浙江省9+1高中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）

2022年學(xué)年第一學(xué)期9+1高中聯(lián)盟期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分)1.設(shè)集合，則等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出集合，再由補(bǔ)集和交集的概念計(jì)算即可.【詳解】，或，則.故選：D.2.若a，，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)(是虛數(shù)單位)”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，即，且，判斷其與的推斷關(guān)系.【詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，等價(jià)于，且，，且可推出，但，不一定得到，且，所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”充分不必要條件．故選：B.3.向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則()A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】依題意可得，即可得到存在非零實(shí)數(shù)，使得，從而求出、的值，求出，最后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】解：，，存在非零實(shí)數(shù)，使得，，解得，，即，.故選：B4.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，則的值為()A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可求解.【詳解】由題可知即，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以,所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以，所以故選：A5.若圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則下列結(jié)論正確的為()A.圓錐的母線長(zhǎng)為 B.圓錐的底面半徑為C.圓錐的體積為 D.圓錐的側(cè)面積為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件及圓錐的表面積公式，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式及體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，由于其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，解得，又因?yàn)閳A錐的表面積為，所以表面積，解得，得母線長(zhǎng)，所以圓錐的高，所以側(cè)面積，體積故選：C.6.如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】B【解析】【分析】取BC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，則為EF與AC所成的角．解．【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG．，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，，，且，．為EF與AC所成的角．又，．又，，，為等腰直角三角形，，即EF與AC所成的角為45°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，找角證角求角，主要是通過平移將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形，屬于基礎(chǔ)題．7.已知，，，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)二倍角余弦公式求得，比較大小可得，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，和b比較，綜合可得答案.【詳解】由題意得，，，由于，故，，，，綜上：，故選：A.8.在正方體中，點(diǎn)P滿足，且，直線與平面所成角為，若二面角的大小為，則的最大值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可得在平面上，根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件可得平面，進(jìn)而可得在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交AD于N點(diǎn)，可得為二面角的平面角，設(shè)結(jié)合條件可表示出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】，且，在平面上，設(shè)，連接，，且，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，又平面，平面，所以平面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則可知為棱長(zhǎng)為的正四面體，所以為等邊三角形的中心，由題可得，得，所以，又與平面所成角為，則，可求得，即在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，由平面，又平面，平面平面，且兩個(gè)平面的交線為AO，把兩個(gè)平面抽象出來，如圖，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交AD于N點(diǎn)，連接，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，，又，MN與PM為平面PMN中兩相交直線，故平面PMN，平面PMN，，為二面角的平面角，即為角，設(shè)，當(dāng)M與點(diǎn)不重合時(shí)，在中，可求得，若M與點(diǎn)重合時(shí)，即當(dāng)時(shí)，可求得，也符合上式，故，，，，，，令，則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，故的最大值是故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找出動(dòng)點(diǎn)的位置，根據(jù)空間向量共面定理及線面角可得在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，然后利用面面角的定義作出面面角，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題即得.二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè)是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有()A.若，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理可判斷A;根據(jù)線面垂直的性質(zhì)B;根據(jù)直線與平面平行的判定定理判斷C,根據(jù)平面的法向量和一向量的數(shù)量積為0，判斷D.【詳解】若，，m，時(shí)，根據(jù)面面平行的判定定理應(yīng)該還需要相交于一點(diǎn)，才可以得到，故A錯(cuò)誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，當(dāng)，，有，故B正確；若，時(shí)，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，應(yīng)該還需要，才可以得到，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，，時(shí)，可在直線n上取,即可作為平面的法向量，在直線m上取,則有，即，而，故有，故D正確，故選：BD.10.已知，對(duì)于，，下述結(jié)論正確的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A，，所以A正確.對(duì)于B，取，，，，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C，當(dāng)，，則，，，滿足，當(dāng)，時(shí)，，由在R上的單調(diào)性知，，滿足，當(dāng)，時(shí)，同理滿足，當(dāng)，時(shí)，，，，，滿足，故，所以C正確.對(duì)于D，取，，，，不滿足，所以D錯(cuò)誤.故選:AC.11.已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)，則()A. B.雙曲線的漸近線方程為C.雙曲線的離心率為 D.【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A，用定義即可判斷，對(duì)于B，根據(jù)焦點(diǎn)位置即可判斷，對(duì)于C，直接計(jì)算即可，對(duì)于D，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)可求出的取值范圍，即可判斷【詳解】雙曲線：焦點(diǎn)在軸上，，，對(duì)于A選項(xiàng)，，而點(diǎn)在哪支上并不確定，故A錯(cuò)誤對(duì)于B選項(xiàng)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線方程為，故B錯(cuò)誤對(duì)于C選項(xiàng)，，故C正確對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則(時(shí)取等號(hào))因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故D正確故選：CD12.在正三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，若點(diǎn)是此三棱錐表面上一動(dòng)點(diǎn)，且，記動(dòng)點(diǎn)圍成的平面區(qū)域的面積為，三棱錐的體積為，則()A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】依題意可得直線垂直于動(dòng)點(diǎn)圍成的平面區(qū)域所在的平面，當(dāng)時(shí)取、、、的中點(diǎn)、、、，連接、、、，即可得到動(dòng)點(diǎn)圍成的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的矩形，求出錐體的體積與矩形的面積即可判斷A、C，同理求出時(shí)的情況，即可判斷.【詳解】解：由題意知，直線垂直于動(dòng)點(diǎn)圍成的平面區(qū)域所在的平面，當(dāng)時(shí)，正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面、、都是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以、，，平面，所以平面，取、、、的中點(diǎn)、、、，連接、、、，則，所以平面，平面，所以，又三角形為等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，平面，所以平面，則此時(shí)正三棱錐的體積，由題意可知，動(dòng)點(diǎn)圍成的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的矩形，且，，則該矩形的面積為，故A、C均正確；當(dāng)時(shí)，正三棱錐即為棱長(zhǎng)為2的正四面體，各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為的正三角形，則此時(shí)正三棱錐的體積，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，，所以，又，，平面，所以平面，由題意可知，動(dòng)點(diǎn)圍成的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的三角形，顯然為的中點(diǎn)，，解得，所以，，，又，所以，即所以，所以，故B錯(cuò)誤、D正確.故選：ACD三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象過原點(diǎn)，則m的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的平移變換及點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，結(jié)合三角方程即可求解.【詳解】由題意可知，平移后函數(shù)解析式為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過原點(diǎn)，所以，即，解得，即，又，故時(shí)，m取最小值故答案為：.14.若點(diǎn)在冪函數(shù)圖象上，則的值為__________.【答案】4【解析】【分析】由冪函數(shù)的概念求出a，c，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，求得b的值.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，則，，即，又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，解得，所以故答案為：4.15.已知四面體ABCD中，，平面ACD，平面ABD，則四面體ABCD外接球的半徑是__________【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定幾何體，取棱BC的中點(diǎn)O，再確定四面體外接球球心即可計(jì)算作答.【詳解】在四面體ABCD中，因平面，平面，則，取棱BC的中點(diǎn)O，連AO，如圖，則，又平面ABD，平面，則，連OD，有，因此，所以四面體ABCD外接球球心為O，半徑為1.故答案為：116.已知，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn)，若線段上有且只有中點(diǎn)Q滿足其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓C的離心率是__________.【答案】##【解析】【分析】判斷點(diǎn)P為長(zhǎng)軸端點(diǎn)的情況，點(diǎn)P不為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，由橢圓定義結(jié)合余弦定理、一元二次方程計(jì)算作答.【詳解】令橢圓半焦距為c，有，顯然點(diǎn)P不可能是橢圓長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)時(shí)，即，取，顯然點(diǎn)Q在線段上，并滿足，而點(diǎn)Q不一定是線段的中點(diǎn)，因此點(diǎn)P不是橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn).在中，不妨設(shè)，當(dāng)Q為中點(diǎn)時(shí)，而O是的中點(diǎn)，則，，，由，得，由余弦定理得，，線段上的點(diǎn)Q滿足，令，，在中，，顯然，即，解得或，因線段上有且只有中點(diǎn)Q滿足，于是得，即，則，所以橢圓C的離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率問題，可以求出a，c，代入離心率公式即得；或者根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，利用方程或不等式求解．四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過點(diǎn)的直線l與圓C相交于兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.【答案】(1).(2)或.【解析】【分析】(1)求出直線的中垂線方程，結(jié)合圓心在x軸上，求得圓心和半徑，即可求得圓的方程;(2)利用圓的幾何性質(zhì)求得圓心到所求直線的距離，討論直線斜率是否存在，存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離可求得斜率，即得答案.【小問1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，記線段AB中點(diǎn)為D，則，又直線AB的斜率為，故線段AB中垂線CD方程為，即，由圓的性質(zhì)，圓心在直線CD上，得，所以圓心，，所以圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】因?yàn)橹本€l與圓C相交的弦長(zhǎng)，圓心到直線l的距離，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程，此時(shí)，不符合題意，舍去.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l的方程，即，由題意得，解得或，故直線l的方程為或，即或，綜上直線l的方程為或18.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的值域;(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域；(2)換元，分離參變量，根據(jù)不等式求解恒成立問題.【小問1詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，則，設(shè)，則，所以值域?yàn)?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，原問題化為對(duì)任意，，即，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為3，所以19.某校對(duì)2022學(xué)年高二年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)單位：分進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該校高二年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第80百分位數(shù);(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績(jī)?cè)诤偷膬山M中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.【答案】(1)115；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)百分位數(shù)的概念結(jié)合頻率分布直方圖求解即可；(2)由分層抽樣可知，內(nèi)抽取2人，內(nèi)抽取3人，分別列出所有基本樣本點(diǎn)，利用古典概型求解即可.【小問1詳解】由，可得樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?10分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，因此，第80百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為【小問2詳解】由題意可知，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為人，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為人用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在內(nèi)抽取2人，分別記為a，b，內(nèi)抽取3人，分別記為x，y，z，設(shè)“從樣本中抽取2人，至少有1人分?jǐn)?shù)在內(nèi)”為事件A，則樣本空間為，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，而事件，包含7個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率為.20.已知四棱錐中，，，，，，(1)求證：(2)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明線面垂直，從而得到線線垂直；(2)利用幾何法找到線面所成角進(jìn)而求解或者利用空間向量求解.【小問1詳解】在梯形ABCD中，，，，，可算得，,所以,所以，在中，，，滿足，所以，又平面PBD，平面PBD，且，所以平面PBD，又因?yàn)槠矫鍼BD，所以；【小問2詳解】由證明可知，平面PBD，因?yàn)槠矫鍭BCD，則平面平面ABCD，取BD中點(diǎn)O，連OP，OC，因?yàn)?，所以，而平面ABCD，且平面平面，平面PBD，所以就是PC與平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，計(jì)算可得，所以，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為解法由證明可知，平面PBD，因?yàn)槠矫鍭BCD，則平面平面ABCD，通過計(jì)算可得，建立以，為x軸，y軸的正方向，以過D與平面ABCD垂直的向量為在z軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，顯然z軸再平面PBD中且垂直于BD，則，，，，所以，，，設(shè)平面PBD的法向量為，則，即取，設(shè)直線PC與平面PBD所成角為，則，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為21.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角的所對(duì)的邊分別為，__________.(1)若，求(2)求的最大值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)選①，由正弦定理邊化角，結(jié)合，可推出，求得答案；選②，當(dāng)時(shí)，代入已知得，，利用兩角和差正弦公式，即可求得答案；(2)選①，由正弦定理邊化角可推出，可得，繼而，利用二倍角公式化簡(jiǎn)得，采用換元令，化簡(jiǎn)為，求得答案;選②,利用三角恒等變換和角公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)，可得到，以下同選①解答.小問1詳解】若選①，由正弦定理可得，，當(dāng)時(shí)，代入得，，整理可得，，在中，，所以，所以，即，又C為三角形內(nèi)角，所以，所以若選②，當(dāng)時(shí)，代入得，，即，，即，又因?yàn)?，，所以，所?【小問2詳解】若選①，因?yàn)?，所以，，即，在中，，，所以，即，由?由，及在上遞減，可得，則，所以，所以，設(shè)，而,故，即，則，所以，當(dāng)時(shí)，最大值為選②，因?yàn)?，所以，，，在中，，所以，即，由?由，及在上遞減，可得，則，所