2020-2021學(xué)年天津市南開中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年天津市南開中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在平行四邊形中，（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可求得答案【詳解】解：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?所以，故選：D2．已知，則（）A． B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)，求得的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：B3．在中，角所對的邊分別為，下列條件使有兩解的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】選項(xiàng)A.由余弦定理可判斷；選項(xiàng)B.由正弦定理可判斷；選項(xiàng)C.由正弦定理可判斷；選項(xiàng)D.由可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.由余弦定理可得的三邊分別為，所以滿足條件的三角形只有一個(gè).選項(xiàng)B.，則,由正弦定理可得所以，的三邊為定值，三個(gè)角為定值，所以滿足條件的三角形只有一個(gè).選項(xiàng)C.由，則由正弦定理可得所以,由則，所以角為一確定的角，且，則角角為一確定的角，從而邊也為定值，所以滿足條件的三角形只有一個(gè).選項(xiàng)D.作,在的一條邊上取，過點(diǎn)作垂直于的另一邊，垂足為.則,以點(diǎn)為圓心，4為半徑畫圓弧，因?yàn)?，所以圓弧與的另一邊有兩個(gè)交點(diǎn)所以均滿足條件，所以所以滿足條件的三角形有兩個(gè).故選：D4．下列命題中正確的是（）A．兩個(gè)平面可以有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B．兩兩相交的直線一定共面C．如果一條直線與兩個(gè)相交的平面均平行，那么這條直線與這兩個(gè)相交平面的交線也平行D．如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的任意直線平行【答案】C【分析】選項(xiàng)A.由公理可判斷；選項(xiàng)B.若交于同一點(diǎn)時(shí)，則可能不共面可判斷；選項(xiàng)C.構(gòu)造平面有線面平行的性質(zhì)可證明；選項(xiàng)D.由線面的位置關(guān)系以及線面平行關(guān)系可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.由公理：兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則一定有經(jīng)過該點(diǎn)的公共直線.故A不正確.選項(xiàng)B.兩兩相交的直線，若交于同一點(diǎn)時(shí)，則可能不共面，故B不正確.選項(xiàng)C.如圖過直線作平面，使得（與不重合），由線面平行的性質(zhì)可得：.同理過直線作平面，使得（與不重合），由線面平行的性質(zhì)可得：，所以，由，則又，則，所以所以一條直線與兩個(gè)相交的平面均平行，那么這條直線與這兩個(gè)相交平面的交線也平行，故C正確.選項(xiàng)D.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，

但不是和該平面內(nèi)的任意直線平行,如圖，平面，，但與不平行.故D不正確.故選：C5．已知在正四面體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則異面直線與成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則由題意可得為異面直線與所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長為，如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以∥，，所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)檎拿骟w的棱長為，所以，所以，故選：A6．在中，角的對邊分別為，若，則角的大小為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】將，變形為求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以或，故選：C7．我校八角形?；沼蓛蓚€(gè)正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南開人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開?；铡钡亩噙呅沃?，已知其由一個(gè)正方形與以該正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的正方形組合而成，已知向量，，則向量（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性可得線段的長度關(guān)系以及點(diǎn)共線，再由向量的加法法則可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，由該圖形是由正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原正方形組合而成，如圖由對稱性可得,由對稱性可得點(diǎn)共線，點(diǎn)共線.所以，所以故選：D8．為解決我校午餐擁擠問題，高一某班同學(xué)提出創(chuàng)想，計(jì)劃修建從翔字樓四樓直達(dá)北院食堂二樓的空中走廊“南開飛云”，現(xiàn)結(jié)合以下設(shè)計(jì)草圖提出問題：已知A，D兩點(diǎn)分別代表食堂與翔宇樓出入口，C點(diǎn)為D點(diǎn)正上方一標(biāo)志物，AE對應(yīng)水平面，現(xiàn)測得，設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在中，利用正弦定理求得BC，在中，利用正弦定理求得，然后由求解.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，又，，由正弦定理得：，，在中，因?yàn)?，，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，故選：C9．已知是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為的單位向量，設(shè)為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，若，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意不妨設(shè)，求出向量的坐標(biāo)，設(shè)，得出點(diǎn)的軌跡方程，由圓的性質(zhì)可解得答案.【詳解】由條件是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為的單位向量，不妨設(shè)則，設(shè)由，得所以點(diǎn)在圓上.又表示圓上的點(diǎn)和點(diǎn)間的距離.所以故選：B10．在梯形中，已知，且，設(shè)點(diǎn)為邊上的任一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由求出向量的夾角的余弦值，設(shè),然后建立平面直角坐標(biāo)系利用向量坐標(biāo)求解數(shù)量積.【詳解】設(shè)則由，則，所以過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.在直角中，由，可得，則所以設(shè)所以所以當(dāng)時(shí)，有最小值故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用向量的數(shù)量積求向量夾角利用向量坐標(biāo)求解向量數(shù)量積的最小值，解答本題的關(guān)鍵是由求出向量的夾角的余弦值，再建立坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)得出，屬于中檔題.二、填空題11．是虛數(shù)單位，則___________.【答案】【分析】直接對復(fù)數(shù)化簡即可【詳解】解：，故答案為：12．已知向量，則與的夾角大小為___________.【答案】【分析】由向量數(shù)積的坐標(biāo)公式，可求得答案.【詳解】由向量，則，則，由與的夾角的范圍為.與的夾角大小為故答案為：13．已知向量，若為實(shí)數(shù)，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)向量，得到的坐標(biāo)，再根據(jù)，，由求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，又因?yàn)?，，所以，解得，故答案為?14．已知正四棱柱的體積為24，底面邊長為2，則該正四棱柱的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】先求出正四棱柱的高，然后求出其外接球的半徑，從而得出其外接球的表面積.【詳解】正四棱柱的底面邊長為2，則底面積為4由正四棱柱的體積為24，則其高為，則，則如圖，則根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)可得，其外接球的直徑為，即半徑為所以該正四棱柱的外接球的表面積為：故答案為：15．已知為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)滿足，其中，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)滿足，，利用表示向量，然后結(jié)合是等邊三角形，且，由求解.【詳解】因?yàn)闈M足，，所以，，因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，，，解得，故答案為?6．在中，角的對邊分別為，已知，角為銳角，向量與共線，且，則的周長為___________.【答案】【分析】根據(jù)與共線，得到，即，求得角B，再根據(jù)，利用正弦定理求得2R，然后將轉(zhuǎn)化為邊，再結(jié)合余弦定理求得即可.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，則，解得，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)?，由正弦定理得，即，由余弦定理得，即，即，所以，解得，所以三角形的周長為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由和求得外接圓半徑，將轉(zhuǎn)化為邊結(jié)合余弦定理而得解。三、解答題17．如圖，在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接BD與AC交于點(diǎn)O，根據(jù)O，E為為中點(diǎn)，易得,再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)（1），由得到異面直線與所成的角，然后證得，得到是直角三角形求解.【詳解】（1）如圖所示：，連接BD與AC交于點(diǎn)O，因?yàn)镺，E為為中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，則異面直線與所成的角，在正方體中，因?yàn)?，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以是直角三角形，設(shè)正方體的棱長為a,則，，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．18．如圖，已知正方形的邊長為2，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn).（1）如圖1（i）求的值；（ii）求的值；（2）如圖2，若點(diǎn)滿足.點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是平面上動點(diǎn)，且滿足，其中，求的最小值.【答案】(1)（i）4（ii）8（2）【分析】(1)（i）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和向量的加法法則可得，結(jié)合數(shù)量積的定義可得答案.（ii）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合圖形將原式化為，利用向量的加法法則即化為，結(jié)合數(shù)量積的定義可得答案.

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得答案.【詳解】（1）（i）正方形的邊長為2，則,.（ii）（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.由，則所以,點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則設(shè)，，，由，即所以，解得，即,當(dāng)時(shí)，的最小值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的加法法則和數(shù)量積的運(yùn)算，建立坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法求解向量的數(shù)量積的最值，解答本題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，根據(jù)條件得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出，屬于中檔題.19．南開園自然環(huán)境清幽，棲居著多種鳥類，熱愛動物的南鳶同學(xué)獨(dú)愛其中形貌雅致的藍(lán)膀香鵲，于是她計(jì)劃與生物興趣小組的同學(xué)一起在翔字樓前廣場一角架設(shè)一臺可轉(zhuǎn)動鏡頭的相機(jī)，希望可以捕捉到這種可愛鳥兒的飄逸瞬間，南同學(xué)設(shè)計(jì)了以下草圖，為簡化模型，假設(shè)廣場形狀為正方形，邊長為1，已知相機(jī)架設(shè)于A點(diǎn)處，其可捕捉到圖象的角度為，即，其中分別在邊上，記.（1）南鳶同學(xué)的數(shù)學(xué)老師很欣賞她的計(jì)劃，并根據(jù)她的設(shè)計(jì)草圖編制了此刻你正在思考的這道期中考試試題，設(shè)與相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請你求出：（i）線段的長為多少？（ii）線段的長為多少？（2）為節(jié)省能源，南鳶同學(xué)計(jì)劃在廣場上人員較多的時(shí)段關(guān)閉相機(jī)鏡頭的自動轉(zhuǎn)動功能，為使相機(jī)能夠捕捉到的面積(即四邊形的面積，記為)最大，應(yīng)取何值？的最大值為多少？【答案】（1）（i），（ii），（2）【分析】（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，在中，直接求解，從而可得，求出直線的方程，再與直線的方程聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式可求出的長；（2）由于，，從而可求出的值，進(jìn)而可表示