極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程

極坐標(biāo)及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用1.極坐標(biāo)概述第一種用極坐標(biāo)來擬定平面上點的位置的是牛頓。他的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，大概于1671年寫成，出版于1736年。此書涉及解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線，書中創(chuàng)見之一，是引進新的坐標(biāo)系。瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努力利于1691年在《教師學(xué)報》上發(fā)表了一篇基本上是有關(guān)極坐標(biāo)的文章，因此普通認為J.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。J.貝努利的學(xué)生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，并且自由地應(yīng)用極坐標(biāo)去研究曲線。在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，是人們公認的最容易接受并且被經(jīng)常采用的辦法，但它并不是擬定點的位置的唯一辦法。有些復(fù)雜的曲線用直角坐標(biāo)表達，形式極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表達，就變得十分簡樸且便于解決，在此基礎(chǔ)上解決平面解析幾何問題也變的極其簡樸。通過探究極坐標(biāo)在平面解析幾何中的廣泛應(yīng)用，使我們能夠清晰的認識到，用極坐標(biāo)來解決某些平面解析幾何問題和某些高等數(shù)學(xué)問題比用直角坐標(biāo)含有很大的優(yōu)越性，故本文對其進行了初步探討。國內(nèi)外研究動態(tài)，不僅在數(shù)學(xué)理論方面，諸多學(xué)者對極坐標(biāo)以及極坐標(biāo)方程做了進一步探究，并且在如物理、電子、軍事等領(lǐng)域，諸多學(xué)者對極坐標(biāo)也有較深的研究。由此看來，極坐標(biāo)已應(yīng)用到各個領(lǐng)域。1.1極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一種定點，叫作極點，引一條射線，叫做極軸，再選定一種長度單位和角度的正方向(普通取逆時針方向)。對于平面內(nèi)任意一點，用表達線段的長度，表達從到的角度，叫點的極徑，叫點的極角，有序數(shù)對就叫點的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫極坐標(biāo)系，記作．若點在極點，則其極坐標(biāo)為=0，能夠取任意值。圖1-1圖1-2如圖1-2，此時點的極坐標(biāo)能夠有兩種表達辦法：(1)＞0，(2)＞0，同理，也是同一種點的坐標(biāo)。又由于一種角加后都是和原角終邊相似的角，因此一種點的極坐標(biāo)不唯一。但若限定，，那么除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就能夠一一對應(yīng)了。1.2曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中，曲線能夠用含有這兩個變數(shù)的方程來表達，這種方程叫曲線的極坐標(biāo)方程。求曲線的極坐標(biāo)方程的辦法與環(huán)節(jié)：1°建立適宜的極坐標(biāo)系，并設(shè)動點的坐標(biāo)為；2°寫出適合條件的點的集合；3°；4°化簡所得方程；5°證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程：圖1-3過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，以焦點為極點，的反向延長線為極軸，建立極坐標(biāo)系。設(shè)是曲線上任意一點，連結(jié)，作⊥，⊥，垂足分別為．那么曲線就是集合.設(shè)焦點到準(zhǔn)線的距離，得即這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程。其中當(dāng)時，方程表達橢圓，定點是它的左焦點，定直線是它的左準(zhǔn)線。時，方程表達開口向右的拋物線。時，方程只表達雙曲線右支，定點是它的右焦點，定直線是它的右準(zhǔn)線。若允許，方程就表達整個雙曲線。1.3極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相似的長度單位，設(shè)是平面內(nèi)任意一點，其直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)是，從點作⊥，由三角函數(shù)定義，得.圖1-4進一步有注：在普通狀況下，由擬定角時，可根據(jù)點所在的象限取最小角。2極坐標(biāo)在平面解析幾何中的應(yīng)用2.1極坐標(biāo)法求到定點的線段長度解析幾何中涉及到某定點的線段長度時，能夠考慮運用極坐標(biāo)法求解。但是絕大多數(shù)解析幾何問題中題設(shè)條件是以直角坐標(biāo)方程形式給出的，在求解過程中運算繁瑣復(fù)雜，將這類問題轉(zhuǎn)化為用極坐標(biāo)方程求解，十分簡潔，收到良好的效果。巧設(shè)極點，建立極坐標(biāo)系是解決問題的核心。2.1.1以定點為極點如果題設(shè)條件與結(jié)論中，涉及到過某定點的線段長度問題，應(yīng)當(dāng)取該點為極點，先將直角坐標(biāo)原點移動到點，施行平移公式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式，化普通方程為極坐標(biāo)方程求解。例1設(shè)等腰的頂角為，高為，在 內(nèi)有一動點，到三邊的距離分別為，并且滿足關(guān)系，求點的軌跡。圖2-1解:如圖2-1所示,覺得極點,∠的平分線為極軸,建立極坐標(biāo)系，設(shè)點極坐標(biāo)為,則由得化簡得化成直角坐標(biāo)方程為這是覺得圓心，覺得半徑的圓，所求的軌跡是該圓在等腰內(nèi)部的部分。2.1.2以原點為極點如果題設(shè)條件或結(jié)論中涉及到直角坐標(biāo)系原點的線段長度時，應(yīng)選用原點為極點，應(yīng)用互化公式，將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程求解。例2已知橢圓，直線:，是上一點，射線交橢圓于，又點在上，且滿足，當(dāng)點在上移動時，求點的軌跡方程，并闡明軌跡是什么曲線。解:如圖2-2所示，覺得極點，為極軸，建立極坐標(biāo)系。則由互化公式知橢圓的極坐標(biāo)方程為(1)直線的極坐標(biāo)方程為(2)，則由(1)式知由(2)式知又,有因此即點的軌跡是覺得中心，長軸、短軸分別為且長軸平行與軸的橢圓，去掉坐標(biāo)原點。圖2-22.1.3以焦點為極點凡涉及圓錐曲線的焦半徑或焦點弦長度的問題，應(yīng)選用焦點為極點(橢圓左焦點，雙曲線右焦點)，應(yīng)用圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程求解。例3設(shè)為拋物線的頂點，為焦點，且為過的弦。已知。圖2-3解:如圖2-3所示，覺得極點，的反向延長線為極軸，建立極坐標(biāo)系。則拋物線的極坐標(biāo)方程為于是2.2極坐標(biāo)簡解與角有關(guān)的解析幾何題含有已知角或公共頂點的一類解析幾何題，運用極坐標(biāo)系（或化直角坐標(biāo)系為極坐標(biāo)系）進行解題，?？杀芊本秃?，化難為易，達成事半功倍的效果。下面分類舉例闡明。2.2.1含有已知角，角頂點為極點例4已知在∠的兩邊上，∠=，的面積為8，求的中點的軌跡方程。圖2-4解：覺得極點，為極軸，建立極坐標(biāo)系，如圖2-4所示，設(shè)，則即(1)由于因此(2)(3)得(4)(1)代入(4)并化簡，得即為所求。2.2.2含有已知角，坐標(biāo)軸平移，化角頂點為極點例5已知曲線：，頂點（2，0），點是上的動點，是覺得斜邊的等腰直角三角形，頂點按順時針排列，為坐標(biāo)原點，求的最大值及點的坐標(biāo)。圖2-5解:曲線化為：，以點為新坐標(biāo)系原點，則曲線為以點為極點，軸的正方向為極軸，建立極坐標(biāo)系。如圖2-5所示，則曲線為(1)設(shè)，則(2)(2)代入(1)得即因此點的軌跡方程為即(3)故當(dāng)過（3）的圓心時，的最大值為，此時點的坐標(biāo)為.2.3極坐標(biāo)法證明幾何定理在平面幾何證明中，極坐標(biāo)法是一種重要的辦法，應(yīng)用十分廣泛，下面以部分平面幾何中出名定理為例，談?wù)剺O坐標(biāo)法在證明中的應(yīng)用。2.3.1應(yīng)用圓心是，半徑是的圓的方程來證明例6求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積（托列迷定理）。證明：如圖2-6，覺得極點，的延長線為極軸建立極坐標(biāo)系。設(shè)圓的半徑為，則：.、、三點都在上，另由正弦定理得圖2-62.3.2應(yīng)用極點在圓上，圓心為的方程證明例7自圓上一點引三弦，并以它們各自為直徑畫圓。求證：所畫三圓的其它三交點共線（沙爾孟定理）。圖2-7證明：如圖2-7,分別是的直徑，分別是的交點，覺得極點，的延長線為極軸建立極坐標(biāo)系，為簡便計，設(shè)，極軸與的交角分別為，則因此（1）（2）（3）設(shè)，則由（1）、（2）得取，得，代入（1）中，得.點坐標(biāo)為.同理應(yīng)用輪換得點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為.顯然三點坐標(biāo)滿足法線式方程故三點共線，命題獲證。2.3.3應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程、兩點或直線方程和法線式方程證明例8求證：三角形外接圓上任