甘肅省張掖市高臺(tái)一中高三數(shù)學(xué)四模試卷（文科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2017年甘肅省張掖市高臺(tái)一中高考數(shù)學(xué)四模試卷（文科）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合A=｛x｜3x+x2＞0｝,B={x|﹣4＜x＜﹣1}，則()A．A∩B=｛x|﹣4＜x＜﹣3} B．A∪B=R C．B?A D．A?B2．若復(fù)數(shù)Z滿足（1+i）Z=|3+4i|,則Z的實(shí)部為（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．下列敘述中正確的是（）A．若a，b，c∈R,則“ax2+bx+c≥0”的充分條件是“b2﹣4ac≤0"B．若a，b，c∈R，則“ab2＞cb2”的充要條件是“a＞c”C．l是一條直線，α,β是兩個(gè)不同的平面，若l⊥α，l⊥β，則α∥βD．命題“對(duì)任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0"4．一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列｛an｝，若a3=8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列,則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是(）A．13,12 B．13,13 C．12，13 D．13，145．如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2π+8 B．8π+8 C．4π+8 D．6π+86．設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f（f（m））=3f（m）的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．（﹣∞，0）∪{﹣｝ B．［0,1] C．［0,+∞)∪{﹣} D．[1，+∞）7．某公司將5名員工分配至3個(gè)不同的部門，每個(gè)部門至少分配一名員工，其中甲、乙兩名員工必須分配在同一個(gè)部門的不同分配方法數(shù)為(）A．24 B．30 C．36 D．428．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2.5，則輸出的P值為（）A．6 B．7 C．8 D．99．設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組，若x、y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是（)A．14 B．16 C．17 D．1910．已知三角形△ABC的三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(）A．15 B．18 C．21 D．2411．以O(shè)為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足，則該橢圓的離心率為()A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的方程f（x）=a有四個(gè)不同的解x1，x2,x3,x4,且x1＜x2＜x3＜x4,則x3（x1+x2）+的取值范圍是（）A．（﹣3，+∞) B．(﹣∞，3) C．[﹣3,3) D．(﹣3，3］二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題紙上13．表面積為60π的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S﹣ABC體積的最大值為．14．若直線x+ay﹣1=0與2x﹣4y+3=0垂直，則二項(xiàng)式(ax2﹣）5的展開式中x的系數(shù)為．15．設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù),滿足x﹣y+2z=0，則的最小值是．16．若數(shù)列{an｝是正項(xiàng)數(shù)列，且++…+=n2+3n(n∈N*)，則++…+=．三、解答題（本大題共5小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)17．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;（Ⅱ)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，,求△ABC的面積．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=，AA1=2，D為AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，CO⊥側(cè)面ABB1A1．（1）證明：CD⊥AB1;（2）若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．19．對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率[10，15)100.25［15,20)25n[20,25）mp［25,30）20.05合計(jì)M1（1）求出表中M、p及圖中a的值；（2)試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)；（3)在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間［20，25）內(nèi)的概率．20．已知橢圓M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為，且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0)．（1）求橢圓M的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓M相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中點(diǎn)P在橢圓M上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值．21．已知f(x）=ax2﹣（b+1）xlnx﹣b，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（e，f（e））處的切線方程為2x+y=0．（1）求f（x）的解析式；(2）研究函數(shù)f（x)在區(qū)間(0，e4]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做,則按所做的第一題記分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22．已知曲線E的極坐標(biāo)方程為，傾斜角為α的直線l過(guò)點(diǎn)P(2,2）．（1）求E的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；（2）設(shè)l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且關(guān)于直線x=2對(duì)稱的兩條直線,l1與E交于A，B兩點(diǎn),l2與E交于C，D兩點(diǎn)．求證:|PA|：｜PD｜=|PC｜：｜PB|．[選修4-5：不等式選講］23．設(shè)函數(shù)f（x）=a|x﹣2｜+x．(1）若函數(shù)f（x)有最大值，求a的取值范圍；（2）若a=1，求不等式f（x）＞|2x﹣3｜的解集．

2017年甘肅省張掖市高臺(tái)一中高考數(shù)學(xué)四模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12個(gè)小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合A=｛x|3x+x2＞0｝，B=｛x｜﹣4＜x＜﹣1}，則(）A．A∩B=｛x|﹣4＜x＜﹣3} B．A∪B=R C．B?A D．A?B【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算；1D:并集及其運(yùn)算．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集、并集,判斷出A與B的包含關(guān)系即可．【解答】解：由A中不等式變形得：x（x+3）＞0,解得:x＜﹣3或x＞0，即A=｛x｜x＞0或x＜﹣3｝，∵B={x｜﹣4＜x＜﹣1｝，∴A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}，A∪B={x|x＞0或x＜﹣1｝．故選:A．2．若復(fù)數(shù)Z滿足(1+i）Z=｜3+4i|，則Z的實(shí)部為（）A．﹣ B．﹣ C． D．【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，求出分子的模，再利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解:由(1+i)Z=｜3+4i｜,得，∴Z的實(shí)部為．故選：D．3．下列敘述中正確的是（）A．若a，b，c∈R，則“ax2+bx+c≥0”的充分條件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，則“ab2＞cb2"的充要條件是“a＞c”C．l是一條直線，α，β是兩個(gè)不同的平面,若l⊥α，l⊥β，則α∥βD．命題“對(duì)任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”【考點(diǎn)】2K:命題的真假判斷與應(yīng)用；2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】A．根據(jù)充分條件的定義進(jìn)行判斷，B．根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷，C．根據(jù)線面垂直和面面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷,D．根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷．【解答】解：A．當(dāng)a＞0，b=0，c≥0時(shí)，滿足b2﹣4ac≤0，但ax2+bx+c≥0不恒成立，故A錯(cuò)誤，B．當(dāng)b=0，a＞c時(shí)，ab2＞cb2不成立，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤，C．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得若l⊥α，l⊥β,則α∥β成立，故C正確，D．命題“對(duì)任意x∈R，有x2≥0"的否定是“存在x∈R，有x2＜0”,故D錯(cuò)誤，故選：C4．一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù),它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列｛an｝，若a3=8,且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．13，12 B．13，13 C．12，13 D．13，14【考點(diǎn)】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】由題設(shè)條件，一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù),它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an｝，若a3=8，且a1，a3,a7成等比數(shù)列,設(shè)出公差為d,用公差與a3=8表示出a1，a7再由等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程求出公差，即可得到樣本數(shù)據(jù)，再由公式求出樣本的平均數(shù)和中位數(shù)【解答】解：設(shè)公差為d,由a3=8，且a1,a3，a7成等比數(shù)列，可得64=（8﹣2d）（8+4d）=64+16d﹣8d2，即，0=16d﹣8d2，又公差不為0,解得d=2此數(shù)列的各項(xiàng)分別為4，6,8，10,12，14，16,18，20，22,故樣本的中位數(shù)是13，平均數(shù)是13故答案為B5．如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2π+8 B．8π+8 C．4π+8 D．6π+8【考點(diǎn)】L！:由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，從而求出它的體積是多少．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體底部為四棱柱，上部為平放的兩個(gè)半圓柱的組合體,該幾何體的體積為V幾何體=V底部+V上部=2×（2+2)×1+π?12×2=8+2π．故選:A．6．設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f(f(m)）=3f(m）的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（)A．(﹣∞，0）∪｛﹣} B．[0,1］ C．［0，+∞）∪{﹣｝ D．［1,+∞）【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】令t=f（m),即有f（t)=3t,當(dāng)t＜1時(shí),2t+1=3t，解得t=0,進(jìn)而求得m的值；當(dāng)t≥1時(shí)，f（t)=3t，討論m的范圍,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得m的范圍．【解答】解：令t=f（m），即有f(t）=3t，當(dāng)t＜1時(shí)，2t+1=3t∈（0，3），即為﹣＜t＜1,設(shè)g（t）=2t+1﹣3t，令g（t)=0，可得t=0，由f（m）=2m+1=0，可得m=﹣；當(dāng)t≥1時(shí)，f（t）=3t，若2m+1≥1，且m＜1，解得0≤m＜1；若3m≥1，且m≥1，解得m≥1，可得m≥0．綜上可得，m的范圍是［0，+∞）∪｛﹣｝．故選C．7．某公司將5名員工分配至3個(gè)不同的部門,每個(gè)部門至少分配一名員工，其中甲、乙兩名員工必須分配在同一個(gè)部門的不同分配方法數(shù)為（）A．24 B．30 C．36 D．42【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】把甲、乙兩名員工看做一個(gè)整體，再把這3部分人分到3個(gè)不同的部門,根據(jù)據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解:把甲、乙兩名員工看做一個(gè)整體，5個(gè)人變成了4個(gè)，再把這4個(gè)人分成3部分，每部分至少一人，共有C42=6種方法，再把這3部分人分到3個(gè)不同的部門，有A33=6種方法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同分法的種數(shù)為6×6=36，故選：C．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入A的值為2.5,則輸出的P值為（)A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知:該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量P的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當(dāng)S=1時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，P=2,S=，當(dāng)S=時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后,P=3，S=，當(dāng)S=時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，P=4，S=，當(dāng)S=時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，P=5,S=，當(dāng)S=時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，P=6，S=，當(dāng)S=時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,執(zhí)行循環(huán)體后,P=7,S=，當(dāng)S=時(shí)，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的P值為7，故選:B9．設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組，若x、y為整數(shù),則3x+4y的最小值是(）A．14 B．16 C．17 D．19【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域,然后分析平面區(qū)域里各個(gè)整點(diǎn)，然后將其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值．【解答】解:依題意作出可行性區(qū)域如圖，目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y在點(diǎn)（4，1）處取到最小值z(mì)=16．故選B．10．已知三角形△ABC的三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．15 B．18 C．21 D．24【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】根據(jù)三角形ABC三邊構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,設(shè)出三邊為a,a+2，a+4，根據(jù)最大角的正弦值求出余弦值,利用余弦定理求出a的值，即可確定出三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)題意設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a，a+2，a+4，且a+4所對(duì)的角為最大角α，∵sinα=，∴cosα=或﹣,當(dāng)cosα=時(shí)，α=60°，不合題意,舍去；當(dāng)cosα=﹣時(shí)，α=120°，由余弦定理得:cosα=cos120°==﹣，解得：a=3或a=﹣2（不合題意，舍去），則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15．故選：A．11．以O(shè)為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】K4:橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】延長(zhǎng)MO與橢圓交于N，由已知條件能推導(dǎo)出四邊形MF1NF2是平行四邊形，再由平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，結(jié)合橢圓的性質(zhì)求出橢圓的離心率．【解答】解:延長(zhǎng)MO與橢圓交于N，∵M(jìn)N與F1F2互相平分，∴四邊形MF1NF2是平行四邊形，∵平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，∴MN2+F1F22=MF12+MF22+NF12+NF22，∵M(jìn)F1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a，NF1=MF2=a，NF2=MF1=a，F(xiàn)1F2=2c,∴（a）2+（2c）2=（a)2+（a）2+(a）2+（a)2,∴=,∴e==．故選：C．12．設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的方程f(x)=a有四個(gè)不同的解x1，x2,x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則x3（x1+x2)+的取值范圍是（）A．（﹣3,+∞) B．(﹣∞,3) C．［﹣3，3） D．(﹣3，3］【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷;5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】作函數(shù)的圖象，從而可得x1+x2=﹣4,x3x4=1，≤x3＜1，從而解得．【解答】解：作函數(shù)的圖象如下，，結(jié)合圖象，A，B，C，D的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，x3，x4，故x1+x2=﹣4，x3x4=1，故=﹣4x3，∵0＜﹣log2x3≤2，∴≤x3＜1，∴﹣3＜﹣4x3≤3，故選：D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分.將答案填在答題紙上13．表面積為60π的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S﹣ABC體積的最大值為27．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】棱錐S﹣ABC的底面積為定值，欲使棱錐S﹣ABC體積體積最大,應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值，由此能求出棱錐S﹣ABC體積的最大值．【解答】解：∵表面積為60π的球,∴球的半徑為,設(shè)△ABC的中心為D，則OD=,所以DA=,則AB=6棱錐S﹣ABC的底面積S=為定值，欲使其體積最大,應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值,又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直線AB上，而SO=，點(diǎn)D到直線AB的距離為，則S到平面ABC的距離的最大值為，∴V=．故答案為:27．14．若直線x+ay﹣1=0與2x﹣4y+3=0垂直，則二項(xiàng)式（ax2﹣)5的展開式中x的系數(shù)為﹣．【考點(diǎn)】DC：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】由條件利用兩條直線垂直的性質(zhì)求得a的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中x的系數(shù)．【解答】解：由直線x+ay﹣1=0與2x﹣4y+3=0垂直，可得﹣?=﹣1,求得a=，則二項(xiàng)式（ax2﹣）5=（x2﹣）5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=??（﹣1）r?x10﹣3r，令10﹣3r=1,求得r=3，可得展開式中x的系數(shù)為??（﹣1）=﹣，故答案為：．15．設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x﹣y+2z=0,則的最小值是8．【考點(diǎn)】7F:基本不等式．【分析】先將等式化為y=x+2z,再利用基本不等式求最值．【解答】解：由題意得，y=x+2z,∵x，y，z為正實(shí)數(shù)，∴y=x+2z≥,∴y2≥8xz，∴的最小值是8，故答案為8．16．若數(shù)列{an｝是正項(xiàng)數(shù)列,且++…+=n2+3n(n∈N＊），則++…+=2n2+6n．【考點(diǎn)】8E:數(shù)列的求和．【分析】根據(jù)題意先可求的a1，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)中的數(shù)列遞推式求得++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1)與已知式相減即可求得數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，可知是等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得答案．【解答】解：令n=1，得=4，∴a1=16．當(dāng)n≥2時(shí),++…+=（n﹣1)2+3（n﹣1）．與已知式相減，得=(n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3(n﹣1）=2n+2，∴an=4（n+1）2，n=1時(shí)，a1適合an．∴an=4(n+1)2，∴=4n+4，∴++…+==2n2+6n．故答案為2n2+6n三、解答題（本大題共5小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17．已知函數(shù)．(Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，,求△ABC的面積．【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為sin(2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=,再利用正弦定理求得b的值，由三角形內(nèi)角和公式求得C的值，再由S=ab?sinC，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin(2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得kπ﹣≤x≤kπ+，函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣,kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因?yàn)锳為△ABC內(nèi)角，由題意知0＜A＜π,所以＜2A+＜，因此,2A+=,解得A=．由正弦定理，得b=，…由A=，由B=,可得sinC=，…∴S=ab?sinC==．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=，AA1=2，D為AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,CO⊥側(cè)面ABB1A1．（1）證明:CD⊥AB1;（2）若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．【考點(diǎn)】MI:直線與平面所成的角；LO:空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）推導(dǎo)出∠ABD=∠AB1B,從而∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=，進(jìn)而AB1⊥BD．由線面垂直得AB1⊥CO．從而AB1⊥平面CBD．由此能證明BC⊥AB1．（2)以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x軸,y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．【解答】證明：（1）由題意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD==,在Rt△ABB1中，tan∠AB1B==．又因?yàn)?＜∠ABD，∠AB1B，所以∠ABD=∠AB1B,所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=，所以AB1⊥BD．又CO⊥側(cè)面ABB1A1，且AB1?側(cè)面ABB1A1，∴AB1⊥CO．又BD與CO交于點(diǎn)O，所以AB1⊥平面CBD．又因?yàn)锽C?平面CBD，所以BC⊥AB1．解：（2）如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x軸，y軸，z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A（0，﹣，0）,B(﹣，0，0）,C(0，0，），B1（0,，0），D（，0,0）．又因?yàn)?2，所以C1（，，）．所以=（﹣，,0），=（0,，），=（，，)．設(shè)平面ABC的法向量為=（x，y,z），則由,得令y=,則z=﹣，x=1，=（1，,﹣)是平面ABC的一個(gè)法向量．設(shè)直線C1D與平面ABC所成的角為α，則sinα==．故直線C1D與平面ABC所成角的正弦值為．19．對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率［10，15）100.25[15，20）25n[20,25)mp［25，30）20.05合計(jì)M1(1）求出表中M、p及圖中a的值；（2）試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)；(3）在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間［20,25）內(nèi)的概率．【考點(diǎn)】CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；B8:頻率分布直方圖．【分析】（1)由頻率=，能求出表中M、p及圖中a的值．（2)由頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖能求出參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)．(3）在樣本中，處于［20，25）內(nèi)的人數(shù)為3,可分別記為A,B,C，處于[25，30］內(nèi)的人數(shù)為2，可分別記為a,b，由此利用列舉法能求出至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率．【解答】解：（1）由題可知=0。25，=n，=p，=0。05．又10+25+m+2=M,解得M=40，n=0。625，m=3，p=0。075．則[15，20)組的頻率與組距之比a為0。125．（2)參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)為:次（3）在樣本中，處于［20，25）內(nèi)的人數(shù)為3，可分別記為A，B，C，處于[25，30］內(nèi)的人數(shù)為2，可分別記為a，b．從該5名學(xué)生中取出2人的取法有：（A,a），(A，b）,（B,a）,(B，b），（C,a),（C,b），（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），共10種，至少1人在［20，25）內(nèi)的情況有共9種，∴至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率為．20．已知橢圓M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為，且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（,0）．（1)求橢圓M的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓M相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中點(diǎn)P在橢圓M上，O為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值．【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，可得，解得即可得出．（2）當(dāng)直線l的向量存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立化為（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0,由△＞0，化為2+4k2﹣m2＞0，設(shè)A(x1，y1），B（x2，y2），P（x0,y0）．可得x0=x1+x2，y0=y1+y2．代入橢圓方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)O到直線l的距離d==即可得出．當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)時(shí)，由對(duì)稱性可知：點(diǎn)O到直線l的距離為1．即可得出．【解答】解:（1)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:，∴，解得a=2，b2=2，∴橢圓M的方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，聯(lián)立，化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4(1+2k2）(2m2﹣4)＞0，化為2+4k2﹣m2＞0，設(shè)A（x1,y1），B(x2，y2），P(x0，y0）．∴x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．∵點(diǎn)P在橢圓M上,∴，∴+=1,化為2m2=1+2k2，滿足△＞0．又點(diǎn)O到直線l的距離d====．當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)．當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)時(shí)，由對(duì)稱性可知：點(diǎn)P一定在x軸上，從而點(diǎn)P的坐標(biāo)為（±2,0），直線l的方程為x=±1，∴點(diǎn)O到直線l的距離為1．∴點(diǎn)O到直線l的距離的最小值為．21．已知f（x）=ax2﹣(b+1）xlnx﹣b，曲線y=f（x)在點(diǎn)P（e，f（e））處的切線方程為2x+y=0．（1）求f（x)的解析式;（2）研究函數(shù)f（x)在區(qū)間（0，e4］內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（e)，f（e），根據(jù)系數(shù)相等,得到關(guān)于a，b的方程組，解出a，b的值即可；(2）令f(x）=0，問(wèn)題等價(jià)于x﹣（e+1）lnx﹣=0，x∈（0,e4]．設(shè)g（x）=x﹣（e+1）lnx﹣，x∈（0，e4],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解:（1）∵f(x）=ax2﹣（b+1)xlnx﹣b，∴f′(x)=2ax﹣（b+1）(1+lnx）,f′（e)=2ea﹣2（b+1），f（e）=ae2﹣e（b+1）﹣b，故切線方程是：y=2（ea﹣b﹣1）x﹣ae2+eb+e﹣b，而切線方程為2x+y=0，∴,解得：a=1，b=e，∴f(x)=x2﹣（e+1）xlnx﹣e；（2）x2﹣（e+1)xlnx﹣e=0?x﹣（e+1）lnx﹣=0，x∈（0,e4]．設(shè)g（x）