25矩形菱形與正方形

..<株洲,22>已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,對角線AC與BD交于點O,過點O的直線EF交AD于點E,交BC于點F.⑴求證：△AOE≌△COF；⑵若∠EOD=30°,求CE的長.[答案]：〔1證明：∵四邊形ABCD是菱形,對角線AC與BD交于點O∴AD//BC,OA=OC∴∠EAO=∠FCO又∵∠EOA=∠FOC〔對頂角相等∴△AOE≌△COF〔ASA〔2解：∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°∴△ABD是邊長為2的等邊三角形∴△ABD邊上的高為2tan60°=,∠BDA=60°〔即∠EDO=60°又∵∠EOD=30°∴△OED為Rt△∴EF的長等于△ABD邊上的高,°∴[方法指導(dǎo)]本題考查了菱形的性質(zhì),菱形是特殊的平行四邊形,除了具有平行四邊形所有的性質(zhì)外,還具有四條邊相等,對角線互相垂直的性質(zhì).第二問重在掌握解特殊三角形的知識.13．〔2013,26,10分如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點,E是AD的中點,過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連接BF．〔1BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系,并說明理由；〔2當(dāng)△ABC滿足什么條件時,四邊形AFBD是矩形？并說明理由．考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：〔1根據(jù)兩直線平行,錯角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用"角角邊"證明△AEF和△DEC全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=CD,再利用等量代換即可得證；〔2先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形,再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．解答：解：〔1BD=CD．理由如下：∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中點,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,,∴△AEF≌△DEC〔AAS,∴AF=CD,∵AF=BD,∴BD=CD；〔2當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時,四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD,AF=BD,∴四邊形AFBD是平行四邊形,∵AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90°,∴?AFBD是矩形．點評：本題考查了矩形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,是基礎(chǔ)題,明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．14．〔2013,23,10分如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點,BE=2DE,延長DE到點F,使得EF=BE,連接CF．〔1求證：四邊形BCFE是菱形；〔2若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面積．考點：菱形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．分析：從所給的條件可知,DE是△ABC中位線,所以DE∥BC且2DE=BC,所以BC和EF平行且相等,所以四邊形BCFE是平行四邊形,又因為BE=FE,所以是菱形；∠BCF是120°,所以∠EBC為60°,所以菱形的邊長也為4,求出菱形的高面積就可求．解答：〔1證明：∵D、E分別是AB、AC的中點,∴DE∥BC且2DE=BC,又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF∥BC,∴四邊形BCFE是平行四邊形,又∵BE=FE,∴四邊形BCFE是菱形；〔2解：∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等邊三角形,∴菱形的邊長為4,高為2,∴菱形的面積為4×2=8．點評：本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理,以及菱形的面積的計算等知識點．15．〔2013,25,10分四邊形ABCD是正方形,E、F分別是DC和CB的延長線上的點,且DE=BF,連接AE、AF、EF．〔1求證：△ADE≌△ABF；〔2填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點,按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；〔3若BC=8,DE=6,求△AEF的面積．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：〔1根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB,∠D=∠ABC=90°,然后利用"SAS"易證得△ADE≌△ABF；〔2由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE,則∠BAF+∠EBF=90°,即∠FAE=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點,按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；〔3先利用勾股定理可計算出AE=10,在根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點,按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到AE=AF,∠EAF=90°,然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可．解答：〔1證明：∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°,而F是DCB的延長線上的點,∴∠ABF=90°,在△ADE和△ABF中,∴△ADE≌△ABF〔SAS；〔2解：∵△ADE≌△ABF,∴∠BAF=∠DAE,而∠DAE+∠EBF=90°,∴∠BAF+∠EBF=90°,即∠FAE=90°,∴△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點,按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；故答案為A、90；〔3解：∵BC=8,∴AD=8,在Rt△ADE中,DE=6,AD=8,∴AE==10,∵△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點,按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到,∴AE=AF,∠EAF=90°,∴△AEF的面積=AE2=×100=50〔平方單位．點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．16.〔2013,18,7分如圖,點E,F分別是銳角∠A兩邊上的點,AE=AF,分別以點E,F為圓心,以AE的長為半徑畫弧,兩弧相交于點D,連接DE,DF．〔1請你判斷所畫四邊形的性狀,并說明理由；〔2連接EF,若AE=8厘米,∠A=60°,求線段EF的長．考點：菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1由AE=AF=ED=DF,根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形,即可證得：四邊形AEDF是菱形；〔2首先連接EF,由AE=AF,∠A=60°,可證得△EAF是等邊三角形,則可求得線段EF的長．解答：解：〔1菱形．理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF,∴四邊形AEDF是菱形；〔2連接EF,∵AE=AF,∠A=60°,∴△EAF是等邊三角形,∴EF=AE=8厘米．點評：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17.〔2013,24,9分如圖,在□ABCD中,M,N分別是AD,BC的中點,∠AND=90°,連接CM交DN于點O.〔1求證：⊿ABN≌⊿CDM；〔2過點C作CE⊥MN于點E,交DN于點P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的長.〔第〔第24題18．〔2013,23,9分某校九年級學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中,用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖〔1所示位置放置放置,現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α〔0°＜α＜90°,如圖〔2,AE與BC交于點M,AC與EF交于點N,BC與EF交于點P．〔1求證：AM=AN；〔2當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時,四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．分析：〔1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AF,∠BAM=∠FAN,進而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；〔2利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠FAB=120°,∠FPC=∠B=60°,即可得出四邊形ABPF是平行四邊形,再利用菱形的判定得出答案．解答：〔1證明：∵用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖〔1所示位置放置放置,現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α〔0°＜α＜90°,∴AB=AF,∠BAM=∠FAN,在△ABM和△AFN中,,∴△ABM≌△AFN〔ASA,∴AM=AN；〔2解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時,四邊形ABPF是菱形．理由：連接AP,∵∠α=30°,∴∠FAN=30°,∴∠FAB=120°,∵∠B=60°,∴AF∥BP,∴∠F=∠FPC=60°,∴∠FPC=∠B=60°,∴AB∥FP,∴四邊形ABPF是平行四邊形,∵AB=AF,∴平行四邊形ABPF是菱形．點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知識,根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形大小不發(fā)生變化得出是解題關(guān)鍵．19．〔2013,24,10分如圖,△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F．〔1求證：OE=OF；〔2若CE=12,CF=5,求OC的長；〔3當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位置時,四邊形AECF是矩形？并說明理由．考點：矩形的判定；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．分析：〔1根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2,∠3=∠4,進而得出答案；〔2根據(jù)已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°,進而利用勾股定理求出EF的長,即可得出CO的長；〔3根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．解答：〔1證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F,∴∠2=∠5,4=∠6,∵MN∥BC,∴∠1=∠5,3=∠6,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF；〔2解：∵∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,∵CE=12,CF=5,∴EF==13,∴OC=EF=6.5；〔3答：當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形．證明：當(dāng)O為AC的中點時,AO=CO,∵EO=FO,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵∠ECF=90°,∴平行四邊形AECF是矩形．點評：此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定和直角三角形的判定等知識,根據(jù)已知得出∠ECF=90°是解題關(guān)鍵．20．〔2013,25,10分如圖,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上,E、F分別在AB、AC上,AD交EF于點H．〔1求證：；〔2設(shè)EF=x,當(dāng)x為何值時,矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；〔3當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時,該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動〔當(dāng)矩形的邊PQ到達A點時停止運動,設(shè)運動時間為t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值圍．考點：相似形綜合題．分析：〔1由相似三角形,列出比例關(guān)系式,即可證明；〔2首先求出矩形EFPQ面積的表達式,然后利用二次函數(shù)求其最大面積；〔3本問是運動型問題,要點是弄清矩形EFPQ的運動過程：〔I當(dāng)0≤t≤2時,如答圖①所示,此時重疊部分是一個矩形和一個梯形；〔II當(dāng)2＜t≤4時,如答圖②所示,此時重疊部分是一個三角形．解答：〔1證明：∵矩形EFPQ,∴EF∥BC,∴△AHF∽△ADC,∴,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴,∴．〔2解：∵∠B=45°,∴BD=AD=4,∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．∵EF∥BC,∴△AEH∽△ABD,∴,∵EF∥BC,∴△AFH∽△ACD,∴,∴,即,∴EH=4HF,已知EF=x,則EH=x．∵∠B=45°,∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x．S矩形EFPQ=EF?EQ=x?〔4﹣x=﹣x2+4x=﹣〔x﹣2+5,∴當(dāng)x=時,矩形EFPQ的面積最大,最大面積為5．〔3解：由〔2可知,當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時,矩形的長為,寬為4﹣×=2．在矩形EFPQ沿射線AD的運動過程中：〔I當(dāng)0≤t≤2時,如答圖①所示．設(shè)矩形與AB、AC分別交于點K、N,與AD分別交于點H1,D1．此時DD1=t,H1D1=2,∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t,HH1=H1D1﹣HD1=t,AH1=AH﹣HH1=2﹣t,．∵KN∥EF,∴,即,得KN=〔2﹣t．S=S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1=〔KN+EF?HH1+EF?EQ1=[〔2﹣t+]×t+〔2﹣t=t2+5；〔II當(dāng)2＜t≤4時,如答圖②所示．設(shè)矩形與AB、AC分別交于點K、N,與AD交于點D2．此時DD2=t,AD2=AD﹣DD2=4﹣t,∵KN∥EF,∴,即,得KN=5﹣t．S=S△AKN=KN?AD2=〔5﹣t〔4﹣t=t2﹣5t+10．綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=．點評：本題是運動型相似三角形壓軸題,考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的表達式與最值、矩形、等腰直角三角形等多個知識點,涉及考點較多,有一定的難度．難點在于第〔3問,弄清矩形的運動過程是解題的關(guān)鍵．21.〔2013,19,8分如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,對角線BD平分ABC,P是BD上一點,過點P作PMAD,PNCD,垂ABCDNMABCDNMP<1>求證：ADB=CDB；<2>若ADC=90,求證：四邊形MPND是正方形。解析：證明：<1>∵BD平分ABC,∴ABD=CBD。又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD△CBD?！郃DB=CDB。<4分><2>∵PMAD,PNCD,∴PMD=PND=90。又∵ADC=90,∴四邊形MPND是矩形?！逜DB=CDB,PMAD,PNCD,∴PM=PN。∴四邊形MPND是正方形。<8分>22．[2013,26,10分]如圖<十二>所示,在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°.點P是△ABC外角∠BCN的角平分線上一個動點,點P/是點P關(guān)于直線BC的對稱點,連結(jié)PP/交BC于點M、BP/交AC于點D,連結(jié)BP、AP/、CP/.<1>若四邊形BPCP/為菱形,求BM的長；<2>若△BMP/∽△ABC,求BM的長；<3>若△ABD為等腰三角形,求△ABD的面積.圖<十一>圖<十一>②③①知識考點：菱形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形面積計算.審題要津：〔1根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分即可求解；〔2根據(jù)勾股定理求解；〔3根據(jù)面積公式求解.滿分解答：解：〔1∵四邊形BPCP/是菱形,∴BC與PP/互相平分,∴BM=eq\f<1,2>BC=3.<2>∵△BMP/∽△ABC,且△ABC是等腰直角三角形,∴△BMP/是等腰直角三角形,∴BM=MP/,∠BPP/=45°.∵P與P/關(guān)于直線BC對稱,∴∠BPM=45°,PM=MP/,∴BM=MP.∵CP平分∠NCB,∴∠BCP=eq\f<1,2>∠BCN=eq\f<1,2><180°-45°>=67.5°.又∵∠CPM=90°-∠BCP=90°-67.5°=22.5°,∴∠BPC=∠BPM+∠CPM=45°+22.5°=67.5°,∴∠BCP=∠BPC,∴BP=BC=6.在Rt△BMP中,∵BM2+MP2=BP2,2BM2=62,∴BM=3eq\r<2>.<3>由題意,知∠BAD=45°.①當(dāng)AB=AD時,過點D作DE⊥AB,垂足為D.在Rt△AED中,DE=AD·sin∠DAB=6×sin45°=3eq\r<2>,此時△ABD的面積為：eq\f<1,2>AB·DE=eq\f<1,2>×6×3eq\r<2>=9eq\r<2>.胸、地<1,2>錯誤！未指定書簽。②當(dāng)AD=BD時,有∠ABD=∠BAD=45°,∴∠ADB=90°,∴BD⊥AC,∵△ABC是等腰在解三角形,且AB=BC,∴D為AC的中點,∴△ABD的面積為△ABC面積的一半,∴△ABC的面積為eq\f<1,2>×eq\f<1,2>AB·AC=eq\f<1,4>×6×6=9.③當(dāng)AB=BD時,∵∠BAD=45,∴∠ABC=90°,此時△ABD就是△ABC,∴△ABD的面積為eq\f<1,2>AB·BD=eq\f<1,2>AB·BC=eq\f<1,2>×6×6=18.綜上所述,△ABD的面積為9eq\r<2>,或9,或18.名師點評：本題是一道綜合性壓軸題,題目難度較大,解題時注意轉(zhuǎn)換思想的運用.胸、地<9,2>錯誤！未指定書簽。23．〔2013·,28,?分如圖,在四邊形ABCD中,AB＝AD,CB＝CD,E是CD上一點,BE交AC于F,連接DF．〔1證明：∠BAC＝∠DAC,∠AFD＝∠CFE．〔2若AB∥CD,試證明四邊形ABCD是菱形；〔3在〔2的條件下,試確定E點的位置,∠EFD＝∠BCD,并說明理由．考點：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC＝∠DAC,再證明△ABF≌△ADF,可得∠AFD＝∠AFB,進而得到∠AFD＝∠CFE；〔2首先證明∠CAD＝∠ACD,再根據(jù)等角對等邊可得AD＝CD,再有條件AB＝AD,CB＝CD可得AB＝CB＝CD＝AD,可得四邊形ABCD是菱形；〔3首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF＝∠CDF,再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°,進而得到∠EFD＝∠BCD．解答：〔1證明：∵在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC〔SSS,∴∠BAC＝∠DAC,∵在△ABF和△ADF中,∴△ABF≌△ADF,∴∠AFD＝∠AFB,∵∠AFB＝∠AFE,∴∠AFD＝∠CFE；〔2證明：∵AB∥CD,∴∠BAC＝∠ACD,又∵∠BAC＝∠DAC,∴∠CAD＝∠ACD,∴AD＝CD,∵AB＝AD,CB＝CD,∴AB＝CB＝CD＝AD,∴四邊形ABCD是菱形；〔3當(dāng)EB⊥CD時,∠EFD＝∠BCD,理由：∵四邊形ABCD為菱形,∴BC＝CD,∠BCF＝∠DCF,在△BCF和△DCF中,∴△BCF≌△DCF〔SAS,∴∠CBF＝∠CDF,∵BE⊥CD,∴∠BEC＝∠DEF＝90°,∴∠EFD＝∠BCD．點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),以及菱形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．24．〔2013·,25,10分如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點,F是AD延長線上一點,且DF＝BE．〔1求證：CE＝CF；〔2若點G在AD上,且∠GCE＝45°,則GE＝BE+GD成立嗎？為什么？考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；探究型．分析：〔1由DF＝BE,四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD,從而證出CE＝CF．〔2由〔1得,CE＝CF,∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°又∠GCE＝45°所以可得∠GCE＝∠GCF,故可證得△ECG≌△FCG,即EG＝FG＝GD+DF．又因為DF＝BE,所以可證出GE＝BE+GD成立．解答：〔1證明：在正方形ABCD中,∵BC＝CD,∠B＝∠CDF,BE＝DF,∴△CBE≌△CDF〔SAS．∴CE＝CF．〔3分〔2解：GE＝BE+GD成立．〔4分理由是：∵由〔1得：△CBE≌△CDF,∴∠BCE＝∠DCF,〔5分∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD,即∠ECF＝∠BCD＝90°,〔6分又∠GCE＝45°,∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵CE＝CF,∠GCE＝∠GCF,GC＝GC,∴△ECG≌△FCG〔SAS．∴GE＝GF．〔7分∴GE＝DF+GD＝BE+GD．〔8分點評：本題主要考查證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想,在第二問中也是考查了通過全等找出和GE相等的線段,從而證出關(guān)系是不是成立．25〔2013·,20,?分如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、DC上的點,且AF⊥BE．〔1求證：AF=BE；〔2如圖2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點,且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：〔1根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,∠BAE=∠D=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF,然后利用"角邊角"證明△ABE和△DAF全等,再根據(jù)全等三角形的證明即可；〔2過點A作AF∥MP交CD于F,過點B作BE∥NQ交AD于E,然后與〔1相同．解答：〔1證明：在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF＋∠BAF=90°,∵AF⊥BE,∴∠ABE＋∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF,∵在△ABE和△DAF中,,∴△ABE≌△DAF〔ASA,∴AF=BE；〔2解：MP與NQ相等．理由如下：如圖,過點A作AF∥MP交CD于F,過點B作BE∥NQ交AD于E,則與〔1的情況完全相同．點評：本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),主要利用了正方形的四條邊都相等,每一個角都是直角的性質(zhì),同角的余角相等的性質(zhì),利用三角形全等證明相等的邊是常用的方法之一,要熟練掌握并靈活運用．26．〔2013·聊城,19,?分如圖,四邊形ABCD中,∠A＝∠BCD＝90°,BC＝CD,CE⊥AD,垂足為E,求證：AE＝CE．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：過點B作BF⊥CE于F,根據(jù)同角的余角相等求出∠BCF＝∠D,再利用"角角邊"證明△BCF和△CDE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF＝CE,再證明四邊形AEFB是矩形,根據(jù)矩形的對邊相等可得AE＝BF,從而得證,解答：證明：如圖,過點B作BF⊥CE于F,∵CE⊥AD,∴∠D＋∠DCE＝90°,∵∠BCD＝90°,∴∠BCF＋∠DCE＝90°,∴∠BCF＝∠D,在△BCF和△CDE中,,∴△BCF≌△CDE〔AAS,∴BF＝CE,又∵∠A＝90°,CE⊥AD,BF⊥CE,∴四邊形AEFB是矩形,∴AE＝BF,∴AE＝CE．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),難度中等,作輔助線構(gòu)造出全等三角形與矩形是解題的關(guān)鍵．27〔201310分如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,對稱中心為點P,點F為BC邊上一個動點,點E在AB邊上,且滿足條件∠EPF=45°,圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對稱,設(shè)它們的面積和為S1．〔1求證：∠APE=∠CFP；〔2設(shè)四邊形CMPF的面積為S2,CF=x,．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值圍,并求出y的最大值；②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點P成中心對稱時,求y的值．[思路分析]〔1利用正方形與三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系可以證明結(jié)論；〔2本問關(guān)鍵是求出y與x之間的函數(shù)解析式．①首先分別用x表示出S1與S2,然后計算出y與x的函數(shù)解析式．這是一個二次函數(shù),求出其最大值；②注意中心對稱、軸對稱的幾何性質(zhì)．[解析]〔1證明：∵∠EPF=45°,∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；而在△PFC中,由于PF為正方形ABCD的對角線,則∠PCF=45°,則∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°,∴∠APE=∠CFP．〔2解：①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,∴△APE∽△CPF,則．而在正方形ABCD中,AC為對角線,則AC=AB=,又∵P為對稱中心,則AP=CP=,∴AE===．如圖,過點P作PH⊥AB于點H,PG⊥BC于點G,P為AC中點,則PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2．S△APE==×2×=,∵陰影部分關(guān)于直線AC軸對稱,∴△APE與△APN也關(guān)于直線AC對稱,則S四邊形AEPN=2S△APE=；而S2=2S△PFC=2×=2x,∴S1=S正方形ABCD﹣S四邊形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x,∴y===+﹣1．∵E在AB上運動,F在BC上運動,且∠EPF=45°,∴2≤x≤4．令=a,則y=﹣8a2+8a﹣1,當(dāng)a==,即x=2時,y取得最大值．而x=2在x的取值圍,代入x=2,則y最大=4﹣2﹣1=1．∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=+﹣1〔2≤x≤4,y的最大值為1．②圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點P成中心對稱,而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對稱,則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對稱,則EB=BF,即AE=FC,∴=x,解得x=,代入x=,得y=﹣2．[方法指導(dǎo)]本題是代數(shù)幾何綜合題,考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形、二次函數(shù)的解析式與最值、幾何變換〔軸對稱與中心對稱、圖形面積的計算等知識點,涉及的考點較多,有一定的難度．本題重點與難點在于求出y與x的函數(shù)解析式,在計算幾何圖形面積時涉及大量的計算,需要細心計算避免出錯．16〔2013?10分某學(xué)校的校門是伸縮門〔如圖1,伸縮門中的每一行菱形有20個,每個菱形邊長為30厘米．校門關(guān)閉時,每個菱形的銳角度數(shù)為60°〔如圖2；校門打開時,每個菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°〔如圖3．問：校門打開了多少米？〔結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù)：sin5°≈0.0872,cos5°≈0.9962,sin10°≈0.1736,cos10°≈0.9848．[思路分析]先求出校門關(guān)閉時,20個菱形的寬即大門的寬；再求出校門打開時,20個菱形的寬即伸縮門的寬；然后將它們相減即可．[解析]如圖,校門關(guān)閉時,取其中一個菱形ABCD．根據(jù)題意,得∠BAD=60°,AB=0.3米．∵在菱形ABCD中,AB=AD,∴△BAD是等邊三角形,∴BD=AB=0.3米,∴大門的寬是：0.3×20≈6〔米；校門打開時,取其中一個菱形A1B1C1D1．根據(jù)題意,得∠B1A1D1=10°,A1B1=0.3米．∵在菱形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∠B1A1O1=5°,∴在Rt△A1B1O1中,B1O1=sin∠B1A1O1?A1B1=sin5°×0.3=0.02616〔米,∴B1D1=2B1O1=0.05232米,∴伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米；∴校門打開的寬度為：6﹣1.0464=4.9536≈5〔米．故校門打開了5米．[方法指導(dǎo)]本題考查了菱形的性質(zhì),解直角三角形的應(yīng)用,難度適中．解題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,只要把實際問題抽象到解直角三角形中,一切將迎刃而解282013?12分若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．〔1如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；〔2如圖2,在12×16的網(wǎng)格圖上〔每個小正方形的邊長為1有一個扇形BAC,點A．B．C均在格點上,請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D,使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線,并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；〔3四邊形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四邊形ABCD的和諧線,求∠BCD的度數(shù)．[思路分析]〔1要證明BD是四邊形ABCD的和諧線,只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；〔2根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點到頂點的距離相等,只要D在上任意一點構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC,在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD,構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形,〔3由AC是四邊形ABCD的和諧線,可以得出△ACD是等腰三角形,從圖4,圖5,圖6三種情況運用等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．[解析]〔1∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°,∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中,∠C=75°,∠DBC=30°,∴∠BDC=∠C=75°,∴△BCD為等腰三角形,∴BD是梯形ABCD的和諧線；〔2由題意作圖為：圖2,圖3〔3∵AC是四邊形ABCD的和諧線,∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC,如圖4,當(dāng)AD=AC時,∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC∴△ABC是正三角形,∴∠BAC=∠BCA=60°．∵∠BAD=90°,∴∠CAD=30°,∴∠ACD=∠ADC=75°,∴∠BCD=60°+75°=135°．如圖5,當(dāng)AD=CD時,∴AB=AD=BC=CD．∵∠BAD=90°,∴四邊形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°如圖6,當(dāng)AC=CD時,過點C作CE⊥AD于E,過點B作BF⊥CE于F,∵AC=CD．CE⊥AD,∴AE=AD,∠ACE=∠DCE．∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,∴四邊形ABFE是矩形．∴BF=AE．∵AB=AD=BC,∴BF=BC,∴∠BCF=30°．∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC．∵AB∥CE,∴∠BAC=∠ACE,∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°,∴∠BCD=15°×3=45°．[方法指導(dǎo)]本題是一道四邊形的綜合試題,考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運用,和諧四邊形的判定,等邊三角形的性質(zhì)的運用,正方形的性質(zhì)的運用,30°的直角三角形的性質(zhì)的運用．解答如圖6這種情況容易忽略,解答時合理運用分類討論思想是關(guān)鍵．29.〔2013?12分若一個矩形的一邊是另一邊的兩倍,則稱這個矩形為方形,如圖1,矩形ABCD中,BC=2AB,則稱ABCD為方形．〔1設(shè)a,b是方形的一組鄰邊長,寫出a,b的值〔一組即可．〔2在△ABC中,將AB,AC分別五等分,連結(jié)兩邊對應(yīng)的等分點,以這些連結(jié)為一邊作矩形,使這些矩形的邊B1C1,B2C2,B3C3,B4C4的對邊分別在B2C2,B3C3,B4C4,BC上,如圖2所示．①若BC=25,BC邊上的高為20,判斷以B1C1為一邊的矩形是不是方形？為什么？②若以B3C3為一邊的矩形為方形,求BC與BC邊上的高之比．[思路分析]〔1答案不唯一,根據(jù)已知舉出即可；〔2①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4,推出==,==,==,==,求出B1C1=5,B2C2=10,B3C3=15,B4C4=20,AE=4,AH=8,AG=12,AN=16,MN=GN=GH=HE=4,BQ=B2O=B3Z=B4K=4,根據(jù)已知判斷即可；②設(shè)AM=h,根據(jù)△ABC∽△AB3C3,得出==,求出MN=GN=GH=HE=h,分為兩種情況：當(dāng)B3C3=2×h,時,當(dāng)B3C3=×h時,代入求出即可．[解析]〔1答案不唯一,如a=2,b=4；〔2①以B1C1為一邊的矩形不是方形．理由是：過A作AM⊥BC于M,交B1C1于E,交B2C2于H,交B3C3于G,交B4C4于N,則AM⊥B4C4,AM⊥B3C3,AM⊥B2C2,AM⊥B1C1,∵由矩形的性質(zhì)得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4,∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4,∴=,==,==,==,∵AM=20,BC=25,∴B1C1=5,B2C2=10,B3C3=15,B4C4=20,AE=4,AH=8,AG=12,AN=16,∴MN=GN=GH=HE=4,∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4,即B1C1≠2B1Q,B1Q≠2B1C1,∴以B1C1為一邊的矩形不是方形；②∵以B3C3為一邊的矩形為方形,設(shè)AM=h,∴△ABC∽△AB3C3,∴==,則AG=h,∴MN=GN=GH=HE=h,當(dāng)B3C3=2×h,時,=；當(dāng)B3C3=×h時,=．綜合上述：BC與BC邊上的高之比是或．[方法指導(dǎo)]本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定和矩形的性質(zhì)的應(yīng)用,注意：相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比．30〔2013市,22,10分某地下車庫出口處"兩段式欄桿"如圖7-1所示,點是欄桿轉(zhuǎn)動的支點,點是欄桿兩段的連接點．當(dāng)車輛經(jīng)過時,欄桿升起后的位置如圖7-2所示,其示意圖如圖7-3所示,其中⊥,∥,,米,求當(dāng)車輛經(jīng)過時,欄桿EF段距離地面的高度〔即直線EF上任意一點到直線BC的距離．〔結(jié)果精確到0.1米,欄桿寬度忽略不計參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75．圖圖7-1圖7-2圖7-3AEFAEFAEFBC31〔2013,19,9分如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別是E、F,并且DE=DF．求證：〔1△ADE≌△CDF；〔2四邊形ABCD是菱形．考點：菱形的判