乒乓球賽問題

數(shù)學(xué)承諾書我們仔細(xì)閱讀了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B中選擇一項(xiàng)填寫）： B 參賽隊(duì)員（打印并簽名）：序號(hào)姓名（打?。┧趯W(xué)院簽名（親手）1劉源化學(xué)與化工學(xué)院2徐靜靜數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院3祝進(jìn)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院日期：2015年9月衛(wèi)日評(píng)閱編號(hào)（由競(jìng)賽組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽評(píng)閱專用頁(yè)評(píng)閱編號(hào)（由競(jìng)賽組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：評(píng)閱記錄（供競(jìng)賽組委會(huì)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱結(jié)果：獲獎(jiǎng)等級(jí)：乒乓球賽問題摘要：一場(chǎng)比賽的勝利不僅僅與個(gè)人的技能有關(guān)，比賽中的戰(zhàn)術(shù)策略也起著至關(guān)重要的作用，本文主要對(duì)常見五局三勝制賽球類競(jìng)賽中的戰(zhàn)術(shù)策略進(jìn)行研究。針對(duì)問題一，我們通過比較兩隊(duì)獲勝的數(shù)學(xué)期望來得出結(jié)論，即A隊(duì)在五場(chǎng)比賽中平均獲勝的數(shù)學(xué)期望為E(A)二23/9；B隊(duì)在五場(chǎng)比賽中平均獲勝的數(shù)學(xué)期望為E(B)二22/9，由E(A)>E(B)，得出A隊(duì)的實(shí)力比B隊(duì)略強(qiáng)。針對(duì)問題二，首先根據(jù)概率論的相關(guān)知識(shí)計(jì)算出在五局三勝制中A隊(duì)以?的次序出i場(chǎng)，B隊(duì)以0.的次序出場(chǎng)A隊(duì)最后獲勝的概率(B隊(duì)最后失敗的概率)，通過對(duì)各種結(jié)果概率的分析，得出A、B兩隊(duì)的穩(wěn)妥方案即A隊(duì)最穩(wěn)妥策略為?3，B隊(duì)最穩(wěn)妥的策略為01。針對(duì)問題三，解決A隊(duì)要以何種順序出場(chǎng)的問題，首先對(duì)A隊(duì)選擇哪種策略賦予權(quán)重即A隊(duì)選擇哪種策略可能性的大小，然后建立線性規(guī)劃模型，通過LINGO求解得到最優(yōu)的閾值k=0.535及a、a、a權(quán)重值分別為0.379,0.192，0.428，得出策略a是A1 2 3 3隊(duì)出場(chǎng)的最佳選擇。針對(duì)問題四，我們通過考慮實(shí)際比賽中有可能存在不同的賽制，例如七局四勝制和十一局六勝制，即模型的推廣性和適用性，認(rèn)為題目中給的數(shù)據(jù)對(duì)于推導(dǎo)其他賽制比較方便，但如果采用打滿五局的數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)五局三勝制的比賽結(jié)果具有較大的誤差，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并且由于事件的發(fā)生具有偶然性，可能造成預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確度不高。關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)期望線性規(guī)劃LINGO一、問題重述現(xiàn)有A、B兩乒乓球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝制的乒乓球賽，A、B兩隊(duì)分別派3名選手上場(chǎng)，并且分別有3種選手的出場(chǎng)順序(分別記為a,a,a和B，p，p)。根據(jù)過去的比123123賽記錄，可以預(yù)測(cè)出如果A隊(duì)以a的次序出場(chǎng)，B隊(duì)以0,的次序出場(chǎng)，則打滿5局A隊(duì)可勝a局，由此得矩陣R=\i)如下： ’ijij‘214、R=034<531丿針對(duì)這一生活中常見的球類競(jìng)賽需要我們小組建立模型主要解決以下問題：根據(jù)矩陣R能看出哪一隊(duì)的實(shí)力較強(qiáng)？如果兩隊(duì)都采取穩(wěn)妥的方案，比賽會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？如果你是A隊(duì)的教練，你會(huì)采取何種出場(chǎng)順序？比賽為五戰(zhàn)三勝制，但矩陣R中的元素卻是在打滿五局的情況下得到的，這樣的數(shù)據(jù)處理和預(yù)測(cè)方式有何優(yōu)缺點(diǎn)。二、問題分析在進(jìn)行問題分析之前，我們需要明確問題中給出的矩陣R元素a(i=1,2,3.j=1,2,3)所表示的具體含義。由題意可知矩陣R中的兀素a是根據(jù)過去的ij ij比賽記錄而預(yù)測(cè)得出的，表示A隊(duì)以a(i=1,2,3)的次序出場(chǎng)而B隊(duì)以p(j=1,2,3)的次序ij出場(chǎng)，A隊(duì)在五局比賽中平均獲勝的局?jǐn)?shù)的估計(jì)值而不是絕對(duì)值。針對(duì)問題一，要比較A、B兩隊(duì)實(shí)力的強(qiáng)弱，我們通過比較兩隊(duì)獲勝的數(shù)學(xué)期望值的大小來得出結(jié)論即首先假設(shè)A隊(duì)選擇a(i=1,2,3)出場(chǎng)次序的概率是等可能的，B隊(duì)選i擇p(j=1,2,3)出場(chǎng)次序的概率也是等可能的，然后計(jì)算出A隊(duì)選擇a(i=1,2,3)出場(chǎng)次序ji獲勝的數(shù)學(xué)期望E(a廠繼而得出A的獲勝的期望為￡E(a)/3。同理B隊(duì)選擇

iii=1p(j=1,2,3)出場(chǎng)次序獲勝的數(shù)學(xué)期望E(p)和B隊(duì)獲勝的期望fE(p)，最后比較A隊(duì)jj=j和B隊(duì)獲勝的數(shù)學(xué)期望大小，期望大的實(shí)力較強(qiáng)。針對(duì)問題二，要解決A、B兩隊(duì)都采取穩(wěn)妥的方案，比賽會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，首先需要知道A、B兩隊(duì)穩(wěn)妥的方案是分別是哪種出場(chǎng)順序，然后根據(jù)其中一隊(duì)采取穩(wěn)妥方案的前提下，另一對(duì)以哪一種出場(chǎng)順序獲勝的概率最大為依據(jù)列出比賽所出現(xiàn)的結(jié)果即首先根據(jù)概率論的相關(guān)知識(shí)計(jì)算出在五局三勝制中A隊(duì)以a的次序出場(chǎng)，B隊(duì)以p的ij次序出場(chǎng)A隊(duì)最后獲勝的概率(B隊(duì)最后失敗的概率)，得出A、B兩隊(duì)的穩(wěn)妥方案，繼而得出比賽會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果。針對(duì)問題三，解決A隊(duì)要以何種順序出場(chǎng)的問題，首先對(duì)A隊(duì)選擇哪種策略賦予權(quán)重即A隊(duì)選擇哪種策略可能性的大小，然后建立優(yōu)化模型求出權(quán)重值，根據(jù)權(quán)重值的大小得出A隊(duì)出場(chǎng)策略的最佳選擇。三、符號(hào)說明符號(hào)意義E(a)A隊(duì)選擇a(i=1,2,3)出場(chǎng)獲勝的數(shù)學(xué)期望E(0)/B隊(duì)選擇0(j=1,2,3)出場(chǎng)獲勝的數(shù)學(xué)期望/X(i=1,2,3)iA選擇a(i=1,2,3)次序出場(chǎng)獲勝的局?jǐn)?shù)iY(j=1,2,3)/B隊(duì)選擇0(j=1,2,3)出場(chǎng)獲勝的數(shù)學(xué)期望/C偏差矩陣Pj平均每局的獲勝概率矩陣k穩(wěn)妥閥值四、模型假設(shè)在問題一進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)力比較時(shí)，假設(shè)A隊(duì)選擇a(i=1,2,3)出場(chǎng)次序的概率是i等可能的，B隊(duì)選擇P(j二1,2,3)出場(chǎng)的概率也是等可能的。在問題二計(jì)算I隊(duì)每局獲勝的平均概率時(shí)，假設(shè)A隊(duì)獲勝的局?jǐn)?shù)這一事件符合古典概率模型。假設(shè)在比賽過程中兩隊(duì)隊(duì)員成績(jī)的發(fā)揮不受其他外界因素的影響。五、模型建立與求解5.1問題一模型的建立與求解TOC\o"1-5"\h\z根據(jù)假設(shè)A隊(duì)選擇a(i=1,2,3)出場(chǎng)次序的概率是等可能的即p(i二1,2,3)=1/3,B隊(duì)

i ai選擇0(j=1,2,3)出場(chǎng)次序的概率也是等可能的即pQ(j=1,2,3)=1/3，以及離散型變量數(shù)j 0學(xué)期望值的計(jì)算公式E(X)丄xp，計(jì)算出A隊(duì)選擇a(i=1,2,3)出場(chǎng)次序獲勝的數(shù)學(xué)期

ii ii=1望E(a)，繼而得到A隊(duì)獲勝的期望為工E(a)/3。同理可以求出B隊(duì)選擇0(j=1,2,3)出i i ji=1場(chǎng)次序獲勝的數(shù)學(xué)期望E(0)和B隊(duì)獲勝的期望￡E(0)/3。jj記A隊(duì)選擇a(i=1,2,3)次序出場(chǎng)獲勝的局?jǐn)?shù)記為事件X(i=1,2,3)，B選擇

ii0(j=1,2,3)次序出場(chǎng)為事件Y(j=1,2,3)，結(jié)合矩陣R可以得出X(i=1,2,3)，Y(j=1,2,3)j j i j的概率分布列如下表1，表2所示：

表1A隊(duì)選擇Q(i=1,2,3)次序出場(chǎng)獲勝的局?jǐn)?shù)的概率分布列iX1214pQ11/31/31/3X2034p2Q21/31/31/3X3531P3Q31/31/31/3根據(jù)表1可以計(jì)算出A隊(duì)選擇q(i=1,2,3)次序出場(chǎng)獲勝的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望:iE(Q)=E(X)=2*1/3+1*1/3+4*1/3=7/311E(Q)=E(X)=0*1/3+3*1/3+4*1/3=7/322E(Q)=E(X)=5*1/3+3*1/3+1*1/3=9/333A隊(duì)獲勝的數(shù)學(xué)期望為E(A)=fq/3=7/3+7/3+9/3=23/9;ii=1表2B隊(duì)選擇P(j=1,2,3)次序出場(chǎng)獲勝的局?jǐn)?shù)的概率分布列jY1350PP11/31/31/3Y2422P卩21/31/31/3Y3114P p 1/31/31/3根據(jù)表2可以計(jì)算出B隊(duì)選擇p(j=1,2,3)次序出場(chǎng)獲勝的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望：E(p)=E(Y)=3*1/3+5*1/3+0*1/3=8/311E(p)=E(Y)=4*1/3+2*1/3+2*1/3=8/322E(p)=E(Y)=1*1/3+1*1/3+4*1/3=6/333B隊(duì)獲勝的數(shù)學(xué)期望為E(B)=￡p=8/3+8/3+6/3=22/9;ii=1因此可以得出E(A)>E(B)，故A的實(shí)力比較強(qiáng)。5.2問題二模型的建立與求解針對(duì)問題中“穩(wěn)妥”的方案，我們定義“穩(wěn)妥”為：當(dāng)事情發(fā)生的可能性高于某一特定值時(shí)，認(rèn)為此事較為穩(wěn)妥。例如：對(duì)于一場(chǎng)比賽，具有風(fēng)險(xiǎn)偏好者認(rèn)為有50%的可能性贏，就較為穩(wěn)妥；而風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者認(rèn)為有70%的可能性贏，才較為穩(wěn)妥。

根據(jù)古典概率的計(jì)算公式P二N(N表示事件Z出現(xiàn)的次數(shù)，n表示試驗(yàn)總次數(shù))即Zn事件Z發(fā)生概率，首先計(jì)算出在打滿5局比賽時(shí)A隊(duì)可勝a局的每局獲勝的平均概率ijP亠(i=1,2,3.j=1,2,3)，這樣可以得到一個(gè)矩陣：ij5(0.40.20.8\P

ijTOC\o"1-5"\h\z0.6 0.8P

ij0.6 0.2丿然后根據(jù)n重伯努利試驗(yàn)二項(xiàng)分布概率的計(jì)算公式即如果記X為n重伯努利試驗(yàn)中成功(記為事件A)的次數(shù)，則X的可能取值為0,1,...,n,記p為每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率，p=Ckpk(1-p)n-k(k=0,1,...,n.)。在本題中由平均每局的獲勝概率，可求出Ax=k n隊(duì)每場(chǎng)的獲勝概率，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，A隊(duì)取勝每一場(chǎng)可能會(huì)進(jìn)行3局、4局或5局比賽。比賽三局：A隊(duì)連贏三局，比賽結(jié)束。獲勝的概率為：P=P3。1ij比賽四局：A隊(duì)前三局中贏兩局，第四局取勝。獲勝的概率為：P=C2P2(1-P)P。2 3ijijij比賽五局：A隊(duì)前四局中贏兩局，第五局取勝。獲勝的概率為：P=C2P2(1-P)2P。3 4ijijij因此，A隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝的概率為：P=P+P+P=P3+C2P2(1-P)P+C2P2(1-P)2P12 3ij3ij ijij4ij ijij即：P=P3(6P2—15P+10)

ijijij

在三種不同的策略下，得到A隊(duì)平均每場(chǎng)的獲勝概率矩陣為：'0.3170.0580.942、q= 0 0.683 0.942(1 0.683 0.058丿由矩陣可以看出：B隊(duì)最穩(wěn)妥的策略為竹，由于兩隊(duì)都采用最穩(wěn)妥的方案即無論A選擇哪種策略時(shí)B隊(duì)僅有一種策略為穩(wěn)妥的。1當(dāng)A隊(duì)選擇策略a時(shí)，若B隊(duì)恰好選擇策2略P，那么A隊(duì)的獲勝概率為0此策略的風(fēng)險(xiǎn)極大，不符合穩(wěn)妥的要求。所以A隊(duì)?wèi)?yīng)選擇策略a或a，當(dāng)A隊(duì)選擇a,B隊(duì)選擇策略卩時(shí)，A隊(duì)的獲勝概率為1,所以策略a1 3 3 1 3是A隊(duì)的最佳選擇。5.3問題三模型的建立與求解根據(jù)問題二中得到的A隊(duì)平均每場(chǎng)的獲勝概率矩陣q，設(shè)A隊(duì)選擇a、a、a三種ij 1 2 3策略的可能性分別為：x、y、z，穩(wěn)妥的閾值為k(當(dāng)獲勝的概率高于k時(shí)，此事較為穩(wěn)妥)通過建立線性規(guī)劃模型，求解最大的穩(wěn)妥閾值k。目標(biāo)函數(shù)：maxk

VariatleVai口已ReducedCostK0?53517920.000000X0?37901450?000000Y0?19223610?000000Z0?42S74940?0000003約束條件：通過LINGO編程求解得到qx+qy約束條件：通過LINGO編程求解得到qx+qy+qz>k11 12 13qx+qy+qz>k21 22 23<qx+qy+qz>k31 32 33x+y+z二1x>0,y>0,z>0Globaloptimalsol口匸:ionfound?Objectivevalue:Totalsolveriterations:0?5351"92概率為混合的獲勝概率即：策略?占37.9%,策略a占19.2%，策略a占42.9%,其中123策略a的比重最大，所以A隊(duì)很大可能是選擇策略a進(jìn)行比賽。33六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)題目中的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，可以得出五局三勝制情況下的的獲勝概率矩陣，同時(shí)可以得出七局四勝制，十一局六勝制情況下的獲勝概率矩陣，這樣就可以推廣本文所建立的模型；而如果只給出五局三勝制情況下的獲勝概率矩陣，對(duì)于其它賽制，模型的適用性就受到了限制，不適合進(jìn)一步的推廣。缺點(diǎn)：比賽為五局三勝制，但矩陣R中的元素卻是在打滿五局的情況下得到的，這樣得到的數(shù)據(jù)處理結(jié)果和實(shí)際情況是不相符合的，因?yàn)樵谶M(jìn)行實(shí)際比賽時(shí)，我們可能只進(jìn)行了三局，四局比賽，而題目中給的數(shù)據(jù)是預(yù)測(cè)打滿