2021年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）

2021年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（3月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.設(shè)集合5=口,3,5,7,9},集合4={3,5,9},8={1,3,7,9},則《$4)。8=()

A.[1,7}B.{3,9}C.{1,5,7)D.{1,7,9)

2.若z=l+2i,則汩=()

A.iB.—iC.1D.-1

2x—y<0

3.若x,y滿足x+yW3，貝|2久+y的最大值為()

x>0

A.OB.3C.4D.5

4.一個(gè)圓錐的母線與其軸所成的角為60。，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為（）

A.B.nC.V2TTD.V3TT

5.函數(shù)y=等,%€（-（0）u（0q）的大致圖象是（）

6.若m,n是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，且m1a,nu夕，則"m〃n”

是“a10”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（）

A.若>0,則>0

B.若%+a3<0,則由+a2<0

C.若0<V則41a3

D.若的<0,則@—。1)(。2—。3)>0

8.已知雙曲線會(huì)，=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),右頂點(diǎn)為A,過(guò)尸作AF

的垂線與雙曲線交于8、C兩點(diǎn),過(guò)8、C分別作AC、AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)

D,若。到直線BC的距離小于a+c,則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()

A.(-8,—1)u(1,+8)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-00,-72)U(V2,4-00)D.(-V2,0)U(0,企)

9.已知a,be/?,且abH0,若(仇％—a)(%—6)(%—a-h)>0在％>0上恒成立，

則()

A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.a>0,b<0D.a>0,b>0

10.設(shè)集合5,T中至少有兩個(gè)元素，且S,T滿足：①對(duì)任意x,yes,若x于y,則

x+y&T；②對(duì)任意x,yGT,若x7y,則x-yeS.下列說(shuō)法正確的是()

A.若S有2個(gè)元素，則SU7有4個(gè)元素

B.若S有2個(gè)元素，則SUT有3個(gè)元素

C.存在3個(gè)元素的集合S,滿足SUT有5個(gè)元素

D.存在3個(gè)元素的集合S,滿足SU7有4個(gè)元素

二、單空題(本大題共7小題，共36.0分)

11.仇章算術(shù)》商功中有如下問(wèn)題：今有陽(yáng)馬，廣三尺，|\卜

袤四尺，高五尺，問(wèn)積如何？“陽(yáng)馬”這種幾何體三\\

視圖如圖所示，則體積為，最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為5\J\

俯視圖

12.若(％+a)(五-蠢>的展開式的常數(shù)項(xiàng)為2,則。=,所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值

之和是.

13.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,若烏?=_"，b=2代，c=2,

sinAcosB

則B=-----,S-BC=----------

14.設(shè)直線/：mx+ny+1=0(m>-l,n>-1),圓C：(x—l)2+(y—l)2=1,若

直線/與圓相切，則m+3n的最小值為.

第2頁(yè)，共20頁(yè)

15.六個(gè)人排成一排，若甲、乙、丙均互不相鄰，且甲、乙在丙的同一側(cè)，則不同的排

法有.

16.甲、乙兩袋裝有除顏色外其余均相同的白球和黑球若干個(gè)，其中甲袋裝有2個(gè)白球,

2個(gè)黑球；乙袋裝有一個(gè)白球，3個(gè)黑球；現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取2個(gè)球，記取

到白球的個(gè)數(shù)為則P任=2)=,E(f)=.

17.已知百，石,再是空間單位向量，瓦?瓦=瓦?西=瓦?瓦=/，若空間向量五滿足Z=

xeT+yeJCx.ye/?),|a|=2,貝U|△石|的最大值是.

三、解答題(本大題共5小題，共74.()分)

18.已知函數(shù)f(x)=sin(x-2+7n,將y=/(x)的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的右縱坐標(biāo)不

變，再向左平移看個(gè)單位后得到g(x)的圖象，且y=g(x)在區(qū)間內(nèi)的最大值為

V3

2?

(1)求〃？的值；

(2)在銳角△ABC中，若g(§=印求tcmA+tanB的取值范圍.

19.如圖，已知多面體ABCD-4/1601，491，BB「CC1(DD1

均垂直于平面ABCD,AD//BC,AB=BC=CD=AAt=

CC、=2,BB1=1,AD=DD1=4.

(I)證明：-G1平面CDD1Q；

(n)求直線sc1與平面所成角的正弦值.

20.已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj｛%｝滿足5｝是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，,+支+…+

1n一e

淳=——，"6N*.

bnan+i

(I)求｛b｝的通項(xiàng)公式;

(n)若數(shù)列｛%｝滿足Cl=1+11+d,(cn-C71T=bn-bn_i，九>2,n6N*,

證明：矗+以+…+C，nGN*.

21.已知橢圓加：捺+卷=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為(一動(dòng)圓過(guò)橢圓G

右焦點(diǎn)尸，且與直線x=-1相切.

(1)求橢圓G的方程及動(dòng)圓圓心軌跡Q的方程；

(2)過(guò)F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓G于尸，Q兩點(diǎn)，交曲線C2于M,N

兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最小值.

22.設(shè)函數(shù)/(x)=—a(x—l)e”,其中aeR.

(I)若aS0,討論f(x)的單調(diào)性；

第4頁(yè)，共20頁(yè)

(n)若。vQ<%

⑴證明/(無(wú))恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

3)設(shè)出為/(%)的極值點(diǎn),口為/(%)的零點(diǎn),JSLxi>x0,證明3%o-％i>2.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：?；S={1,3,5,7,9},A={3,5,9},B={1,3,7,9),

CSA=[1,7},(CsA)nB={1,7}.

故選：4

進(jìn)行交集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

本題考查了列舉法的定義，交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：z=l+2i,

z-z=I2+22=5,

故選：B.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軌復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是

解決此類問(wèn)題的基本方法.

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線的縱截距，利用數(shù)形結(jié)合即

可求z的最大值.

【解答】

'2x—y<0

解：作出不等式組x+y?3對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分).

X>0

第6頁(yè)，共20頁(yè)

設(shè)z=2%4-y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，直線y=-2x+z的縱截距最大,

此時(shí)z最大.

由焦工學(xué)解得［：;即做⑶

代入目標(biāo)函數(shù)z-2x+y得z=1x2+2=4.

即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為4.

故選：C.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了圓錐體的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓錐的母線/與底面圓半徑r之間的關(guān)系，再計(jì)算圓

錐的側(cè)面展開圖圓心角的大小.

【解答】

解：如圖所示，

設(shè)圓錐的母線為/,底面圓半徑為「，

因?yàn)?8。=6。。，所以譏6。。，解得一爭(zhēng),

所以底面圓的周長(zhǎng)為2口,

所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為

2nr27rx號(hào)I

9==

—一/一=近死

故選：D.

5.【答案】D

【解析】解：/(_%)=則曰=*=/(無(wú))，則f(x)是偶函數(shù)，排除A,C,

-XX

-ta-n-x=-s-in-x----1,

XXCOSX

當(dāng)XTO,等71,表T1，則/(X)T1,排除8,

故選：D.

判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，利用極限思想進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性以及極限思想是解決

本題的關(guān)鍵，是中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：若m1a,m//n,則n1a,又nu/?,所以a10,即"m〃n"是"a1夕"

的充分條件；

若m_La,al/?,則m〃0或mu0,又nu0,所以〃z,〃的關(guān)系不確定，

即um//nn是“alQ”的不必要條件；

所以"M”是“a，/?”的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)m1a,m//n,則n1a,又nu0,所以a10,以及m_La,a10,則m〃S或mu。，

又nu/7,所以“，〃的關(guān)系不確定，結(jié)合充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判定即可.

本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，以及線線、面面位置關(guān)系的判定，同時(shí)考

查了邏輯推理的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

由題意，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

第8頁(yè)，共20頁(yè)

【解答】

解：若則2ai+d>0,做+。3=2%+d+2d,d<0時(shí)，結(jié)論不一定成

立，即A不正確；

若西+gV0，則為+。3=2al+2dV0,%+a2=2al+2d—d,d的正負(fù)不確定，

所以的+e的正負(fù)不確定，故8不正確；

若0<<。2,可知>0,d>0,>0,03>0,a22—=(@1+d)2—+

2d)=d2>0,

?,?&>Jag，故選項(xiàng)C正確；

若的<0,則(。2—。1)(。2—。3)=~d2<0,即。不正確.

故選：C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定。到直線3c的距離是關(guān)鍵.屬于

中檔題.

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)以及題意可得由雙曲線的對(duì)稱性知。在x軸上，設(shè)。(匕0),根據(jù)直線

垂直可得C—X=/念，再根據(jù)。到直線BC的距離小于a+c,可得|c—x|=

|^J|<a+c,解得即可.

az(c-a)

【解答】

解：

由題意，4(a,0),B(c,9),C(C,-^).

由雙曲線的對(duì)稱性知。在x軸上，設(shè)。(x,0),則由BD1AC得三.差=一「

c-xc-a

Q2(C_Q)，

???。到直線BC的距離小于Q+c,

b4

?.?『xl=lwyl<Q+c，

:.%V-Q2=匕2,

>)2b

???0<4<1,0<-<1

a2a

?,?雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是(一1,0)U(0,1).

故選:B.

9.【答案】B

a

【解析】解：令)x-Q=0,得%=ef

假設(shè)b<0時(shí),則()工—a)(x—b)(x—a—b)>0f

所以(仇工—a)(x—a—b)>0,

當(dāng)％〉e。時(shí)，Inx—a>0,而e。>a,故％—Q—b>0,在％)e。成立，

當(dāng)0<x<e。時(shí)％-Q<0,此時(shí)需成立％-Q-bW0,即％WQ+6,

而％<a+b對(duì)％6(0,e。)恒成立，所以e。<a4-b,

又已知b<0,故e。<a與e。<a矛盾，故b>0不成立，

因?yàn)?％-Q的正負(fù)性與x-〃的正負(fù)性一致，

所以任意x>0,(Inx-a)(x-b)(x-a-b)>0=任意%>0,(x-ea)(x-b)(x—a—

b)>0,

假設(shè)a>0,則e。，b,。+匕均大于0,且a+b>b,

下證當(dāng)Q>0,b>0時(shí)，任意%>0,(%—ea)(x—/?)(%—a—b)>。恒成立，

?ea>a+b,令x=*則g-ea)g-b)6一a-b)<0,

@b<ea<a+b,令％=號(hào)曠，則(號(hào)2—e。)(號(hào)”一人)(號(hào)四一。一8)<0,

(3)ea<b>令x=b+],G+b—6。)(人+：—b)(b+1—a—b)<0,

綜上，可知a>0不成立，故a<0,

所以a<0,b>0,

故選：B.

分類討論得到a,b的正負(fù)，應(yīng)用mx-a與x-e。的正負(fù)性一致，可將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化

為(x——b)(x—a—b)20,即可得出結(jié)論.

本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題，解題中注意分類討論思想的應(yīng)用，屬

于中檔題.

第10頁(yè)，共20頁(yè)

10.【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)條件②可知S中的元素成對(duì)出現(xiàn)，分別討論S中是否有0進(jìn)行判斷7的元素情況,

得出結(jié)論.

本題考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由條件②可知集合S中的元素必成對(duì)出現(xiàn)，他們互為相反數(shù)，

若S有2個(gè)元素，不妨設(shè)S={a,-a}(aK0),由條件①可知集合T中必含有元素0,

若T的另一個(gè)元素為a(或-a),顯然符合條件②，

若7的另一個(gè)元素不是a或-a,不妨設(shè)為c(cH土a),

則由條件②可知c,-c也是S的元素，與S只有2個(gè)元素矛盾，

..St)T=[a,—a,0},故A錯(cuò)誤，8正確；

若S有3個(gè)元素，則0必然是S的元素，設(shè)5={兄0,-a),則由條件①可知SU7,

再由條件②可知2a6S,-2aeS,與S有3個(gè)元素矛盾，

故不存在3個(gè)元素的集合S,滿足條件①，②，故C錯(cuò)誤，力錯(cuò)誤.

故選：B.

11.【答案】105夜

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱錐體；

如圖所示：

所以：l/=ix3x4x5=20,

BE=432+42+52=5V2,

故答案為：20；5^2-

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積和最長(zhǎng)棱長(zhǎng).

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式，主要

考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】132

【解析】解：?；(4一白尸的通項(xiàng)公式為4+1=ci-(-i)r-x2-r,

(%+a)(〃一白尸的展開式的常數(shù)項(xiàng)為c：x(-1)+a?盤=2,則a=1.

所有項(xiàng)系數(shù)的絕時(shí)值之和，即(x+a)?(丘+^)4的各項(xiàng)系數(shù)和，

令％=1,可得為(x+a)-(Vx+白>的各項(xiàng)系數(shù)和(1+a)?24=32,

故答案為：1；32.

由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得〃的值，再通過(guò)給x賦值，可得所有項(xiàng)系數(shù)的

絕對(duì)值之和.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】g2V3

【解析】解：因?yàn)榈?上，又由正弦定理可得號(hào)=_々，

sinAcosBstnAsinB

可得sinB=y/3cosB?即tanB=遮，

因?yàn)锽e(0,兀),

所以B=5，

又b=2近,c=2,

所以箸=高，可得sinC=5

由c<b,可得C為銳角，可得c=g可得4=TT-B-C=T，

62

所以S“BC==：x2x2V5=2V3.

故答案為：p2>/3.

由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得tanB=6,結(jié)合Be(0,兀),

可求B的值，利用正弦定理可求sinC,利用大邊對(duì)大角可求C為銳角，可得C,利用

三角形內(nèi)角和定理可求A，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解.

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，大邊對(duì)大角，三角形內(nèi)角和定理，

第12頁(yè)，共20頁(yè)

三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

14.(答案】、后—4

【解析】

【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

由圓心到直線的距離等于半徑列式可得巾=會(huì)?，代入m+3n,整理后利用基本不等

2n+2

式求最值.

【解答】

解：圓C：O—l)2+(y-l)2=1的圓心坐標(biāo)為C(L1),半徑為1，

???直線/與圓C相切，臀舞=1,

vmz+n2

整理得，2mn4-2m4-2n4-1=0,即?n=丁，,

2n+2

-2n-l

：?m+3n=------+3n

2n+2

=3何+1)+就-4.

vm>—1,n>—1,An4-1>0,

則m+3n=3(n+1)+-4

“小5+1)?康-4=①一4.

當(dāng)且僅當(dāng)(n+l)2=g即〃=一1+漁，皿=—1+立時(shí)等號(hào)成立.

662

???m+3rl的最小值為&-4.

故答案為：V6—4.

15.【答案】96

【解析】

【分析】

本題考查了排列組合的問(wèn)題，站隊(duì)問(wèn)題是排列組合中的典型問(wèn)題，解題時(shí)要先排限制條

件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒(méi)有限制條件的元素，最后要用分

步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.

利用插空和定序法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求出.

【解答】

解：將除甲、乙、丙的三人全排列，再將甲乙丙插入所成的空中，

因?yàn)榧?、乙和丙的順序有?6種，其中在甲、乙在丙的同一側(cè)的順序4種,

故不同的排法有:用圈=96種，

O

故答案為：96.

16.【答案】卷|

【解析】解：由題意可得：f=0,1,2,3,

PG=°)=黑丑，P(f=l)=泅1普=*P(f=2)=或或+或或Cj或__5

C道12

P-3)=鬻/

可得其分布列:

0123

1551

P(f)12121212

E?)=0x^+lx±+2x±+3x±=|

故答案為：卷,|.

由題意可得：f=0,1,2,3,利用相互獨(dú)立、互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出.

本題考查了古典概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立、互斥事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)

期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】苧

【解析】解：空間向量日滿足方=x^+y直(x,yeR),5?石=/?匹=可?可

由|引=2,

整理得|初2=五.五=%

即+y2+=4,

又I方?瓦I=I。可+y石)?藥I=|l^+yl-

由于％2+y2>2xy,

所以由％2+y2+=%整理得3xy工4,

第14頁(yè)，共20頁(yè)

即xy<I，

22

所以|x+=%2+丫2+2Xy=x+y+xy+xy<4+^=

故|x+y|<^,

所以|五運(yùn)|=||x+y|<^=^.

故答案為：邁.

3

直接利用向量的數(shù)量積，向量的模的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的數(shù)量積，向量的模的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，主要考查

學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(l)/(x)=sin(久-?+m的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;，縱坐標(biāo)不變，

o2

再向左平移，個(gè)單位后得到9。)的圖象，

則g(x)=sin(2x+0+m,???x6覃J2x+^G[y,y])

二當(dāng)2x+gf,即x=:時(shí),g(x)最大值乎+m=^->?-m=0.

63422

(2)5(f)=sin(C+^)=yCG(0,^),.-.C=

sinAsinBsinAcosB+sinBcosAsin(4+B)

???tanA+tanB=------H-------=-----------------------------=--------------=---------

cos4cosBcosAcosBcosAcos(^-A)

_sinC_2_2

-^COS^A+^inAcosASin2A-43cos2A-432麗24#技

???△ABC是銳角三角形，

Tinn兀27rV3it

323332'3，

tanA+tanB>4+2V5,

即ta和4+tanB的取值范圍為(4+2次,+8).

【解析】(1)由題意利用函數(shù)y=4sin(3x+0)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和

值域，求得加的值.

(2)先求出C的值，再利用三角恒等變換化筒tanA+tanB,結(jié)合正弦函數(shù)的定義域和值

域，求出它的范圍.

本題主要考查函數(shù)y=加出(5：+9)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，三角

恒等變換，屬于中檔題.

19.【答案】(I)證明:如圖，連接AC,

???44J/CG，且AAi=CG，

二四邊形ACG4為平行四邊形，BIU1CJ/4C.

又底面ABC。為等腰梯形，且4B=BC=CD=2,AD=4,二AC1

CD.

-?CC11平面ABCD,ACU平面ABCD,

:.CC]1AC.

又CDnCCr=C,AC_L平面C001G，

力iG_L平面CDDiG；

(H)解：法一、由題意得BG=2應(yīng)，延長(zhǎng)。C,DG，AB,力出交于點(diǎn)G,取CG中

點(diǎn)M,連接8例，AC.

?：BM“ACHAG，8MC平面41當(dāng)6，&Gu平面為務(wù)口，

???BM〃平面2/停1，

???點(diǎn)B到平面4B1G的距離和點(diǎn)M到平面為B1G的距離相等.

由(I)知41clJ_平面CDDiG，

又占Ciu平面41/6，

???平面力"16，平面CDDiG.

過(guò)點(diǎn)M作MH1GDi于點(diǎn)H,則MH1平面4道也1，

即點(diǎn)M到平面&B1G的距離為MH=當(dāng).

設(shè)直線BQ與平面4B1G所成的角為。，

則sin。=—=

BCt2V24

即直線BG與平面4B1G所成角的正弦值為3；

解法二、以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)。且垂直于平面40D1&的直線

為)，軸，CD］所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝|JB(3,V3,0),4式4,0,2),B1(3,V3,1),的(1,V3,2),

西=(-2,0,2),疝=(-3,柢0)，麗=(-2,0,1).

設(shè)平面4B1G的法向量元=(x,y,z),

.(n-AC=-3x+V3y=0人,/日—廣

由一-L121J，令x=l,得記=(1,但2).

(n-81cl=-2%+z=0

設(shè)直線BQ與平面4181cl所成的角為仇

則sin。=|cos(SC1(n)|=2怖2貶=?

第16頁(yè)，共20頁(yè)

即直線Bq與平面為BiG所成角的正弦值為土

【解析】（I）連接AC,由己知可得四邊形4CG4為平行四邊形，即久的〃4c.再由已知

證明CG14c.結(jié)合直線與平面垂直的判定可得4c_L平面CDDiQ,從而得到41cl1平面

CDDG；

（II）法一、延長(zhǎng)。1G，AB,交于點(diǎn)G,取CG中點(diǎn)M,連接8M,4C.證明8M〃平

面AiBiG，可得點(diǎn)8到平面&B1Q的距離和點(diǎn)例到平面&B1C1的距離相等.由（I）知

4clL平面COOiG，可得平面41B1QJL平面COD]Cr過(guò)點(diǎn)〃作MH1于點(diǎn)H,則

MH平面41BC，求得點(diǎn)M到平面&當(dāng)前的距離為MH=當(dāng)設(shè)直線BC1與平面4出口

所成的角為0,可得sin。，得到直線BQ與平面力道￡所成角的正弦值；

法二、以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)。且垂直于平面4DD1&的直線為y

軸，CD1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出遍的坐標(biāo)與平面

的一個(gè)法向量記，由何與元所成角的余弦值可得直線BQ與平面4B1G所成角的

正弦值.

本題考查直線與平面垂直的判定、線面角，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，訓(xùn)練了

利用空間向量求解空間角，是中檔題.

20.【答案】解：（I）,哈+尹…+看=會(huì)①

11

當(dāng)7122時(shí),看+向+…+亡=/,（2）

①②作差得，^=~~—=—^—,n>2,

bn?n+lAn即即+1

檢驗(yàn)瓦也符合，又｛bn｝為正項(xiàng)數(shù)列，

1n

故勾=Janan+i=Vt+(-l)d](l+nd)；

aa9

證明：(II)山(Cn—C九一i)J=bn—fen-i=yj^n^n+l—yjnn-l

aan

得J-Cn_i=Vn+i-Vn-l>22,71EN*,

???c?—s='g—V^i?

9

C3—(72=7a4—7的

cn-cn-l=y/an+l-yjan-l,

累加得Cn—R=個(gè)%1+1+yf^n~V^2-n>2f

??,q=1+“+d,

故Cn=/冊(cè)+1+7^，71N2,q也符合，

則二_=________1________='J^^一回=1(二______-

caaaaaa

^nny/n+l'Vn(.y/n+l~^yjn)^\/n+l'\/ndJanJan+C

又｛%J為正項(xiàng)數(shù)列，故d>0,

_5_)<1

d'y/an+id

【解析】(I)由已知數(shù)列遞推式可得煮=搟，且當(dāng)n22時(shí)，看+1+…+亡=/，

與原遞推式聯(lián)立可得a=廣?一F=￡-,nN2,得到垢=瘋石二=

unan+lununun+l*

J[1+(n-l)d](l+nd);

aaa

(口)由(7一%_1)一九-l=Vnn+1-Vn?n-1'利用累加法可得Cn=

y/an+1+yfa^.n>2,再由裂項(xiàng)相消法證明結(jié)論.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前"項(xiàng)和，考查推理論證能力及運(yùn)算

求解能力，屬難題.

(2a=4cn—7

21.【答案】解：(1)由已知可得e=￡=2={a[；=b2=a2—c2=3,

Ia2一

則所求橢圓方程Cl：9+?=1.由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線C的焦

點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=—1,則動(dòng)圓圓心軌跡方程為C2：y2=4x.

(2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，|MN|=4,

此時(shí)P。的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，|PQ|=4,

從而SPMQN='MN|?|PQ|=|x4x4=8.

設(shè)直線MN的斜率為鼠則kHO,直線MN的方程為：y=k(x—l),

直線尸。的方程為y=-i(%-1),

設(shè)M(X，yi),W(x2,y2),Pix3,y3),Q(.x4ly4),

2

由I；：；)消去)，可得//一(21+4)x+k=0,

由拋物線定義可知：|MN|=|MF2|+\NF2\=X1+1+X2+1=+2=4+^,

(y=—(x-1)

由V)，消去y得(31+4)/一8x+4-12k2=0,

2

從而|PQ|=I1+(-J)|X3-X4I=告黑

第18頁(yè)，共20頁(yè)

222

0i12(l+k)Oyl(1+k)

SPMQN=-\MN\-\PQ\=-(4+應(yīng))中k=24

令1+1=t,

k>0,貝!It>1,

ric1I■<>rIlr?cl24t224t224r21=./.,1、2一

則SPMON=_|MN|?\PQ=-"——■—-=-；-------=—2~r3-----------4—(14—)G

人JBMQN211IJ3(t-l)2+4(t-l)3t2-2t-l3->*tt2k

(0,3),

所以品MQN=2_1>8,

所以四邊形PMQN面積的最小值為8.

【解析】(1)利用橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，離心率求解a,c,推出從得到橢圓方程.動(dòng)圓圓心軌

跡為拋物線，結(jié)合拋物線C的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，求解動(dòng)圓圓心軌跡方程即可.

(2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，|MN|=4,求解四邊形的面積；設(shè)直線M