2023屆山東省菏澤市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（B）（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁2023屆山東省菏澤市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（B）一、單選題1．已知命題，，則（

）.A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，即可得答案.【詳解】命題，是全稱量詞命題，故其否定為，，故選：B2．設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)a取值集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）.A．2 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】先解方程得集合A，再根據(jù)，最后根據(jù)包含關(guān)系求實(shí)數(shù)，即得結(jié)果.【詳解】,因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得，則或，則對應(yīng)實(shí)數(shù)的值為，則實(shí)數(shù)a組成的集合的元素有3個(gè)，所以實(shí)數(shù)a組成的集合的真子集個(gè)數(shù)有，故選：C.3．函數(shù)的部分圖象大致為（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的取值特征，利用排除法判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B；又，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，又時(shí)，所以，故排除D，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，故排除A.故選：C4．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.5．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示，即，記，則（

）.A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先將代入化簡，最后利用誘導(dǎo)公式、倍角公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故選：D6．已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，，則（

）.A．0 B．n C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的對稱性得，利用倒序相加法求和即可.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：其圖象關(guān)于直線對稱，又函數(shù)滿足，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于直線對稱，不妨設(shè)與關(guān)于直線對稱，則與關(guān)于直線對稱，，則有，，，所以，又，所以.故選：C.7．下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則的最小值為2【答案】A【分析】對于A選項(xiàng)，根據(jù)和為負(fù)數(shù)取絕對值判斷即可；對于B選項(xiàng)，通過舉反例即可判斷；對于C選項(xiàng)，通過舉反例即可判斷；對于D選項(xiàng)，將轉(zhuǎn)化為，然后用柯西不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故A符合題意；假設(shè)，，則，故B不符合題意；假設(shè)，則，故C不符合題意；因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，即，時(shí)取等號，故D不符合題意.8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】逐項(xiàng)分析，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性來確定與，與大小關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：，，，設(shè)，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以；設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，則，整理得，所以；故.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是處理好指對冪式子中自變量的位置，結(jié)合作差法比較大小，構(gòu)造差函數(shù)，給定定義域求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性最后比較函數(shù)值大小即可判斷，例如比較，大小，將轉(zhuǎn)換得，可構(gòu)造差函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可確定在的單調(diào)性，從而可得函數(shù)值大小，即可判斷大小關(guān)系.二、多選題9．若，則下列關(guān)系正確的是（

）.A． B． C． D．【答案】AD【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對A，由題意，設(shè)，易得為增函數(shù)，又，故，故A正確；對BC，設(shè)，，則，故BC錯(cuò)誤；對D，因?yàn)?，故，故D正確.故選：AD10．下列四個(gè)條件中，q是p的必要條件的是（

）.A．， B．，C．為雙曲線， D．，【答案】BC【分析】特例法判斷AD，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及必要條件的定義判斷B，根據(jù)雙曲線方程特點(diǎn)及必要條件的定義判斷C.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但，即不成立，所以p推不出q，所以q不是p的必要條件，不滿足題意；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以p推出q，所以q是p的必要條件，滿足題意；對于C，因?yàn)闉殡p曲線，所以且，所以，所以p推出q，所以q是p的必要條件，滿足題意；對于A，當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，即p推不出q，所以q不是p的必要條件，不滿足題意.故選：BC.11．設(shè)函數(shù)，則（

）.A．存在兩個(gè)極值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn) D．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則【答案】BD【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)，得到在上只有一個(gè)根，即可判斷A錯(cuò)誤，對選項(xiàng)B，畫出和的圖象，即可判斷B正確，對選項(xiàng)C，根據(jù)時(shí)，，即可判斷C錯(cuò)誤，對選項(xiàng)D，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)，且，根據(jù)，，得到，即可判斷D正確.【詳解】對選項(xiàng)A，，令，，又因?yàn)?，所以有一正一?fù)根，設(shè)，則在上只有一個(gè)根，不可能存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.對選項(xiàng)B，令，即.當(dāng)時(shí)，畫出和的圖象，如圖所示：由圖知：和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即存在兩個(gè)零點(diǎn)，故B正確.對選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，，存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.對選項(xiàng)D，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)，且，則，即，，所以，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，故D正確.故選：BD12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）.A．是周期函數(shù)B．是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間C．若，則D．不等式的解集為，【答案】ABD【分析】利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，正確；對于B，因?yàn)?，且函?shù)的定義域?yàn)镽，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且過原點(diǎn)，所以是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，正確；對于C，由AB可畫出函數(shù)在上的圖象，又因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于對稱，可畫出函數(shù)在上的圖象，即得到函數(shù)在上的圖象，即一個(gè)周期的圖象，如圖：在上的對稱中心為和，所以在整個(gè)定義域上對稱中心為，即若，則，錯(cuò)誤；對于D，先求不等式在一個(gè)周期內(nèi)的解集，取區(qū)間，因?yàn)?，所以，則，則在整個(gè)定義域上有，解得，正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于新的三角函數(shù)，往往先畫出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，進(jìn)而得到整個(gè)函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)圖象不僅解決三角函數(shù)性質(zhì)問題，還可以解不等式、方程零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題.三、填空題13．若命題“存在，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)命題的否定與原命題真假相反得在上恒成立，求出函數(shù)最值即可求解.【詳解】因?yàn)槊}“存在，使得”是假命題，所以命題“任意，使得”是真命題，即在上恒成立，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.14．已知α，β都是銳角，，，則.【答案】【分析】先確定的取值范圍，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，求得和的值，然后根據(jù)，并結(jié)合兩角和的余弦公式，得解；【詳解】因?yàn)榕c都是銳角，所以，，又，所以，，所以，，所以；,因?yàn)槎际卿J角，所以.故答案為:.15．已知集合.給定一個(gè)函數(shù)，定義集合.若對任意的成立，則稱該函數(shù)具有性質(zhì)“p”.寫出一個(gè)具有性質(zhì)“p”的函數(shù).【答案】或等（寫出一個(gè)即可）【分析】結(jié)合新定義和函數(shù)的值域知識，考慮常用函數(shù)驗(yàn)證可知.【詳解】（1）函數(shù)，由，，可得，，，，，滿足對任意的成立，故函數(shù)是一個(gè)具有性質(zhì)“p”的函數(shù).（2）函數(shù)，由，，可得，，，，任意，，，滿足對任意的成立，故函數(shù)是一個(gè)具有性質(zhì)“p”的函數(shù).故答案為：或等（寫出一個(gè)即可）16．已知函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)x，都有，當(dāng)時(shí)，.若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】令，根據(jù)，可得，即為偶函數(shù)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上得單調(diào)性，再根據(jù)，即，即，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，則，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，即，解得?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為，利用的性質(zhì)求解即可得答案.四、解答題17．解不等式：.【答案】答案見解析【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，討論a的取值范圍，結(jié)合解一元二次不等式，即可得答案.【詳解】原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，即，解得.當(dāng)時(shí)，，解得或.當(dāng)時(shí)，，解得或.綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.18．在中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足________.(1)求；(2)求邊c的最小值.請從下列條件：①；②；③中選一個(gè)條件補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問題.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①，利用二倍角余弦公式及三角形的性質(zhì)求解，再利用余弦值求角；選②，利用余弦定理及面積公式建立方程求得，利用正切值求角；選③，利用兩角和正切公式化簡得，利用正切值求角；（2）由余弦定理得，利用基本不等式求得，從而解二次不等式得c的最小值.【詳解】（1）選①，由得，解得或（舍去），因?yàn)?，所?選②，由余弦定理得，則，所以，所以，因?yàn)椋?選③，由得，所以.所以，因?yàn)椋?（2）由余弦定理得，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以，所以.所以c的最小值為.19．已知函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，.(1)求的解析式；(2)設(shè)，若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）判斷在上的單調(diào)性，結(jié)合其最大值和求得，即得答案；（2）結(jié)合（1）求出的表達(dá)式，繼而將在上有解，轉(zhuǎn)化為在上有解，利用換元結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.【詳解】（1），其圖象對稱軸為，，在單調(diào)遞增，即，.又，則有即，所以，，所以的解析式為.（2）由（1）得，則在上有解，即在上有解，.令，則在上有解，所以，又，，故當(dāng)時(shí)，取到最大值1，即，所以，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.20．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)令，若對于定義域內(nèi)任意的x，恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，分、、、四種情況討論即可；（2）對于，恒成立，討論和，分離參數(shù)即可得出答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增③當(dāng)時(shí)，令，解得：或，令，解得：，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減④當(dāng)時(shí)，令，解得：或，令，解得：，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，所以對于，恒成立.當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)時(shí)，，，.綜上，.21．為踐行兩會(huì)精神，關(guān)注民生問題，某市積極優(yōu)化市民居住環(huán)境，進(jìn)行污水排放管道建設(shè).如圖是該市的一矩形區(qū)域地塊，，，有關(guān)部門劃定了以D為圓心，為半徑的四分之一圓的地塊為古樹保護(hù)區(qū).若排污管道的入口為邊上的點(diǎn)E，出口為邊上的點(diǎn)F，施工要求與古樹保護(hù)區(qū)邊界相切，右側(cè)的四邊形將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū).（，長度精確到，面積精確到）(1)若，求的長；(2)當(dāng)入口E在上什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大?最大是多少?【答案】(1)(2)，最大面積為【分析】（1）根據(jù)得，然后利用銳角三角函數(shù)求出即可；（2）設(shè)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示，然后表示出面積，結(jié)合二倍角公式化簡，再利用基本不等式求解.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)為H，連結(jié)DH，如圖.，，，；；.（2）設(shè)，則，，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，，時(shí)，生態(tài)區(qū)即梯形的面積最大，最大面積為.22．已知函數(shù)，.(1)設(shè)函數(shù)在的切線方程為l，l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求的面積；(2)當(dāng)時(shí)，求證：；(3)求證：在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程得切線方程即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，再利用余弦函數(shù)的有界性與不等式性質(zhì)可證；（3）分段研究在各區(qū)間函數(shù)值符號的變化即可.借助放縮法或?qū)?shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，判斷各區(qū)間函數(shù)值的符號變化，借助零點(diǎn)存在性定理可證明零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)椋?，又，則切點(diǎn)為，所以函數(shù)在處的切線方程為.令，，令，，所以.（2）即證當(dāng)時(shí),，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以,即.又，所以.所以當(dāng)時(shí)，.（3）①當(dāng)時(shí)，，所以在上無零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增.因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理知，存在使.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.其中，，，，所以在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，令，所以在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理知，存在使.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.又，.所以.所以存在使，即.當(dāng)時(shí)，，