數(shù)字電路及數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計1

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)字電路及數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(1第一章規(guī)律代數(shù)基礎(chǔ)

規(guī)律代數(shù)亦稱布爾代數(shù)，由英國數(shù)學(xué)家GeorgeBoole于1849年創(chuàng)立。布爾代數(shù)是建立在二元（抽象為1和0）規(guī)律基礎(chǔ)上具有與、或、非三種基本運算的規(guī)律代數(shù)體系。這種代數(shù)不僅廣泛用于集合論、概率論和數(shù)理統(tǒng)計等領(lǐng)域，而且是數(shù)字電路分析與設(shè)計中最重要的數(shù)學(xué)工具。

1.1概述

1.1.1模擬信號與數(shù)字信號

現(xiàn)代電子技術(shù)主要涉及兩種電信號：一種叫做模擬信號（AnalogSignal），如圖1.1.1（a）所示，電壓隨時間連續(xù)變化；另一種叫做數(shù)字信號（DigitalSignal），如圖1.1.1（b）所示，電壓在時間上的變化是不連續(xù)的。電壓要么處于高電平狀態(tài)（H），要么處于低電平狀態(tài)（L），除此之外，不會處于其它狀態(tài)。所謂的狀態(tài)并不是某一個固定電壓值，而是一個允許的取值區(qū)間，如圖1.1.1（c）所示。

本書研究對象是數(shù)字電子信號，傳送這種信號的電子線路叫做數(shù)字規(guī)律電路，簡稱數(shù)字電路。數(shù)字信號有正負(fù)規(guī)律之分，若將高電平狀態(tài)定義為1，低電平狀態(tài)定義為0，這樣的數(shù)字信號稱為正規(guī)律信號；若反過來定義稱為負(fù)規(guī)律信號。值得注意的是，這里的1和0是兩種狀態(tài)的抽象表示，沒有大小之分。絕大多數(shù)數(shù)字電路采用正規(guī)律信號，以后不特別聲明，數(shù)字信號指的都是正規(guī)律信號。

說明：電子計算機內(nèi)部存儲、傳輸和處理的信號就是數(shù)字信號。例如某計算機的數(shù)據(jù)總線（DataBUS）由32根單線并列組成，每根單線的電平狀態(tài)1和0定義為二進制數(shù)的1和0，且各單線的權(quán)重依次為20，21，…，231，那么該數(shù)據(jù)總線能傳輸32位的二進制數(shù)。

1.1.2進制轉(zhuǎn)換與十進制數(shù)的編碼

一、十進制與二進制的互換

1、二進制數(shù)的定義及一些特別的數(shù)①二進制數(shù)的定義：(N)2=kn2n+kn-12n-1+……+k121+k020+k-12-1+……+k-m2-m，ki為0或1。

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②20，21，……，210，211，212，213；這些十進制數(shù)是1，2，……，1024，2048，4096，8192；③2n=(100……0)2，其中1后面有n個0；④2n-1=(11……1)2，其中有n個1；⑤2-n=(0.00……01)2，其中小數(shù)點之后有n-1個0；⑥1-2-n=(0.11……1)2，其中小數(shù)點之后有n個1。2、2的整冪加減拼湊法

對于接近2n的十進制數(shù)化為二進制數(shù)，采用2的整冪加減拼湊法進行口算簡明快捷。后面介紹的“除權(quán)取商法〞和“減權(quán)取1法〞也可結(jié)合使用之。例如：將十進制數(shù)135視為128(27)加7，則其結(jié)果為1后面有7個0的二進制數(shù)再加上(111)2，所以135=(10000111)2。將十進制數(shù)2034視為2047(211-1)減13，則其結(jié)果為有11個1的二進制數(shù)再減去(1101)2，所以2034=(11111110010)2。

3、除權(quán)取商法

用十六進制數(shù)第n位的權(quán)重16n去除十進制數(shù)，其商為十六進制數(shù)第n位上的數(shù)字；將其余數(shù)再用16n-1去除，所得商為十六進制數(shù)第n-1位上的數(shù)字；??；重復(fù)這樣的運算步驟，直到簡單看出某一步余數(shù)的二進制數(shù)為止。最終將每一次的商和最終一步的余數(shù)按權(quán)重拼成一個二進制數(shù)。

[例1.1.1]將十進制數(shù)87，969，2393分別化為二進制數(shù)。

解：①由于87除以16商5余7，所以87=(1010111)2。括號中插入一個空以便利讀者理解。②969÷162=3??201→(11)2???201，前者為商，后者為余數(shù)，以下同。201÷16=12??9→(1100)2??(1001)2∴969=(1111001001)2

③2393÷162=13??65→(1101)2??(1000001)2，余數(shù)65的二進制數(shù)用口算得到?！?393=(110101000001)2，注意二進制數(shù)(1000001)2前必需添一個0，使其達到8位，由于前段4位數(shù)字（1101）的權(quán)重為162（即28）。

4、減權(quán)取1法

對于較大的十進制數(shù)化為二進制數(shù)可采用“減權(quán)取1法〞。該方法是：用十進制數(shù)減去小于該數(shù)的最大的2i，將其差再減去小于此差數(shù)的最大的2j，??，重復(fù)這樣的運算步驟，直到簡單看出某一步差數(shù)的二進制數(shù)為止。最終將2i、2j、??，以及最終這一步差數(shù)的二進制數(shù)按權(quán)重拼成一個二進制數(shù)。

[例1.1.2]將十進制數(shù)2169，10508化為二進制數(shù)。

解：

10508－8192(213)21692316

－2048(211)－2048(211)

121(1111001)2這一步口算268(100001100)2這一步口算

∴2169=(100001111001)2∴10508=(10100100001100)2

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5、二進制數(shù)化為十進制數(shù)

從二進制整數(shù)的最低位起，將二進制數(shù)視為十六進制數(shù)，即每4位分為一段，然后按十六進制數(shù)的權(quán)重展開求和。

[例1.1.3]將二進制數(shù)(110001.10111)2化為十進制數(shù)。

解：(110001.10111)2=(11000110111)2/25=(6×162+3×16+7)/32=1591/32=49.71875

二、二進制的數(shù)學(xué)意義

將抽象的二進制數(shù)應(yīng)用于具體的實例之中，是對二進制的數(shù)學(xué)意義最生動的詮釋。1、兩個古典數(shù)學(xué)問題

①相傳古代印度國王舍汗要褒獎國際象棋發(fā)明者達依爾，問他需要什么。達依爾回復(fù)說：“國王只要在國際象棋棋盤（8×8格）的第一格上放1粒麥子，其次格上放2粒麥子，第三格上放4粒麥子，第四格上放8粒麥子，按此規(guī)律一直放滿棋盤的最終一格，我心足矣。〞??。

根據(jù)二進制數(shù)的定義，將棋盤上的麥子數(shù)用二進制數(shù)表示之應(yīng)為64個1，那么麥子總數(shù)就是264-1（＞1016）。這是一個驚人的天文數(shù)字，看來達依爾是在戲弄國王。

②“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。〞

根據(jù)二進制數(shù)的定義，將前n日所得用二進制數(shù)表示之，該數(shù)應(yīng)為小數(shù)點之后有n個1，其總和為1-2-n。所以2–1+2–2+?+2–n=(0.11?1)2<1總是成立的。

2、二進制與含權(quán)開關(guān)量

圖1.1.2（a）是由8個開關(guān)和8個電容器組成的電路，圖1.1.2（b）是由8個開關(guān)和8個電阻組成的電路。其中電容器的取值為Ci=2i×1μF（i=0，1，?，7），電阻的取值為Rj=2j×10Ω（j=0，1，?，7）。這是一種二進制含權(quán)電容或電阻電路，在圖1.1.2（a）中，用“1〞表示開關(guān)Ki處于ON狀態(tài)，用“0〞表示開關(guān)Ki處于OFF狀態(tài)；在圖1.1.2（b）中，用“1〞表示開關(guān)Kj處于OFF狀態(tài)，用“0〞表示開關(guān)Kj處于ON狀態(tài)。于是8個開關(guān)的每種組合狀態(tài)對應(yīng)于一個8位二進制數(shù)，所以電路取值為0～255之間的任一整數(shù)。

[例1.1.4]將電容CAB的值設(shè)置為168μF。將電阻RAB的值設(shè)置為2500Ω。

解：①由于168=(10101000)2，所以在圖1.1.2（a）所示的電路中，將開關(guān)K7、K5、K3閉合，其余5個開關(guān)斷開。

②由于250=(11111010)2，所以在圖1.1.2（b）所示的電路中，將開關(guān)K2、K0閉合，其余6個開關(guān)斷開。

1.1.3十進制數(shù)的編碼

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十進制數(shù)的每一位由0～9十個數(shù)字組成，在數(shù)字規(guī)律系統(tǒng)中，1位十進制數(shù)要用4位二進制數(shù)表示，即用二進制數(shù)對十進制數(shù)進行編碼，這樣的代碼簡稱BCD（BinaryCodedDecimal）碼。表1.1.1是幾種常用的BCD碼，其中8421BCD碼是最常用的一種十進制編碼。

4位二進制數(shù)共有24個代碼，除了對十進制數(shù)的編碼外還有6個偽碼，不同的BCD碼伴有不同的偽碼。在計算機中十進制數(shù)的運算是以BCD碼進行的，一旦結(jié)果產(chǎn)生偽碼就要對其進行修正處理。例如，當(dāng)用8421BCD碼表示的兩個十進制數(shù)進行相加，若某位的和出現(xiàn)偽碼（即大于9）或者該位向高位產(chǎn)生了進位，則該位的和還要加6進行修正；當(dāng)用8421BCD碼表示的兩個十進制數(shù)進行相減，若某位向高位產(chǎn)生了借位，則該位的差還要減6進行修正。

表1.1.1常用BCD碼

十進制數(shù)0123456789編碼規(guī)矩8421碼0000000100100011010001010110011110001001權(quán)84212421碼0000000100100011010010111100110111101111權(quán)2421余3碼00110100010101100111100010011010101111008421碼+(11)2

1.2規(guī)律代數(shù)中的基本運算及基本公式

1.2.1規(guī)律函數(shù)

圖1.2.1是某數(shù)字規(guī)律電路，輸入信號A1，A2，?，An叫做規(guī)律變量，輸出信號Y叫做規(guī)律函數(shù)，它們的取值為規(guī)律值1或0。顯然輸出信號的變化是受輸入信號的影響，或者說輸出信號是關(guān)于輸入信號的函數(shù)，即存在規(guī)律函數(shù)式：

Y=f(A1，A2，?，An)1.2.1

規(guī)律函數(shù)的另一種表示是規(guī)律真值表，真值表的一行稱為一個狀態(tài)行，該行的內(nèi)容是若干個變量的一組規(guī)律值和由此決定的函數(shù)值，n個變量的規(guī)律真值表共有2n個狀態(tài)行。規(guī)律函數(shù)式和規(guī)律真值表可以相互轉(zhuǎn)換。

1.2.2基本運算及基本公式

在規(guī)律代數(shù)中，與、或、非是三種最基本的規(guī)律運算，其它規(guī)律運算是這三種基本運算的復(fù)

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合。表1.2.1是規(guī)律代數(shù)中的常見運算，其中列出了每種運算所對應(yīng)的電路符號。表1.2.2是規(guī)律代數(shù)的基本公式，表1.2.3是規(guī)律代數(shù)的常用公式。

一、與運算

與運算又稱規(guī)律乘。由表1.2.2的第1、2行左邊可知“信號0封鎖與門，信號1開放與門〞。何謂門？門者開關(guān)