二次函數(shù)最大利潤(rùn)問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)

二次函數(shù)最大利潤(rùn)問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)【例一】最近，某市出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加。某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元每千克。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量w（千克）與銷售量x（元）有如下的關(guān)系：w=-2x+80。設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為y（元）。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；解：y=（x-20）w

=（x-20）（-2x+80）

=-2x2+120x-1600，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：

y=-2x2+120x-1600；（2）當(dāng)銷售價(jià)定為多少元每千克時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：y=-2x2+120x-1600

=-2（x-30）2+200，

∴當(dāng)x=30時(shí)，y有最大值200，

∴當(dāng)銷售價(jià)定為30元/千克時(shí)，每天可獲最大銷售利潤(rùn)200元；（3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于28元每千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？解：當(dāng)y=150時(shí)，可得方程：

-2（x-30）2+200=150，

解這個(gè)方程，得

x1=25，x2=35，（8分）

根據(jù)題意，x2=35不合題意，應(yīng)舍去，

∴當(dāng)銷售價(jià)定為25元/千克時(shí)，該農(nóng)戶每天可獲得銷售利潤(rùn)150元．

【例二】與某雪糕廠由于季節(jié)性因素，一年之中產(chǎn)品銷售有淡季和旺季，當(dāng)某月產(chǎn)品無(wú)利潤(rùn)時(shí)就停產(chǎn)。經(jīng)調(diào)查分析，該廠每月獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）和月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式，已知3月份、4月份的利潤(rùn)分別是9萬(wàn)元、16萬(wàn)元。（1）該廠每月獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）和月份x之間的函數(shù)關(guān)系式；解：把點(diǎn)（3，9），（4，16）代入函數(shù)關(guān)系式：

解得：a=14；b=-24

∴y=-x2+14x-24（2）該廠在第幾個(gè)月份獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？解：當(dāng)時(shí)，y最大=25∴7月份獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是25萬(wàn)元．（3）該廠一年中應(yīng)停產(chǎn)的是哪幾個(gè)月份？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明。解：當(dāng)y=0時(shí)，有方程：x2-14x+24=0

解得：x1=2，x2=12．

所以第二月和第十二月份無(wú)利潤(rùn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，第一月份的利潤(rùn)為負(fù)數(shù)，因此一年中應(yīng)停產(chǎn)的是第一月份，第二月份和第十二月份．

【例三】某旅館有30個(gè)房間供旅客住宿。據(jù)測(cè)算，若每個(gè)房間的定價(jià)為60元/天，房間將會(huì)住滿；若每個(gè)房間的定價(jià)每增加5元/天，就會(huì)有一個(gè)房間空閑。該旅館對(duì)旅客住宿的房間每間要支出各種費(fèi)用20元/天（沒(méi)住宿的不支出）。當(dāng)房?jī)r(jià)定為每天多少時(shí)，該旅館的利潤(rùn)最大？解：設(shè)每天的房?jī)r(jià)為60+5x元，

則有x個(gè)房間空閑，已住宿了30-x個(gè)房間．

∴度假村的利潤(rùn)y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．

∴y=（30-x）?5?（8+x）

=5（240+22x-x2）

=-5（x-11）2+1805．

因此，當(dāng)x=11時(shí)，y取得最大值1805元，

即每天房?jī)r(jià)定為115元∕間時(shí)，度假村的利潤(rùn)最大。

【例四】某技術(shù)開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價(jià)定為3000元，在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購(gòu)買這種新型產(chǎn)品，公司決定商家一次性購(gòu)買這種新型產(chǎn)品不超過(guò)10件時(shí)，每件按3000元銷售；若一次性購(gòu)買該種產(chǎn)品超過(guò)10件時(shí)，每多購(gòu)買一件，所購(gòu)買的全部產(chǎn)品的銷售單價(jià)均降低10元，但銷售單價(jià)均不低于2600元。（1）商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品多少，銷售單價(jià)恰好為2600元？解：設(shè)件數(shù)為x，依題意，得3000-10（x-10）=2600，解得x=50，

答：商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品50件，銷售單價(jià)恰好為2600元；（2）設(shè)商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲得的利潤(rùn)為y元，求y（元）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；解：當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y=（3000-2400）x=600x，

當(dāng)10＜x≤50時(shí)，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x2+700x

當(dāng)x＞50時(shí)，y=（2600-2400）x=200x∴函數(shù)關(guān)系式為：y=600x(0≤x≤10)且x為整數(shù)y═-10x2+700x(10＜x≤50)且x為整數(shù)（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次性購(gòu)買產(chǎn)品的件數(shù)超過(guò)某一數(shù)量時(shí)，，會(huì)出現(xiàn)隨著一次購(gòu)買數(shù)量的增多，公司所獲的利潤(rùn)反而減少這一情況。為使商家一次購(gòu)買的數(shù)量越來(lái)越多，公司所獲的利潤(rùn)越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元？（其他銷售條件不變）解：由y=-10x2+700x可知拋物線開口向下，當(dāng)x=35時(shí)，利潤(rùn)y有最大值，

此時(shí)，銷售單價(jià)為3000-10（x-10）=2750元，

答：公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為2750元．

【例五】在長(zhǎng)株潭建設(shè)兩型社會(huì)的過(guò)程中。為推進(jìn)節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我市某公司以25萬(wàn)元購(gòu)得某項(xiàng)節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入100萬(wàn)元購(gòu)買生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工。已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每件20元。經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為25元到30元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：。（年獲利=年銷售收入-生產(chǎn)成本-投資成本）（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品年銷售量為多少萬(wàn)件？解：∵25＜28＜30，y=40-x(25≤x≤30)

25-0.5x(30＜x≤35)∴把x=28代入y=40-x得，∴y=12（萬(wàn)件），

答：當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品的年銷售量為12萬(wàn)件；（2）求該公司第一年的年獲利W（萬(wàn)元）與銷售單價(jià)x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利,最大利潤(rùn)是多少？若虧損，最少虧損是多少？解：①當(dāng)

25≤x≤30時(shí)，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，

故當(dāng)x=30時(shí)，W最大為-25，即公司最少虧損25萬(wàn)；

②當(dāng)30＜x≤35時(shí)，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100=-1/2x2+35x-625=-1/2（x-35）2-12.5故當(dāng)x=35時(shí)，W最大為-12.5，即公司最少虧損12.5萬(wàn)；

對(duì)比①，②得，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬(wàn)；

答：投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬(wàn)；（3）第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬(wàn)元，該項(xiàng)捐款由兩部分組成：一部分是10萬(wàn)元的固定捐款；另一部分則是每銷售一件產(chǎn)品，就抽出一元作為捐款。若出去第一年的最大獲利（或是最小虧損）以及第二年的捐款后，到第二年底，兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元，請(qǐng)你確定此時(shí)銷售單價(jià)的單位。解：①當(dāng)

25≤x≤30時(shí)，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x2+61x-862.5≥67.5，-x2+61x-862.5≥67.5，

化簡(jiǎn)得：x2-61x+930≤0

解得：30≤x≤31，

當(dāng)兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元時(shí)，x=30；

②當(dāng)30＜x≤35時(shí)，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-1/2

x2+35.5x-547.5≥67.5化簡(jiǎn)得：x2-71x+1230≤0解得：30≤x≤41，

當(dāng)兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元時(shí)，30≤x≤35，

答：到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元，此時(shí)銷售單價(jià)的范圍是30≤x≤35．

二次函數(shù)商品利潤(rùn)最大問(wèn)題1、某旅館有30個(gè)房間供旅客住宿。據(jù)測(cè)算，若每個(gè)房間的定價(jià)為60元/天，房間將會(huì)住滿；若每個(gè)房間的定價(jià)每增加5元/天，就會(huì)有一個(gè)房間空閑。該旅館對(duì)旅客住宿的房間每間要支出各種費(fèi)用20元/天（沒(méi)住宿的不支出）。當(dāng)房?jī)r(jià)定為每天多少時(shí)，該旅館的利潤(rùn)最大？解：設(shè)每天的房?jī)r(jià)為60+5x元，

則有x個(gè)房間空閑，已住宿了30-x個(gè)房間．

∴度假村的利潤(rùn)y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．

∴y=（30-x）?5?（8+x）

=5（240+22x-x2）

=-5（x-11）2+1805．

因此，當(dāng)x=11時(shí)，y取得最大值1805元，

即每天房?jī)r(jià)定為115元∕間時(shí)，度假村的利潤(rùn)最大。2、最近，某市出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加。某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元每千克。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量w（千克）與銷售量x（元）有如下的關(guān)系：w=-2x+80。設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為y（元）。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；解：y=（x-20）w

=（x-20）（-2x+80）

=-2x2+120x-1600，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：

y=-2x2+120x-1600；（2）當(dāng)銷售價(jià)定為多少元每千克時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：y=-2x2+120x-1600

=-2（x-30）2+200，

∴當(dāng)x=30時(shí)，y有最大值200，

∴當(dāng)銷售價(jià)定為30元/千克時(shí)，每天可獲最大銷售利潤(rùn)200元；（3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于28元每千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？解：當(dāng)y=150時(shí)，可得方程：

-2（x-30）2+200=150，

解這個(gè)方程，得

x1=25，x2=35，（8分）

根據(jù)題意，x2=35不合題意，應(yīng)舍去，

∴當(dāng)銷售價(jià)定為25元/千克時(shí)，該農(nóng)戶每天可獲得銷售利潤(rùn)150元．3、與某雪糕廠由于季節(jié)性因素，一年之中產(chǎn)品銷售有淡季和旺季，當(dāng)某月產(chǎn)品無(wú)利潤(rùn)時(shí)就停產(chǎn)。經(jīng)調(diào)查分析，該廠每月獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）和月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式，已知3月份、4月份的利潤(rùn)分別是9萬(wàn)元、16萬(wàn)元。（1）該廠每月獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）和月份x之間的函數(shù)關(guān)系式；解：把點(diǎn)（3，9），（4，16）代入函數(shù)關(guān)系式：解得：a=14；b=-24∴y=-x2+14x-24（2）該廠在第幾個(gè)月份獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？解：當(dāng)時(shí)，y最大=25∴7月份獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是25萬(wàn)元．（3）該廠一年中應(yīng)停產(chǎn)的是哪幾個(gè)月份？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明。解：當(dāng)y=0時(shí)，有方程：x2-14x+24=0

解得：x1=2，x2=12．

所以第二月和第十二月份無(wú)利潤(rùn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，第一月份的利潤(rùn)為負(fù)數(shù)，因此一年中應(yīng)停產(chǎn)的是第一月份，第二月份和第十二月份．4、某技術(shù)開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價(jià)定為3000元，在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購(gòu)買這種新型產(chǎn)品，公司決定商家一次性購(gòu)買這種新型產(chǎn)品不超過(guò)10件時(shí)，每件按3000元銷售；若一次性購(gòu)買該種產(chǎn)品超過(guò)10件時(shí)，每多購(gòu)買一件，所購(gòu)買的全部產(chǎn)品的銷售單價(jià)均降低10元，但銷售單價(jià)均不低于2600元。（1）商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品多少，銷售單價(jià)恰好為2600元？解：設(shè)件數(shù)為x，依題意，得3000-10（x-10）=2600，解得x=50，

答：商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品50件，銷售單價(jià)恰好為2600元；（2）設(shè)商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲得的利潤(rùn)為y元，求y（元）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；解：當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y=（3000-2400）x=600x，

當(dāng)10＜x≤50時(shí)，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x2+700x

當(dāng)x＞50時(shí)，y=（2600-2400）x=200x∴函數(shù)關(guān)系式為：y=600x(0≤x≤10)且x為整數(shù)y═-10x2+700x(10＜x≤50)且x為整數(shù)（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次性購(gòu)買產(chǎn)品的件數(shù)超過(guò)某一數(shù)量時(shí)，，會(huì)出現(xiàn)隨著一次購(gòu)買數(shù)量的增多，公司所獲的利潤(rùn)反而減少這一情況。為使商家一次購(gòu)買的數(shù)量越來(lái)越多，公司所獲的利潤(rùn)越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元？（其他銷售條件不變）解：由y=-10x2+700x可知拋物線開口向下，當(dāng)x=35時(shí)，利潤(rùn)y有最大值，

此時(shí)，銷售單價(jià)為3000-10（x-10）=2750元，

答：公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為2750元．5、在長(zhǎng)株潭建設(shè)兩型社會(huì)的過(guò)程中。為推進(jìn)節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我市某公司以25萬(wàn)元購(gòu)得某項(xiàng)節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入100萬(wàn)元購(gòu)買生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工。已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每件20元。經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為25元到30元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：。（年獲利=年銷售收入-生產(chǎn)成本-投資成本）（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品年銷售量為多少萬(wàn)件？解：∵25＜28＜30，y=40-x(25≤x≤30)

25-0.5x(30＜x≤35)∴把x=