專題25 數(shù)列通項(xiàng)公式二十三大題型匯總（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

重難點(diǎn)專題25數(shù)列通項(xiàng)公式二十三大題型匯總題型1公式法 1題型2累加法 2題型3累乘法 4題型4已知前n項(xiàng)和Sn消Sn型 5題型5已知前n項(xiàng)和Sn消an型 7題型6待定系數(shù)法 8題型7與概率結(jié)合問題 10題型8倒數(shù)法 11題型9同除型 12題型10因式分解型 14題型11新數(shù)列前n項(xiàng)和型 14題型12取對數(shù)型 16題型13三階遞推型 17題型14前n項(xiàng)積求通項(xiàng) 18題型15函數(shù)遞推型 19題型16周期數(shù)列型 21題型17奇偶討論型 21題型18不動點(diǎn)法 23題型19重新組合新數(shù)列型 23題型20重新排序型 24題型21整除相關(guān) 25題型22斐波那契數(shù)列 26題型23數(shù)學(xué)文化相關(guān) 28題型1公式法公式法：根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a【例題1】（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且SnA．223-83 B．213【變式1-1】1.（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為an，則使得aA．3 B．4 C．5 D．6【變式1-1】2.（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列an滿足a1=1，且an+1=an+2，數(shù)列A．133 B．5 C．42【變式1-1】3.（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，?n∈N*，aA．a(chǎn)2022<C．a(chǎn)2022+【變式1-1】4..（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn+1-2Sn【變式1-1】5.（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且SnA．54 B．93 C．153 D．162【變式1-1】7.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若an-2n是等比數(shù)列，且a1=5，A．399-2 B．399-1題型2累加法累加法：當(dāng)數(shù)列an中有a【例題2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a2=2，a2n=A．31012-5C．31011-5【變式2-1】1.（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列an中，a1=1，an+1-1nA．-4 B．-1 C．0 D．2【變式2-1】2.（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義數(shù)列an+1-an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a1=2,anA．22022-1 B．22022 C．【變式2-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為an，則數(shù)列2n+1A．21-1C．41-1【變式2-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：an=1,n=1,2aA．8 B．9 C．10 D．11【變式2-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（

）（注：12A．1624 B．1198 C．1024 D．1560【變式2-1】6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，有一列曲線P0，P1，P2，…已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+1是對Pk進(jìn)行如下操作得到：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0，1，2，…）。記S題型3累乘法累乘法：當(dāng)數(shù)列an中有a【例題3】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足an+1+anA．2023 B．2024 C．4045 D．4047【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列an本身不是等差數(shù)列，但從an數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列bn（則稱數(shù)列an為一階等差數(shù)列），或者bn仍舊不是等差數(shù)列，但從bn數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列cnA．25 B．2 C．221【變式3-1】2.（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4，且an+1A．210+1 B．223【變式3-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，nanA．-3 B．-54 C．-33 D．【變式3-1】4.（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在數(shù)列an中，an+2an+1-an+1an=dn∈A．1763 B．1935 C．2125 D．2303題型4已知前n項(xiàng)和Sn消Sn型Sn與an的關(guān)系式法：由Sn與an的關(guān)系式，類比出Sn-1【例題4】（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1A．a(chǎn)n為等差數(shù)列 B．a(chǎn)C．Sn為等差數(shù)列 D．S【變式4-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1A．32023-1 B．32023+1【變式4-1】2.（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足A．0<an+1C．n<i=1n【變式4-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S①若a1=-1，則②數(shù)列{a關(guān)于以上兩個結(jié)論，正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【變式4-1】4.（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，A．3202 B．321-20【變式4-1】5.（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn+1=2an+12A．82 B．16 C．16【變式4-1】6.（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2aA．bn≥b1 B．b【變式4-1】7.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=43，an+1-3Sn=A．42024-20279 B．42024題型5已知前n項(xiàng)和Sn消an型Sn與an的關(guān)系式法：由Sn與an的關(guān)系式，類比出Sn-1【例題5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且A．Sn2是等差數(shù)列C．a(chǎn)n+1>【變式5-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且A．a(chǎn)n=-1C．?dāng)?shù)列1Sn為等差數(shù)列 D．【變式5-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1A．1Sn是等差數(shù)列C．a(chǎn)n=-1【變式5-1】3.（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且n2-1+1SnA．46 B．49 C．52 D．55【變式5-1】4.（2022秋·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？计谀┮阎猄n為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=1，A．1011 B．2022 C．3033 D．4044【變式5-1】5.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且2anSn=1+anA．15 B．16 C．3 D．4題型6待定系數(shù)法在數(shù)列an中，a一般化方法：設(shè)an+m=kan-1+m，得到b=【例題6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)fx=x，其中x表示不超過x的最大整數(shù)．已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且SA．7 B．8 C．17 D．18【變式6-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若SnA．-2023 B．-12023 C．【變式6-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列{an}滿足a1=4,aA．(-∞,-9)C．(-12,-9) D．(-12,-7)【變式6-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若A點(diǎn)處有一只螞蟻，隨機(jī)的沿三棱柱的各棱或各側(cè)面的對角線向相鄰的某個頂點(diǎn)移動，且向每個相鄰頂點(diǎn)移動的概率相同，設(shè)螞蟻移動n次后還在底面ABC的概率為Pn，有如下說法：①PA．1 B．2 C．3 D．4【變式6-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列an中,a1=14A．a(chǎn)n2n+3C．a(chǎn)n2n+題型7與概率結(jié)合問題【例題7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司員工食堂每天都有米飯和面食兩種套餐，已知員工甲每天中午都會在這兩種套餐中選擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r格是每份18元，面食套餐的價格是每份12元，如果甲當(dāng)天選擇了某種套餐，他第二天會有60%的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天甲選擇了米飯?zhí)撞?，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿镻n①P3②Pn③P④前k天甲午餐總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為15k+5其中正確的是（

）A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【變式7-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，則6次傳球后球在甲手中的概率為．【變式7-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）有人玩都硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，…，第8站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站（從k到k+1）.若擲出反面，棋子向前跳兩站（從k到k+2），直到棋子跳到第7站（勝利大本營）或跳到第8站（失敗集中營）時，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為Pn，則P7=【變式7-1】3.（2020春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谥校┰趹c祝新中國成立七十周年群眾游行中，中國女排壓軸出場，乘坐“祖國萬歲”彩車亮相國慶游行，“女排精神”燃爆中國.某排球俱樂部為讓廣大排球愛好者體驗(yàn)排球的訓(xùn)練活動，設(shè)置了一個“投骰子50米折返跑”的互動小游戲，游戲規(guī)則：參與者先進(jìn)行一次50米的折返跑，從第二次開始，參與者都需要拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用點(diǎn)數(shù)決定接下來折返跑的次數(shù)，若拋擲兩枚骰子所得的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除，則參與者只需進(jìn)行一次折返跑，若點(diǎn)數(shù)之和不能被3整除，則參與者需要連續(xù)進(jìn)行兩次折返跑.記參與者需要做n個折返跑的概率為Pn（1）求P1，P2，（2）證明Pn（3）求Pn題型8倒數(shù)法倒數(shù)變換法，適用于an+1=A①定義構(gòu)造法。利用等比數(shù)列的定義q=a②an+1=Aan③an+1=Aan【例題8】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足an3an+2A．-1123 B．-1251【變式8-1】1.（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1，aA．76<C．54<【變式8-1】2.（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an中，a1=1A．a(chǎn)3=C．a(chǎn)n?【變式8-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均不為零，且滿足a1=1，an=an-11+nan-1【變式8-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=aA．52<C．4<S100題型9同除型用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如an+1=qan+pqn+1=（n∈N*{anqn（2）形如an+1=kan+qn+1（n∈N*），可通過兩邊同除qn+1，將它轉(zhuǎn)化為an+1q（3）形如an+1-an=kanan+1（k≠0）的數(shù)列，可通過兩邊同候以an【例題9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．n2-n2 B．n2【變式9-1】1.（2023秋·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=2,an+1A．-3×2n-1C．5n+3×【變式9-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且SnA．n+1?2n+1 B．2n C．【變式9-1】3.（2023春·河南洛陽·高三欒川縣第一高級中學(xué)校考開學(xué)考試）在正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足A．72 B．80 C．90 D．82【變式9-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，S【變式9-1】5.（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列an滿足nan+1-n+1an題型10因式分解型【例題10】（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)校考開學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4S【變式10-1】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an+12=4Sn+1，數(shù)列bn滿足bn=(-1)n+1n+1【變式10-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）記Sn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若2Sn【變式10-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an>0，4S【變式10-1】4.（2022秋·四川·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an【變式10-1】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+2)an+12-n題型11新數(shù)列前n項(xiàng)和型形如f（1）a1＋f（2）a2＋…+f（n）cn=f（n）an，cn的前n項(xiàng)和為sn，f（1）a1＋f（2）a2＋…+f（n）【例題11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an的前1357項(xiàng)均為正數(shù),且有：a1+A．665 B．666 C．1330 D．1332【變式11-1】1.（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足2a1A．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n=n【變式11-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．a(chǎn)10=100 B．?dāng)?shù)列bn是等差數(shù)列 C．b2021【變式11-1】3.（2022秋·福建寧德·高三福建省福安市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于正項(xiàng)數(shù)列an中，定義：Gn=a1+2a2+3A．83 B．125 C．9【變式11-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+1=an2-anA．2016 B．2018 C．2020 D．2022【變式11-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a12+aA．38,+∞ B．12【變式11-1】6.（2023春·廣東東莞·高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1，且2Sn=A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4【變式11-1】7.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足2na1+2n-1a2題型12取對數(shù)型形如an+1【例題12】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an，an=an-1nn-1n≥2【變式12-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1，an=2【變式12-1】2.（2020春·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考期末）數(shù)列{an}中，若an+1=an【變式12-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）土壤中微量元素（如N，P，K等）的含量直接影響植物的生長發(fā)育，進(jìn)而影響植物群落內(nèi)植物種類的分布．某次實(shí)驗(yàn)中，為研究某微量元素對植物生長發(fā)育的具體影響，實(shí)驗(yàn)人員配比了不同濃度的溶液若干，其濃度指標(biāo)值可近似擬合為e,e,e2A．lnb19lnb20 B．【變式12-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）有限數(shù)列an中，Sn為an的前n項(xiàng)和，若把S1+S2A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【變式12-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a1=1,題型13三階遞推型形如an+1+s【例題13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=1,a2=9,aA．64 B．53 C．42 D．25【變式13-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，若對任意正整數(shù)n，A．-1,32 B．-1,52【變式13-1】2.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）符號x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如2.3=2，-1.9=-2.已知數(shù)列an滿足a1=1，a2=5，an+2+4anA．2023 B．2024 C．2025 D．2026【變式13-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為“高斯函數(shù)”，例如：[-2.5]=-3，[2.7]=2．已知數(shù)列an滿足a1=1，a2=3，an+2+2anA．20222023 B．20242023 C．2023【變式13-1】4.（2023秋·湖北恩施·高三校聯(lián)考期末）已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1=aA．?dāng)?shù)列an-an+1C．S40=【變式13-1】5.（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若數(shù)列an滿足a1=1,a2=4，且對于A．20212022 B．10102022 C．2022【變式13-1】6.（2022秋·云南·高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，a2=6，且an+2-2an+1+aA．2019 B．2020 C．2021 D．2022【變式13-1】7.（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）已知A1A2=1，當(dāng)n≥2時，An+1是線段AnA題型14前n項(xiàng)積求通項(xiàng)【例題14】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)Tn是數(shù)列an的前n項(xiàng)積，則“TnA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式14-1】1.（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an=Sn+12，首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列bn滿足b【變式14-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)積，已知2S【變式14-1】3.（2023秋·北京通州·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnSn≠0，Tn為數(shù)列Sn的前①a1=2；②an=2n2n-1其中所有正確結(jié)論的序號是.【變式14-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnSn≠0,Tn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)積，滿足Sn+Tn=Sn?Tn題型15函數(shù)遞推型【例題15】（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)，滿足f12=33，fn+12A．3036 B．3034 C．3032 D．3030【變式15-1】1.（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)y=fx，x∈N+，滿足以下條件：①fa+b=fa+fb+abA．2023×2024 B．2022×2023 C．1013×2023 D．1012×2023【變式15-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）對任意數(shù)列an，定義函數(shù)Fx=a1+aA．3-2n+32C．6-2n+12【變式15-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.小學(xué)進(jìn)行1+2+3+?+100的求和運(yùn)算時，他是這樣算的:1+100=101，2+99=101，?，50+51=101，共有50組，所以50×101=5050，這就是著名的高斯法，又稱為倒序相加法.事實(shí)上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對稱性.若函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1A．fB．SC．SD．1【變式15-1】4.（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若1S1+1【變式15-1】5.（2022秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)正整數(shù)n=a0?70+a1?7+?+ak-1?7【變式15-1】6.（2020秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？计谥校┮阎猤(x)=f(x+12)-3是R上的奇函數(shù)，an=f(0)+f(1nA．a(chǎn)n=n+1 B．a(chǎn)n=3n+1題型16周期數(shù)列型【例題16】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=3an-1n∈N*，函數(shù)fA．2-1 B．C．2+1 D．【變式16-1】1.（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知首項(xiàng)為3的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若anA．1435 B．1436 C．86036 D．【變式16-1】2.（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，a2A．12 B．2 C．1011【變式16-1】3.（2018·全國·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=n-1題型17奇偶討論型【例題17】（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1-an=-A．-23,1 B．-∞【變式17-1】1.（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，A．210 B．110 C．50 D．55【變式17-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an+1+aA．50 B．51 C．52 D．53【變式17-1】3.（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=1,(m-1)am-1A．-3 B．-54 C．-33 D．【變式17-1】4.（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計劃）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=A．-34C．-35【變式17-1】5.（2023秋·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期末）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足SnA．-164 B．-132【變式17-1】6.（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足：-1n+1an+2+-1n【變式17-1】7.（2021秋·河北滄州·高三滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(2x+2)2，數(shù)列{an}A．a(chǎn)B．?dāng)?shù)列{aC．若a1=4D．若a1=a題型18不動點(diǎn)法【例題18】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1=【變式18-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1【變式18-1】2.（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）兩個數(shù)列an?bn滿足a1=2，b1=1，an+1=5an+3題型19重新組合新數(shù)列型【例題19】（2023秋·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn=4n-A．2022 B．2023 C．4048 D．4046【變式19-1】1.（2023·廣東東莞·東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┠耻浖邪l(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級，主要是對軟件程序中的某序列A=a1,a2,a3,?重新編輯，編輯新序列為A*=a2-aA．8 B．10 C．12 D．14【變式19-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級，主要是軟件程序中的某序列A=a1,a2,a3,???重新編輯，編輯新序列為A*=a2A．19 B．127 C．1【變式19-1】3.（2019秋·福建莆田·高三莆田一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n(n+1)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n-1題型20重新排序型【例題20】（2023·江西·高三校聯(lián)考期中）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn=an2+2an-8，從an中選出以aA．2m-2 B．2m+2 C．2m-1【變式20-1】1.（2022秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）對于正整數(shù)n，設(shè)最接近n的正整數(shù)為an（如a1=1，a3=2），記bn=n+a【變式20-1】2.（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為n2+n，數(shù)列bn滿足an=2log2bA．3017 B．3018 C．3065 D．3066【變式20-1】3.（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an=5n-1n∈N*A．8 B．2C．3 D．7【變式20-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)={2x-1,?x≤0A．a(chǎn)n=n(n-1)2(n∈C．a(chǎn)n=n-1(n∈N*題型21整除相關(guān)【例題21】（2023·全國·高三專題練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則aA．17 B．37 C．107 D．128【變式21-1】1.（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且ai=1或ai=2的概率均為12i=1,2,3,?,n，設(shè)Sn能被3整除的概率為Pn．有下述四個結(jié)論：①P2=1；A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【變式21-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列b

（1）b2012是數(shù)列a（2）b2k-1=．（用【變式21-1】3.（·湖北·高考真題）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{（Ⅰ）b2012是數(shù)列an中的第（Ⅱ）b2k-1=．（用【變式21-1】4.（2022秋·湖北襄陽·高三階段練習(xí)）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列bn，可以推測：（Ⅰ）b2014是數(shù)列an中的第項(xiàng)；（Ⅱ）若n為正偶數(shù)，則b1題型22斐波那契數(shù)列【例題22】（2023·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：a1=a2=1，aA．98 B．99 C．100 D．101【變式22-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在撰寫《算盤全書》(LiberAbacci)一書中研究的一個著名數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，?，該數(shù)列是數(shù)學(xué)史中非常重要的一個數(shù)列．它與生活中許多現(xiàn)象息息相關(guān)，如松果、鳳梨、樹葉的排列符合該數(shù)列的規(guī)律，與楊輝三角，黃金分割比等知識的關(guān)系也相當(dāng)密切．已知該數(shù)列滿足如下規(guī)律，即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，根據(jù)這個遞推關(guān)系，令該數(shù)列為an，其前n項(xiàng)和為Sn，a1=a2=1A．t B．t2+1 C．2t【變式22-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列an滿足a1=a2

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【變式22-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用an表示斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，則數(shù)列an滿足：a1A．a(chǎn)10=5C．i=12019a【變式22-1】4.（2022秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列an:1,1,2,3,5,8,13,?稱為斐波那契數(shù)列，滿足an+1=an+a【變式22-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊》中數(shù)列的課后閱讀之后，對斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了濃厚的興趣．書上說，斐波那契數(shù)列Fn滿足：F1=F2=1，①數(shù)列Fn+1-Fn是嚴(yán)格增數(shù)列；②數(shù)列Fn③F12+F那么以上結(jié)論正確的是（填序號）題型23數(shù)學(xué)文化相關(guān)【例題23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)在宋元時期達(dá)到繁榮的頂點(diǎn)，涌現(xiàn)了一大批卓有成就的數(shù)學(xué)家，其中朱世杰與秦九韶、楊輝、李冶被譽(yù)為我國“宋元數(shù)學(xué)四大家”.朱世杰著有《四元玉鑒》和《算學(xué)啟蒙》等，在《算學(xué)啟蒙》中，最為引人入勝的問題莫過于堆垛問題，其中記載有以下問題：“今有三角、四角果子垛各一所，共積六百八十五個，只云三角底子一面不及四角底子一面七個，問二垛底子一面幾何？”其中“積”是和的意思，“三角果子垛”是每層都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，…，個果子，“四角果子垛”是每層都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，…，個果子，“底子一面”指每垛最底層每條邊”.根據(jù)題意，可知該三角、四角果子垛最底層每條邊上的果子數(shù)是（

）（參考公式：12A．4，11 B．5，12 C．6，13 D．7，14【變式23-1】1.（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其各項(xiàng)規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為an，則aA．650 B．1050 C．2550 D．5050【變式23-1】2.（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃皸钶x三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就