在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件.例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；（2）利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.解：（1）因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.（2）因?yàn)槭录﨑2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6（或D2＝C4＋C5＋C6）.同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.題型三確定試驗(yàn)的樣本空間【例3】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次.（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；（2）寫出取出的兩件產(chǎn)品中恰有1件次品的樣本空間.解（1）每次取一件，取后不放回地取兩次，則樣本空間為Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1）（b1，a2）}.（2）取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的樣本空間為Ω2＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.（變條件）本例中的條件“取出后不放回”若改為“取出后放回”其他條件不變，其結(jié)論又如何呢？解：（1）樣本空間Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a1，a1），（a2，a1），（a2，b1），（a2，a2），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}.（2）Ω2＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.通性通法確定試驗(yàn)樣本空間的注意事項(xiàng)（1）確定試驗(yàn)的樣本空間就是寫出試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，并寫成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式；（2）要考慮周全，應(yīng)想到試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，避免發(fā)生遺漏和出現(xiàn)多余的結(jié)果.指出下列試驗(yàn)的樣本空間：（1）從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個(gè)的袋子中任取2個(gè)小球；（2）從1，3，6，10四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)（不重復(fù)）作差.解：（1）樣本空間Ω＝{（紅球，白球），（紅球，黑球），（白球，黑球）}.（2）由題意可知，1－3＝－2，3－1＝2，1－6＝－5，6－1＝5，1－10＝－9，10－1＝9，3－6＝－3，6－3＝3，3－10＝－7，10－3＝7，6－10＝－4，10－6＝4.即試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4}.1.（多選）下列事件中是必然事件的為（）A.直角三角形兩銳角和為90°B.三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊C.三角形中兩個(gè)內(nèi)角和小于90°D.三角形中任意兩邊的和大于第三邊解析：ABD對(duì)鈍角三角形的兩個(gè)銳角，兩銳角的和小于90°，對(duì)直角三角形的兩銳角，兩銳角和等于90°，所以C是隨機(jī)事件，而A、B、D均為必然事件，故選A、B、D.2.（多選）下列試驗(yàn)中，隨機(jī)事件有（）A.某射手射擊一次，射中10環(huán)B.同時(shí)擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點(diǎn)C.某人購(gòu)買福利彩票未中獎(jiǎng)D.若x為實(shí)數(shù)，則x2＋1≥1解析：ABCA、B、C是隨機(jī)事件，D是必然事件.3.某校高一年級(jí)要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個(gè)興趣小組，某學(xué)生只選報(bào)其中的2個(gè)，則試驗(yàn)包含的樣本點(diǎn)共有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：C樣本點(diǎn)有（數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)），（數(shù)學(xué)，航空模型），（計(jì)算機(jī)，航空模