兩類曲面積分的關系及其應用

PAGEPAGE10ADDINCNKISM.UserStyle兩類曲面積分的關系及其應用學生姓名：陶其亮學號：20231054126所在院系：數(shù)學與統(tǒng)計學院專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學指導教師：李艷梅老師目錄TOC\o"1-3"\u摘要 3關鍵詞 3Abstract 3Keywords 3前言 41．預備知識 41.1兩類曲面積分的定義與相關性質 4〔1〕第一型曲面積分的定義 4〔2〕第二型曲面積分的定義 4〔3〕兩類曲面積分的相關性質 51.2兩類曲面積分的關系 52．兩類曲面積分關系的應用 52.1將對坐標的曲面積分轉化為對面積的曲面積分 52.2將對面積的曲面積分轉化為對坐標的曲面積分 103.小結 11參考文獻 11致謝 12ADDINCNKISM.UserStyle兩類曲面積分的關系及其應用摘要：本文討論了兩類曲面積分的關系并給出了其應用.關鍵詞：曲面，側，第一型曲面積分，第二型曲面積分TherelationshipbetweenthetwokindsofsurfaceintegralsanditsapplicationAbstract：Inthispaper,therelationshipbetweenthetwokindsofsurfaceintegralsarediscussedandtheapplicationsaregiven.Keywords：Thecurvedsurface;side;thefirsttypeofsurfaceintegral;thesecondtypeofsurfaceintegral0.前言在數(shù)學分析中第二型曲面積分的計算是一個重點也是一個難點問題[1].假設空間區(qū)域是由分片光滑的雙側封閉曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階的連續(xù)偏導數(shù)，那么可以利用高斯公式計算第二型曲面積分[2].假設曲面在面上的投影為一條線，且被積函數(shù)及它們的一階偏導數(shù)不連續(xù)的情況下，那么通常用直接投影法來處理[3].當曲面的方程由參數(shù)形式給出時，可以用參數(shù)形式計算[4-7].當然第二型曲面積分還可以利用stokes公式化為第二型曲線積分來計算[5～6].如果在上述方法都無法解決的情況下，我們可以考慮利用兩類曲面積分之間的關系計算第二型曲面積分[8].下面將探討兩類曲面積分的關系以及這種關系的應用.1．預備知識1.1兩類曲面積分的定義與相關性質〔1〕第一型曲面積分的定義定義1[9]設是空間中可求面積的曲面，為定義在上的函數(shù).對曲面作分割，它把分成個小曲面塊，以記小曲面塊的面積，分割的細度{的直徑}.在上任取一點，假設極限存在，且與分割及的取法無關，那么稱此極限為在上的第一型曲面積分，記作.〔2〕第二型曲面積分的定義定義2[9]設為定義在雙側曲面上的函數(shù).在所指定的一側作分割，它把分為個小曲面，分割的細度{的直徑}，以分別表示在三個坐標面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號由的方向來確定.假設的法線正向與軸正向成銳角時，在平面的投影區(qū)域的面積為正.反之，假設法線正向與軸正向成鈍角時，它在平面的投影區(qū)域的面積為負.在各個小曲面上任取一點.假設存在，且與曲面的分割和在上的取法無關，那么稱此極限為函數(shù)在曲面所指定的一側上的第二型曲面積分，記作.〔3〕曲面積分的相關性質(ⅰ)假設積分曲面關于具有輪換對稱性，那么.(ⅱ)[9]設空間區(qū)域由分片光滑的雙側封閉曲面圍成.假設函數(shù)，,在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導數(shù)，那么=，其中取外側.1.2曲面積分的關系定理1[9]：設曲面為光滑曲面，正側的法向量為，，，在上連續(xù)，那么有=.推論設光滑曲面的方程為，而，，在上連續(xù)，那么=.定理2[9]：設是定義在光滑曲面：，上的連續(xù)函數(shù)，以的上側為正側，那么=.2．兩類曲面積分關系的應用2.1將對坐標的曲面積分轉化為對面積的曲面積分例1把對坐標的曲面積分化為對面積的曲面積分，其中：〔1〕是平面在第一卦限的局部的上側；〔2〕是拋物面在面上方的局部的上側.解〔1〕平面上側的法向量為，其方向余弦為，，，于是=〔2〕因是拋物面在面上方的局部的上側，所以其法線向量應取為，其方向余弦為，，于是==例2計算，為平面在第Ⅳ象限局部的上側,其中為上的連續(xù)函數(shù).解由于是抽象函數(shù)，所以原曲面積分無法通過投影化為二重積分來計算；又因為函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，不一定有一階連續(xù)偏導數(shù)，所以也不能應用高斯公式，因此可考慮轉化為第一類曲面積分來計算.平面的法向量，那么，.====.例3計算曲面積分，其中，取上側.解如果直接計算，需要把分別投影到和平面上，且積分需要分前側與后側，現(xiàn)在利用兩類曲面積分的關系，先轉化為第一型曲面積分，再統(tǒng)一計算二重積分.，，=======.例4計算出積分，其中為圓錐面介于，取外側.解的方程為，選取外側，那么，.令,,.原式======.例5計算曲面積分，其中是旋轉拋物面介于平面及之間的局部的下側.解，,,令，，.原式======.例6計算，其中1〕是頂點為，，的三角形的下側.2〕是的外側.解1〕因曲面的方程為或，關于為輪換對稱，有.由對稱性，只需計算，由于取的是的下側，所以法向量為.在平面上的投影為，于是有==，.2)外側的單位法向量為，得，，.這是因為的方程中換為形式不變，而被積函數(shù)將換為要變號，于是有.同理其余兩個積分為零，最后得.2.2將對面積的曲面積分轉化為對坐標的曲面積分利用第一型曲面積分與第二型曲面積分之間的關系，可以把第一類曲面積分轉化為第二類曲面積分計算，即=,其中，，和是有向曲面處于點處的法向量的方向余弦.例7求，其中為上半球面取下側.解將第一型曲面積分化為第二型曲面積分，表示上半球面的下側，這時法線與軸成鈍角，,故====.例8計算，其中曲面為.解將所圍成的空間閉區(qū)域記為.令，那么選取在任一點處的外法向量為，將其單位化為而此時====，====,故有.3.小結在計算兩類曲面積分的過程中，假設常用方法比擬困難或者無法計算時，可以考慮用兩類曲面積分的關系計算兩類曲面積分.參考文獻[1]趙艷輝.第二型曲面積分的計算[J].湖南科技學院學報,2023,34(8):5-8.[2]柴春紅.第二類曲面積分的計算方法[J].數(shù)學學習,2023,7(2):32-33.[3]景慧麗.第二類曲面積分的計算方法[J].高等數(shù)學研究,2023,14(4):87-91.[4]甘泉.第二型曲面積分的參數(shù)形式計算[J].高等數(shù)學研究,2023,13(1):85-87.[5]吳燕.第二類曲面積分的五種求法[J].考試周刊,2023,33(1):72-73.[6]張云艷.第二型曲面積分計算的幾種方法及應用[J].泰山學院學報,2023,26(6):36-39.[7]楊孝先.計算第二型曲面積分的實例分析[J].高等數(shù)學研究,2001,4(1):34-36.[8]孟慶賢.第二型曲面積分與曲面無關性[J].河北民族師范學院學報,1994,S2:114-115.[9]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析〔下冊〕