黎卡提方程的初等解法

論文第9頁(yè)共10頁(yè)黎卡提方程的初等解法摘要：常微分方程有著深刻而生動(dòng)的實(shí)際背景，它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，例如化學(xué)，生物學(xué)，電子技術(shù)等等都提出大量的微分方程問(wèn)題，那么就需要探討微分方程的求解問(wèn)題，本文介紹了著名的黎卡提方程的，給出了黎卡提方程可用初等積分法求解的一些充分條件，使得黎卡提方程在滿足一定條件下可以用初等解法求解，并給出一些特殊類型黎卡提方程的通解表示，最后舉例對(duì)一些具體的黎卡提方程進(jìn)行求解，及微分方程的應(yīng)用舉例。

關(guān)鍵詞：黎卡提方程，變量方程，伯努利方程，線性方程引言常微分方程是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，也是偏微分方程，變分法，控制論等數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。微分方程的理論和方法從17世紀(jì)末開(kāi)始發(fā)展起來(lái)，很快成了研究自然現(xiàn)象的強(qiáng)有力的工具。在17~18世紀(jì)，在力學(xué)，天文，物理和技術(shù)科學(xué)中，就已借助微分方程取得了巨大成就。微分方程的首要問(wèn)題是如何給定一個(gè)方程的通解或特解。到目前為止，人們已經(jīng)對(duì)許多微分方程得出了求解的一般方法。例如一階微分方程中的變量分離方程、線性方程等等。求一個(gè)方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解問(wèn)題化為積分問(wèn)題,但這是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程為數(shù)很少,絕大部分的微分方程都無(wú)法求出通解,黎卡提方程便是其中的一個(gè)。意大利數(shù)學(xué)家黎卡提于1724年給出了它的特殊形式，后來(lái)引起許多學(xué)者的研究。達(dá)朗貝爾在1763年給出了它的一般形式，并首先稱之為“黎卡提方程”；黎卡提方程不同于線性微分方程之處是還多含一項(xiàng)，但這就大大地改變了解的性質(zhì)，即初等可積性喪失了，但在特殊情況下仍舊可以利用初等積分法進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[2]和[3]匯集了很多可積方程和可積性成果；60年代以來(lái)，《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上又連續(xù)發(fā)表了多篇關(guān)于這方面的論文；近年來(lái)《數(shù)學(xué)通報(bào)》也發(fā)表了多篇關(guān)于這一內(nèi)容的文章，如[2][4]及[5]。上述工作在一定程度上推動(dòng)了探索黎卡提方程解法的發(fā)展。但要徹底解決黎卡提方程的求解問(wèn)題，仍需要進(jìn)一步探討和研究。我們知道，黎卡提方程一般情況下不能用初等積分法求解，但在一些特殊情況下卻有初等解法，那么，在哪些情況下有呢？本文將首先給出黎卡提方程可用初等積分法求解的一些充分條件，使得黎卡提方程在滿足一定條件下可以用初等解法求解，并舉例對(duì)一些具體的黎卡提方程進(jìn)行求解，最后舉出它的應(yīng)用舉例。1.預(yù)備知識(shí)考慮(1.1)其中函數(shù)和是連續(xù)函數(shù)，而且不恒為零。方程(1.1)通常叫作黎卡提方程，這是形式上最簡(jiǎn)單的非線性方程。為了方便說(shuō)明，我們首先給出幾個(gè)有初等解法的微分方程類型及其求解的一般方法，并給出其通解表示。1.1類型1變量分離方程形如（1.2）的方程稱為變量分離方程，其中,分別為的連續(xù)函數(shù)。其求解方法為：對(duì)于變量分離方程當(dāng)，分離變量得兩邊再同時(shí)積分得（其中C為任意常數(shù)）特別地，當(dāng)時(shí)，方程的通解為（1.3）注意：在變量分離的過(guò)程的過(guò)程中，必須保證，但如果有根為，則不難驗(yàn)證也是微分方程的解，有時(shí)無(wú)論怎樣擴(kuò)充通解的表達(dá)式中的任意常數(shù)，此解不包含在其中，解題時(shí)要另外補(bǔ)充上，不能遺漏。例題解方程并求滿足初始條件：當(dāng)x=0時(shí)，y=1的特解。解將變量分離，得到兩邊積分得因而，通解為（c為任意常數(shù)）此外，方程還有解y=0.為了確定所求的特解，以x=0，y=1代入通解中決定任意常數(shù)c，得到c=-1因而，所求解為1.2類型2一階線性方程一階線性方程形如（1.4）其中函數(shù)P（x）和q（x）在區(qū)間I上連續(xù)。當(dāng)時(shí)，方程（1.4）成為（1.5）方程（1.4）()叫作非齊次線性方程，而(1.5)叫作與(1.4)相應(yīng)的齊次線性方程。關(guān)于齊次線性方程（1.5）的解，即為（1.3），由于（1.5）是方程（1.4）的特殊情形，因此可以設(shè)想方程（1.4）的通解應(yīng)當(dāng)是（1.3）的某種考慮到的推廣；而這種推廣（1.3）的一個(gè)比較簡(jiǎn)單的辦法就是把任意常數(shù)變易為的待定函數(shù)，使得它滿足方程（1.4），亦即求方程（1.4）如下形式的解(1.6)顯然這也可以看成是對(duì)（1.4）進(jìn)行未知函數(shù)的變量替換，即將求未知函數(shù)y(x)換成求未知函數(shù)C(x)。將（1.6）代入方程（1.4）得亦即兩邊對(duì)x積分推得(1.7)其中為任意常數(shù)。將（1.7）代入（1.3）即得方程(1.4)的通解例題求解方程解由通解公式得或有時(shí)方程關(guān)于y,不是線性的，但如果視x為y的函數(shù)；方程關(guān)于x，是線性的，于是仍可以根據(jù)上面的方法求解之。1.3類型3伯努利方程形如的方程稱為伯努利方程，其中為常數(shù)，而且和，是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的已知函數(shù)，對(duì)于這類方程，只要借助變量代換就可以化為線性方程。即伯努利方程可轉(zhuǎn)化為兩邊同時(shí)乘以得然后令，就有于是伯努利方程就轉(zhuǎn)化為這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性方程，它的通解可由常數(shù)變易法求得，最后代回原變量，就得到伯努利方程的解，顯然也伯努利方程的解。例題求解方程解做變換，則方程可化為這是n=2的伯努利方程，令在，代入上式，化簡(jiǎn)得線性齊次方程的通解為設(shè)，代入線性非齊次方程，得因此，線性非齊次方程的通解為代入原變量，得原方程通解即結(jié)構(gòu)示意圖黎卡提方程變量分離方程一階線性方程伯努利方程2.黎卡提方程可積的充分條件在這一部分中，將給出黎卡提方程可積的一些充分條件，使得黎卡提方程在滿足一定條件下可以用初等解法求解。定理2.1[3]如果已知方程(1.1)的一個(gè)特解，則方程(1.1)可用初等積分法求得通解。證設(shè)方程(1.1)的一個(gè)特解為，對(duì)方程(1.1)作變換，代入方程(1.1)得到(2.1)由于是方程(1.1)的解，則在(2.1)中消去與之相關(guān)的項(xiàng)以后，可得這是一個(gè)伯努利方程，由前面的討論知此方程可以用積分法求出其通解。定理2.2當(dāng)都是常數(shù)時(shí)，方程有初等解法（顯然方程可化為變量分離方程，于是有初等解法）。定理2.3當(dāng)時(shí)，方程有初等解法。（此時(shí)方程為伯努利方程，于是有初等解法）定理2.4若，方程有初等解法。證由已知條件，黎卡提方程(1.1)可化為，則令，則于是有即為伯努利方程，于是可積。定理2.5設(shè)黎卡提方程形如(2.2)其中都是常數(shù)，且設(shè)，又設(shè)和，則當(dāng)時(shí)方程可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q化為變量分離的方程，即此方程能用初等積分法求解。證不妨設(shè)（否則作自變量變換即可），因此代入方程(2.2)，考慮方程(2.3)當(dāng)時(shí)，(2.3)是一個(gè)變量分離的方程，當(dāng)時(shí)，作變換，其中是新的未知函數(shù)，然后代入(2.3)得到這也是一個(gè)變量分離的方程;當(dāng)時(shí)，作變換其中和分別為新的自變量和未知函數(shù)，則(2.3)變?yōu)?2.4)其中，再作變換其中和分別為新的自變量和未知函數(shù)，則(2.4)變?yōu)?2.5)其中方程（2.5）與(2.3)在形式上一樣，只是右端自變量的指數(shù)從變?yōu)閘，比較m與l對(duì)k的依賴關(guān)系不難看出，只要將上述變換的過(guò)程重復(fù)k次，就能把方程(2.3)化為的情形；當(dāng)時(shí)，(2.2)就是(2.4)的類型，因此可以把它化為微分方程(2.5)的形式，從而化歸到m=0的情形。定理2.6若黎卡提方程形如，則方程可積。證令z=xy，則，代入原方程得整理得即易見(jiàn)此方程可用變量分離法求解，然后根據(jù)求解。3.一些具體的黎卡提方程的求解例1求解方程解將方程改寫(xiě)為這是黎卡提方程，觀察出是它的一個(gè)解，于是作變換代入方程，得這是一個(gè)伯努利方程，它有解當(dāng)時(shí)，再作變換代入方程即得解線性方程，得整理得代回原變量，得原方程得解為例2解方程解易知滿足定理1.4的條件，于是方程可化為令則為伯努利方程，再令則即于是可得通解為例3求解微分方程解這是黎卡提方程，由觀察法不難看出y=1是方程的一個(gè)特解，則可用定理1.1的方法令y=1+u是方程的一個(gè)特解，代入方程得此方程是伯努利方程，令則代入方程可得所以從而原方程通解為例4求解方程解這是利卡提方程，觀察出是它的一個(gè)解，于是坐變換代入原方程，得到這是一個(gè)伯努利方程，在做變換代入上述方程，即得解線性方程，得到整理得代回原變量，得原方程解為4.應(yīng)用實(shí)例在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用例：一質(zhì)量為m的物體，在在粘性液體中由靜止自由下落，假設(shè)液體阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，試求物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。解：（一）模型建立：取物體下落的那條鉛直線為ox軸，且設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，v==0.由于物體下落時(shí)，受到重力與阻力的作用，已知重力大小為mg，方向與運(yùn)動(dòng)方向一致，為正；阻力大小為kv（k為比例常數(shù)），方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，為負(fù)。故運(yùn)動(dòng)所受凈力為F=mg-kv根據(jù)牛頓第二定律，列出微分方程及初始條件是模型求解將上述方程變量分離，得積分得即解出v，得這就是落體運(yùn)動(dòng)速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。由此看出，當(dāng)t時(shí)，，這個(gè)速度稱為落體運(yùn)動(dòng)的極限速度。這表明，在經(jīng)過(guò)適當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，落體運(yùn)動(dòng)接近于等速運(yùn)動(dòng)。又因?yàn)?，得注意到，?dāng)=0時(shí)，x=0，故積分得既這就是落體運(yùn)動(dòng)中，位移x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。5.結(jié)論雖然黎卡提方程在大多數(shù)情況下不能初等積分法求解，但在比如本文給出的一些充分條件下，黎卡提方程可以用初等解法求解。參考文獻(xiàn)[1]陳向華白曉東.常微分方程.內(nèi)蒙古大學(xué)出版社.2002[2]E．卡姆克．常微分方程手冊(cè).北京：科學(xué)出版社，1980．[3]GMMurphy．OrdinaryDifferentialEquationsandTheirSolutions．Ne