不完全歸納法

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不完全歸納法是從一個幾個(但不是全部)特別狀況作出一般性結(jié)論的歸納推理。這種歸納是以有限數(shù)量的事實作為基礎(chǔ)而得出的一般性結(jié)論，它是一種重要的常見數(shù)學(xué)解題方法。

不完全歸納是從部分對象具有某一性質(zhì)f而概括為全體對象都具有性質(zhì)f的推理方法，其一般推理形式是：

設(shè)A中共有m個對象（m為正整數(shù)），那么：由于A1具有性質(zhì)f，A2具有性質(zhì)f，……，An具有性質(zhì)f，（n為正整數(shù),且n<m），所以A中所有m個對象都具有性質(zhì)f

n個四邊形將平面分成的部分?jǐn)?shù)可總結(jié)出規(guī)律：部分?jǐn)?shù)A=2+n×(n-1)×4圓可當(dāng)封閉的1邊形，那么n個圓分的部分?jǐn)?shù)可仿寫為：部分?jǐn)?shù)A=2+n×(n-1)×1同理n個三角形分平面的部分?jǐn)?shù)公式為：部分?jǐn)?shù)A=2+n×(n-1)×3同理n個五邊形分平面的部分?jǐn)?shù)公式為：部分?jǐn)?shù)A=2+n×(n-1)×5

例：1、假如將不相交的兩條棱稱為一對，那么十棱柱共有多少對不相交的棱？

答：每個棱柱中每條棱都與4條棱相交，與其余的棱不相交。十棱柱共有30條棱，所以不相交的棱有30×（30-5）（條），由于不相交的棱是成對出現(xiàn)的，各計算一遍就重復(fù)了一遍，所以不相交的棱共有30×（30-5）÷2=375（對）

枚舉法

我們可以依照一定的順序，一一列舉問題的可能狀況或抓住對象的特征，選擇恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限種情形，再通過一一列舉或計數(shù)，最終達(dá)到解決目的，這種方法就是枚舉法。

用畫枚舉樹的方法，必需正確理解圖示順序的實際過程。碰見狀況對比繁雜而要用枚舉法解決問題時，往往要分類探討，使在同一類內(nèi)，用枚舉法易于解決問題。正確分類要注意兩點：第一，分類的標(biāo)準(zhǔn)（依據(jù)）要明確。其次，分類對所有可能狀況來說，既不重復(fù)又不遺漏，即每一種狀況只在某一類內(nèi)出現(xiàn)，各類狀況的總和，就是總是的所有狀況。

畫圖枚舉是一種十分有效的方法，但是在畫圖時應(yīng)做到有序，這樣才能做到不重復(fù)又不遺漏。

分類可按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，假如研究的對象對比繁雜，最初也可適當(dāng)控制分類的種數(shù)，待逐類研究時，如有必要，再作其次級分類。

解題前我們可以先初步估計其數(shù)目的大小。當(dāng)可能的結(jié)果較少時，可以直接枚舉，即將所有結(jié)果一一列舉出來；當(dāng)可能的結(jié)果較多時，就需要分類枚舉。分類枚舉的關(guān)鍵是正確分類，要做到“正確〞，應(yīng)考慮兩條：（1）分類要全。分類不全，就會造成遺漏。（2）分類要清。假如不清，第1類中有第2類，相