專題28 數(shù)列求和十大題型匯總（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題28數(shù)列求和十大題型匯總題型1倒序相加法 1題型2分組求和法 2題型3分奇偶型的分組求和法 4題型4等差型裂項相消法 6題型5分子不是1型裂項相消 8題型6指數(shù)型裂項相消 9題型7“和”型裂項相消 11題型8無理型裂項相消 12題型9錯位相減法 13題型10含有（-1）n并項求和法 15題型1倒序相加法倒序相加法∶如果一個數(shù)列{am}與首末兩端等"距離"的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.【例題1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求證：函數(shù)fx的圖象關(guān)于點1(2)求S=f-2022【變式1-1】1.（2023秋·河北·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an各項都不為0，a1=2，a2=4，an的前(1)求an(2)若bn=a1Cn1【變式1-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知Ax1,y2、Bx2,y(1)求x1+x(2)已知S1=0，當(dāng)n≥2時，Sn=f12+f2n+f3n+???+fn-1n，設(shè)an=【變式1-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)fx=lg20-10x1+x(1)求證：fx+f1-x(2)記數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列Snanan+1的前n項和為T【變式1-1】4.（2022秋·福建三明·高三三明一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=12x2+12x，數(shù)列（1）求數(shù)列an（2）若函數(shù)gx=4x4x+2【變式1-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=1+ln1-xx（1）計算fx（2）求數(shù)列an（3）若b1=12，bn=1an+1an+1+1題型2分組求和法【例題2】（2022秋·四川廣安·高三廣安二中?？计谥校┮阎獢?shù)列an滿足a1=2,1a(1)求數(shù)列an和b(2)記cn=an2n+2+b【變式2-1】1.（2023秋·廣東廣州·高三廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an為非零數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列1an+n的前n【變式2-1】2.（2023秋·廣東廣州·高三廣州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列an中，已知an+1+(1)求證：an(2)求數(shù)列an的前n項和S【變式2-1】3.（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足：a1=2(1)求數(shù)列an(2)若bn=1+an?sinnπ2n∈【變式2-1】4.（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a2(1)求an(2)記bn=-1nS【變式2-1】5.（2022秋·廣東深圳·高三北師大南山附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1=1，(1)求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列bn滿足b1=1，b2=2，bn+【變式2-1】6.（2023秋·天津?qū)幒印じ呷旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)校考期末）已知數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，且a1+a2(1)求an和b(2)令dn=b(3)記cn=1a2n-1a2n+3,n=2k-1(2【變式2-1】7.（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=12(1)求數(shù)列an(2)證明：a2題型3分奇偶型的分組求和法1.如果一個數(shù)列可寫成Cn=an±bn的形式，而數(shù)列{an},{2.如果一個數(shù)列可寫成cn=【例題3】（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足(1)記bn=a2n，求出(2)求數(shù)列an【變式3-1】1.（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列an滿足ana(1)求an(2)設(shè)bn=an,n為奇數(shù)b【變式3-1】2.（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，b1=2a1=2，a(1)求an和b(2)證明：i=12n【變式3-1】3.（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn滿足a1=1，a3=5，b2(1)求數(shù)列an和b(2)記cn=1anan+2,n=2k-1a(3)記dn=32-1n-1bn-1，其前n項和為【變式3-1】4.（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足2a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=an,n為奇數(shù)【變式3-1】5.（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an,n為偶數(shù)log2a【變式3-1】6.（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1(1)求a2(2)設(shè)bn=a(3)求數(shù)列an的前n項和S題型4等差型裂項相消法等差型：=1\*GB3①1n(n+k)==2\*GB3②1(kn-1)(kn+1)【例題4】（2023秋·福建三明·高三三明一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=-12(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列1an的前n項和為Sn【變式4-1】1.（2023秋·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在數(shù)列an中，a1=3，a(1)求an(2)記Sn為數(shù)列1an【變式4-1】2.（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記遞增的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S5(1)求an和S(2)設(shè)bn=5an【變式4-1】3.（2023·河南·模擬預(yù)測）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a2(1)求an(2)設(shè)bn=1an【變式4-1】4.（2023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和S(1)求an(2)令bn=1an2-1【變式4-1】5.（2023秋·吉林長春·高三長春市第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an是公比q>1的等比數(shù)列，前三項和為39，且a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=1log3a2n-1【變式4-1】6.（2022秋·天津濱海新·高三塘沽二中?？计谥校┮阎獢?shù)列an滿足a1=1，2an+1an+a(1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列；并求數(shù)列a(2)若存在n∈N+，使不等式a1【變式4-1】7.（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)正項數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足2S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)Ti=1+題型5分子不是1型裂項相消【例題5】（2023秋·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，(1)記cn=an+1Sn?(2)若Sn=2an+14-【變式5-1】1.（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列an各項均為正數(shù)，an的前n項和記作Sn，已知S(1)求an(2)設(shè)bn=tan【變式5-1】2.（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)Sn為公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2，a(1)求{a(2)設(shè)bn=4n2【變式5-1】3.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an前n項和Sn，a1=1，滿足(1)求數(shù)列an(2)記bn=n+1SnSn+2，設(shè)數(shù)列b【變式5-1】4.（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列an的前n項之和為Sn，且滿足：(1)求an(2)設(shè)bn=a【變式5-1】5.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的首項a1=1，其前n項和為Sn，且(1)求Sn(2)設(shè)bn=an+1Sn?題型6指數(shù)型裂項相消指數(shù)型：（a【例題6】（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，(1)求證數(shù)列an-2為等比數(shù)列，并求數(shù)列an(2)若數(shù)列2n+1an【變式6-1】1.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=log2an2-n【變式6-1】2.（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列an和等差數(shù)列bn均為遞增的數(shù)列，其前n項和分別為Sn，Rn，且滿足：a1=2，(1)求數(shù)列an，b(2)若cn=anb【變式6-1】3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an，Sn是數(shù)列an的前n項和，滿足Sn=n2；數(shù)列bn是正項的等比數(shù)列，Tn是數(shù)列b(1)求數(shù)列an和b(2)記cn=6n+13anan+22n+1，?n為奇數(shù)【變式6-1】4.（2022·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┮阎獢?shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=13n+11-a【變式6-1】5.（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求an(2)求證：數(shù)列an+1SnSn+1【變式6-1】6.（2023·全國·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知an是各項均為正數(shù)的數(shù)列，設(shè)cn=log3an(1)求數(shù)列an(2)記dn=an?2n【變式6-1】7.（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，且a3-1是a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(3-2n)2n-1an題型7“和”型裂項相消通項裂項為“+”型：可通過分離常數(shù)，或者公式a+bab【例題7】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列an的首項為1，公差d≠0，前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)令bn=n【變式7-1】1.（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記Sn為數(shù)列an的前n項和，且a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=-1n+1?an【變式7-1】2.（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn(1)求an(2)設(shè)bn=log3an2【變式7-1】3.（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，n(1)求數(shù)列bn(2)設(shè)cn=log12bn+1【變式7-1】4.（2023秋·天津和平·高三耀華中學(xué)校考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列an的公比q>1，若a2+a3+a4=14(1)求數(shù)列an和b(2)記cn=bnan，求數(shù)列(3)記dn=-1【變式7-1】5.（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=1(1)證明：an+1是等比數(shù)列，并求(2)令bn=(-1)n(3n+2)【變式7-1】6.（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列an滿足a1=2(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=-1n84n2-1題型8無理型裂項相消eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))【例題8】（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為S(1)求Sn(2)求1S【變式8-1】1.（2023秋·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列an中，a1=2(1)求數(shù)列an(2)記bn=2nan-1+a【變式8-1】2.（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)各項均不為零的數(shù)列an的前n項和為Sn,a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=1題型9錯位相減法錯位相減法∶如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解.【例題9】（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足(1)求數(shù)列an(2)若bn=-12n-1，令cn=a【變式9-1】1.（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a1=2，且n(n+1)(1)求數(shù)列{an(2)設(shè)bn=a1?【變式9-1】2.（2023秋·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a2=1，設(shè)Sn為(1)求{a(2)求數(shù)列an+12n的前【變式9-1】3.（2023秋·福建三明·高三三明一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)an是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn=nan(1)求an和b(2)記Sn和Tn分別為an和bn的前n項和，求【變式9-1】4.（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)設(shè)Tn=a【變式9-1】5.（2023秋·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列cn滿足cn=【變式9-1】6．（2022秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）在①數(shù)列an為等比數(shù)列，且a1+a2=6，a1a2已知數(shù)列an(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn為非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，S2n+1=b題型10含有（-1）n并項求和法【例題10】（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a3(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=-1nan【變式10-1】1.（2023秋·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1,(1)若λ=0，證明an(2)若λ≠0，且an是等比數(shù)列，求λ的值以及數(shù)列(-1)nlog2a【變式10-1】2.（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，且a1為a2與(1)求數(shù)列an(2)記bm為數(shù)列1an落在區(qū)間0,4m-1【變式10-1】3.（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在①a2,a5,a14問題：已知各項均是正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(-1)nan，求數(shù)列注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．1.（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的公差不為零，其前n項和為Sn，且a2是a1和(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足a1b2.（2023·四川宜賓·統(tǒng)考二模）記Sn為數(shù)列{an}的前(1)求數(shù)列{a(2)若bn=2n?an3.（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列{an}中，a(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1an}的前4.（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx滿足fx+f1-x=2(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足b1=23，bn=1an?an+15.（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，且a3-1是a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(3-2n)2n-1anan+1，數(shù)列b6.（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的首項a1=1，其前n項和為Sn，從①an=2S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an+1Sn?Sn+1（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.7.（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項和S(1)求數(shù)列{a(2)記bn=a8.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二