正方形 【知識精講+能力提升】 華東師大版數(shù)學(xué)八年級下冊+

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正方形華師大版數(shù)學(xué)八年級下冊第十九章

矩形，菱形，正方形

復(fù)習(xí)舊知1.敘述平行四邊形、矩形、菱形的定義和它們的特殊性質(zhì).2.說一說平行四邊形、矩形、菱形的內(nèi)在聯(lián)系.情景導(dǎo)入觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.思考你能從這個變化過程中給正方形下定義嗎?有一個角是直角的菱形叫做正方形。有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。有一個角是直角一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。是直角有一個角邊相等有一組鄰邊相等有一組鄰是直角有一個角探究新知由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角為直角的菱形.如圖.想一想正方形是菱形嗎？正方形具有哪些性質(zhì)?正方形是特殊的菱形，它具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。邊：對邊平行，四邊都相等。角：四個角都是直角對角線：對角線相等且互相垂直平分ABCDO思考正方形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸.即兩條對角線，兩組對邊的中垂線.對稱：正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.歸納總結(jié)矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：性質(zhì)：1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.典例精析ACDBO例1、如圖，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度數(shù).

ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.變式訓(xùn)練探究新知從圖中可看出，⑴在正方形中產(chǎn)生了哪些特殊圖形？⑵產(chǎn)生了哪些特殊角？DOABC4504504504504504504504504個全等的小等腰直角三角形和4個全等的大等腰直角三角形.900和450正方形圖形“廬山真面目”思考怎樣判定一個矩形是正方形？怎樣判定一個菱形是正方形？怎樣判定一個平行四邊形是正方形？

探究新知

1.定義法：2.矩形法：4.對角線法：一鄰邊相等一個直角++平行四邊形=正方形3.菱形法：一鄰邊相等+矩形=正方形一個直角+菱形=正方形互相平分+互相垂直相等+=正方形①

對角線相等的菱形是正方形()

②

對角線互相垂直的矩形是正方形()③

對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形()④四條邊都相等的四邊形是正方形()⑤

四個角都相等的四邊形是正方形()⑥

四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形.()判斷對錯√√×××√對應(yīng)訓(xùn)練典例精析例、在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?

∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.典例精析如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB

，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形EDFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴矩形EDFC是正方形.變式訓(xùn)練課堂練習(xí)1、下列判斷中正確的是()A．四邊相等的四邊形是正方形

B．四角相等的四邊形是正方形

C．對角線垂直的平行四邊形是正方形

D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形2、正方形具有而矩形不一定有的性質(zhì)是()A．四個角是直角B．對角線互相垂直C．對角線互相平分D．對角線相等3、矩形,菱形,正方形都具有的性質(zhì)是()A．鄰邊相等B．

鄰角相等

C．對邊相等D．

對角互補(bǔ)DBC4、在正方形ABCD中，∠ADB=

，∠DAC=

，∠BOC=

.5、在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.45°90°22.5°45°6、如圖，分別延長等腰直角三角形OAB的兩條直角邊AO和BO，使AO=OC，BO=OD．求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵AO=OC，BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形

∵等腰三角形OAB中，AO⊥BO，AO=BO，

∴AO=BO=CO=DO

，AC⊥BD即AC=BD．

∴四邊形ABCD是正方形．7、如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點，F(xiàn)為BC邊延長線上一點，且CE=CF．BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由．解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC,∠BCE=90°，∴∠DCF=180°-∠BCE=90°，∴∠BCE=∠DCF．又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF．∴BE=DF．中考鏈接【浙江】如圖，等邊△AEF的頂點E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上，且∠CEF=45°．求證：矩形ABCD是正方形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=∠C=90°，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，

∵∠CEF=45°，

∴∠CFE=∠CEF=45°，

∴∠AFD=∠AEB=180°?45°?60°=75°，