中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”

中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”

（人教版）貴州省遵義市習(xí)水縣同民鎮(zhèn)中學(xué)：袁水波電子郵箱:yuanshuibo-123@163.com“課題學(xué)習(xí)”是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”課程領(lǐng)域設(shè)置的全新的課程內(nèi)容，幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，加深學(xué)生對“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計與概率”、“空間與圖形”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為：數(shù)學(xué)本身就是一個過程，只有通過大量的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生才能形成對數(shù)學(xué)的全面的認(rèn)識。因此，過程本身就是一個課程目標(biāo)。數(shù)學(xué)活動考查的主要方面包括：數(shù)學(xué)活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關(guān)知識與方法的理解深度；從事探究與交流的意識、能力和信心等；能否通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動獲得數(shù)學(xué)猜想，并尋求證明猜想的合理性；能否使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言有條理地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考過程。一般呈現(xiàn)的方式有：1、設(shè)置多層次的問題，“暴露”數(shù)學(xué)活動過程；2、遷移活動過程中的思想方法，間接考查學(xué)生的數(shù)學(xué)活動過程；3、通過試題解答的結(jié)果，進(jìn)行數(shù)學(xué)活動過程的考查；4、設(shè)計一些包含活動過程的問題，在活動中進(jìn)行有關(guān)過程性目標(biāo)的考查。一、突出綜合性中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”的綜合性主要體現(xiàn)在兩個方面：1、知識內(nèi)容的綜合；2、學(xué)生在解決問題的過程中需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)和方法進(jìn)行求解。圖1圖2（2007年·湖北孝感）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，其具體操作過程是：

第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）.請解答以下問題：（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論．（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)直線BM’的解析式為y=kx,當(dāng)∠M’BC=600,求k的值.此時，將△ABM′沿BM′折疊，點(diǎn)A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點(diǎn)）？為什么？將“數(shù)與代數(shù)”與“空間與圖形”的知識內(nèi)容進(jìn)行了綜合，不僅涉及三角形、四邊形的知識，還涉及函數(shù)、方程和不等式的知識，綜合性強(qiáng)，思維價值高，需要學(xué)生在理解折疊紙片的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題，較好地考查學(xué)生探索研究新問題的能力。二、呈現(xiàn)過程

中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”能呈現(xiàn)整個“具體而微”的學(xué)習(xí)過程，有的問題的解決能使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的全過程；有的問題能體現(xiàn)研究問題的一般思維過程，如滲透猜想、合理推理到邏輯推理的過程。雖然不可能在中考考場呈現(xiàn)“課題學(xué)習(xí)”的實(shí)踐過程，但試題的設(shè)計可以呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生可以獨(dú)立地利用數(shù)學(xué)知識和其他相關(guān)知識分析問題和解決問題，這個過程也是學(xué)生自主探索研究的過程，它是“課題學(xué)習(xí)”探究過程的微觀呈現(xiàn)。（2007年·江蘇淮安）某班研究性學(xué)習(xí)小組，到校外進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動，發(fā)現(xiàn)一個如圖所示的支架PAB，于是他們利用手中已有的工具進(jìn)行一系列操作，并得到了相關(guān)數(shù)據(jù)，從而可求得支架頂端P到地面的距離。實(shí)驗(yàn)工具：①3米長的卷尺；②鉛垂線(一端系著圓錐型鐵塊的細(xì)線)。實(shí)驗(yàn)步驟：第一步，量得支架底部A、B兩點(diǎn)之間的距離；第二步，在AP上取一點(diǎn)C，掛上鉛垂線CD，點(diǎn)D恰好落在直線AB上，量得CD和AD的長；第三步，在BP上取一點(diǎn)E，掛上鉛垂線EF，點(diǎn)F恰好落在直線AB上，量得EF和BF的長。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：ABFCDEP線段ABCDADEFBF長度(米)2.510.81.20.6問：(1)根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請你計算支架頂端P到地面的距離(精確到0.1米)；(2)假定你是該小組成員，請你用一句話談?wù)劚敬螌?shí)踐活動的感受。測量支架頂端到地面的距離與測量樹的高度或旗桿的高度本質(zhì)上是相同的，是數(shù)學(xué)中經(jīng)典的“課題學(xué)習(xí)”，能使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的全過程。整個過程雖然不是測量的實(shí)踐過程，但可以呈現(xiàn)學(xué)生“具體而微”的研究過程，這個過程需要學(xué)生從問題出發(fā)，理解操作步驟、尋找實(shí)施解決問題的方法、并不斷進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而得出問題的答案。此題突出了對學(xué)生解決問題的過程以及解決問題的方法和經(jīng)驗(yàn)的考查。（2007年·湖北荊門）一、問題背景某校九年級(1)班課題學(xué)習(xí)小組對家庭煤氣的使用量做了研究，其實(shí)驗(yàn)過程和對數(shù)據(jù)的處理如下．仔細(xì)觀察現(xiàn)在家庭使用的電子打火煤氣灶，發(fā)現(xiàn)當(dāng)關(guān)著煤氣的時候，煤氣旋鈕(以下簡稱旋鈕)的位置為豎起方向，把這個位置定為0°，煤氣開到最大時，位置為90°．(以0°位置作起始邊，旋鈕和起始邊的夾角)．在0~90°之間平均分成五等分，代表不同的煤氣流量，它們分別是18°，36°，54°，72°，90°，見圖1．圖1不同旋鈕位置示意圖在這些位置上分別以燒開一壺水(3.75升)為標(biāo)準(zhǔn)，記錄所需的時間和所用的煤氣量．并根據(jù)旋鈕位置以及燒開一壺水所需時間(用t表示)、所用煤氣量(用v表示)，計算出不同旋鈕位置所代表的煤氣流量(用L表示)，L=v/t，數(shù)據(jù)見右表．這樣為可以研究煤氣流量和燒開一壺水所需時間及用氣量之間的關(guān)系了．位置燒開一壺水所需流量時間(分)煤氣量(m3)m3/分18°190.130.006836°160.120.007654°130.140.010772°120.150.012490°100.170.0172二、任務(wù)要求圖3煤氣流量和燒開一壺水所需時間關(guān)系1．作圖：將下面圖2中的直方圖補(bǔ)充完整；在圖3中作出流量與時間的折線圖．圖2煤氣流量和燒開一壺水所需煤氣量關(guān)系圖2．填空：①從圖2可以看出，燒開一壺水所耗用的最少煤氣量為_______m2，此時旋鈕位置在______．②從圖3可以看出，不考慮煤氣用量，燒開一壺水所用的最短時間為_______分鐘，此時旋鈕位置在______．3．通過實(shí)驗(yàn)，請你對上述結(jié)果(用煤氣燒水最省時和最省氣)作一個簡要的說明．此題的設(shè)計充分展現(xiàn)了研究實(shí)際問題的一般過程，學(xué)生在試題的引導(dǎo)下完整地經(jīng)歷下列研究過程：

問題的提出、設(shè)計實(shí)驗(yàn)過程、觀察收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、獲得有價值的結(jié)論。這也是學(xué)生自主研究的過程，它是“課題學(xué)習(xí)”過程的微觀呈現(xiàn)。另外，此題還關(guān)注差異性，考查層次分明，使不同水平的學(xué)生展示不同的探究水平和能力三、滲透方法滲透方法是中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”的一個重要特征，不僅有研究問題的一般方法，如：從特殊到一般，從猜想推理到邏輯推理驗(yàn)證等；還有解決問題的常用方法，如：在解決問題過程中的模型選擇，歸納、類比的方法等。（2007年·江蘇連云港）如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線L將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線L為該圖形的黃金分割線．（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．AＣＢ圖1ADB圖2CADB圖3CFEFCBDEA圖4此題以新定義“黃金分割線”為出發(fā)點(diǎn)，滲透了研究問題的一般方法：從猜想、合情推理到邏輯推理驗(yàn)證，同時從簡單或特殊的情形入手，并將從簡單或特殊的情形獲得的結(jié)論或研究方法遷移到較復(fù)雜的情形。此題中，先要求學(xué)生研究三角形的黃金分割線，然后用類比的方法研究平行四邊形的黃金分割線，充分體現(xiàn)了“課題學(xué)習(xí)”的教育價值。（2007年·河北）在圖1—5中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角△FAE的斜邊AE＝2b，且邊AD和AE在同一直線上．操作示例當(dāng)2b＜a時，如圖1，在BA上選取點(diǎn)G，使BG＝b，連結(jié)FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置構(gòu)成四邊形FGCH．F圖1ABCEDHG（2b＜a）思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將△FAG繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上．連結(jié)CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，從而又可將△CGB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CHD的位置．這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1），過點(diǎn)F作FM⊥AE于點(diǎn)M（圖略），利用SAS公理可判斷△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形．實(shí)踐探究（1）正方形FGCH的面積是

；（用含a，b的式子表示）圖3FABCDE圖4FABCDE圖2FABC(E)D（2b＝a）（a＜2b＜2a）（b＝a）（2）類比圖1的剪拼方法，請你就圖2—圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．F圖5ABCED（b＞a）聯(lián)想拓展小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b≤a時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點(diǎn)G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移．當(dāng)b＞a時，如圖5的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由．此題揭示了研究問題的重要方法：操作、思考發(fā)現(xiàn)、實(shí)踐探究、聯(lián)想拓展。同時此題也采用了類比的研究方法，將圖形的割補(bǔ)的方法使用在某種屬性上相同或相似的其他圖形上，凸顯了這種研究方法的重要價值。四、體現(xiàn)開放中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”能使學(xué)生產(chǎn)生豐富多彩的研究體驗(yàn)和個性化的、創(chuàng)造性的表現(xiàn)，是考查學(xué)生創(chuàng)新意識的重要載體，所以活動過程或者結(jié)果常常具有開放性。（2007年·廣東梅州）梅林中學(xué)租用兩輛小汽車（設(shè)速度相同）同時送1名帶隊老師及7名九年級的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競賽，每輛限坐4人（不包括司機(jī)）．其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現(xiàn)故障，此時離截止進(jìn)考場的時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）．（1）若小汽車送4人到達(dá)考場，然后再回到出故障處接其他人，請你能過計算說明他們能否在截止進(jìn)考場的時刻前到達(dá)考場；（2）假如你是帶隊的老師，請你設(shè)計一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)考場的時刻前到達(dá)考場，并通過計算說明方案的可行性．此題是方案設(shè)計型課題學(xué)習(xí)。在設(shè)計運(yùn)送考生的方案時，要有一定的預(yù)見性，但如何設(shè)計方案、如何通過計算說明和驗(yàn)證方案的可行性都因人而異，具有較大的開放性，也體現(xiàn)了“課題學(xué)習(xí)”的個性化特征。典型的方案有：①先將4人用車送到考場，另外4人