數(shù)一線性代數(shù)第五章

5章矩陣的特征值和特值向量—特征值和特征向量（一）矩陣的特征值和特征向量的概念（二）特征值與特征向量的性質(zhì)（三）可以進一步延伸的公式★二矩陣的相似（一）相似的概念（二）相似的性質(zhì)（三）相似關(guān)系可進一步延伸的公式三矩陣的相似對角化問題（一）矩陣可對角化的概念（三）將nA★四實對稱矩陣（一）實對稱矩陣的性質(zhì)★（二）實對稱矩陣的對角化問題（三）

—（一）矩陣的特征值和特征向量的概念定義An階方陣，若存在一個數(shù)AXX存在非零解AXA的屬于的特征向量（1）AXX中，X是非零列向量，這一點非常重要.X是個零向量，則XAXX平行.而兩個向量平行AXXAXX的倍.名（1）特征方程是的n次方程.A的n個特征值1, ,n就是特征方程EA（在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)）n個根（包含重根，因此特征值又稱為特征根定義fA(名（1）特征方程是的n次方程.A的n個特征值1, ,n就是特征方程EA（在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)）n個根（包含重根，因此特征值又稱為特征根撥（2）Ai的特征向量，可以用求解：(iEAX0來計算由于iEA0，因此齊次方程(iEAX0必有無窮多個解（即有非零解，其每一minr(iEA（即方程(iEAX0的基礎(chǔ)解系中向量的個數(shù)mi為i的幾何重數(shù)，而特征值ini稱為i的代數(shù)重數(shù)（二）特征值與特征向量的性質(zhì) ,n)為n階矩陣A(aij)nn的特征值,則有 （1）iaij(aii稱為A的跡，記為tr(AiA （2）A的不同特征值的特征向量必線性無關(guān)，這個性質(zhì)包含兩層內(nèi)容

s是A的兩兩不等的特征值，X1

,

是A的分別屬于 ,Xs必線性無關(guān) X11,X12

是 的分別屬X11,X12 必線性無關(guān)中性質(zhì)（1）A中參數(shù)的情形.由A0A必至少有一個零特征值（三）nfAX0f(0X0f(xk

AkXAkXX(kAtEX0k0tX0k,t為常數(shù)AA1X1XivA*XAA1X X②(P1AP)(P1X0)ivA*XAA1X X(2)nAfAOf(00撥fAOf(0Af()0中求出的是特征值所可能取值的范圍二（一）定義nABPP1APBA（二）nAA~AA~BB~C則A~C定理相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值撥A~B，則AB，這也是考研題的?？伎键c之一.A~B(P1AP)(P1X)(P1X) （三）相似關(guān)系可進一步延伸的公式nABA~BAT~BTfA)~f(BfAf(BAB的同一個矩陣多項式AB,EAEB,tr(A)=tr(B),r(A)r(B),AB三（一）定義nAnPP1AP（為對角矩陣）成立，則稱A可相似對角化，簡稱A可對角化，否則就稱A不可對角化.（二）定理若n階矩陣A可以對角化，則對角矩陣的n個主對角線元素必是A的n個特 ,n（包括重根其相似變換矩陣P的n個列向量X1,X2 ,Xn是A的

nX1X2

,

線性無關(guān)即有：P1AP,其中

,P(X,X ,X

jj

j(j1, ,n)定理nAAn個線性無關(guān)的特征向量A可對角化的一個充分條件，而不是必要條件.條件“An個兩兩A可對角化的一個充分條件，而不是必要條件.條件“An個兩兩一個定理中的“有n個線性無關(guān)的特征向量”的條件.設(shè)iAni（即i是ni重特征值mi（i的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)，也是齊次線性方程組(1EAX0minr(iEAmini.的情形,但并非是有重特征值的矩陣一定不能對角化特征值，其幾何重數(shù)都恰好等于其代數(shù)重數(shù)n的情形,但并非是有重特征值的矩陣一定不能對角化特征值，其幾何重數(shù)都恰好等于其代數(shù)重數(shù)第一步：令f()EA0，求出A的全部特征值：1, ,s(1sn)，對每一 ,s)P(X11,X12， PAP 撥P是不唯一的，但是唯一的（若特征跟從小到大排列好了，其主對角線元素必是A的全部特征值.四（一）（二）實對稱矩陣的對角化問題一個相似變換矩陣P，使P1AP成立，也就是說，對于實對稱矩陣的每一個特征值使Q1AQQTAQ（三）前兩步和一般情形一樣

ii ,qim(i1, ,s)，把這s組特征向量合起來，必共有n個特征向量，i ,q2m ,qsm)(q1,q2 ,qn)Q 則Q Q1AQQTAQ

—求矩陣的特征值和特征向量1．[99，一(4)|3分]設(shè)n階矩陣A的元素全為1，則A的n個特征值 【分析】【詳解】n，0，0，…，0(n－1個

【得分率

【評注】aac2．[99，十|8分]Ab03，其行列式|A|＝－1A【分析】A*A的特征值和特征向量的問題，從而確定A中的參數(shù)及A*.【詳解】【得分率】

1 c 故有λ 310

得5b3

*≠0(因|A|＝－1，有A的特征 A*的特征值λ≠0)，由(1)、(3)式得ac，再0得λ0＝1，由(2)

λ0 再由ac，b＝－3，且|A|＝－1 a

3 31 AA*A*α＝λ0αAAA*＝|A|EA的特3．[03，九|10分]A

2,P

1,

－1A*PB＋2E 2

0 【分析】AA*，BB＋2E的特征值，最【詳解】【得分率】 2 27 07≠0，故A是可逆矩

其特征值 ξ＝λ ξ＝λλBP－1ξ＝ λ又 (*)＋(**)，得B2EP－1ξ＝

2 由1

＝(λ－7)12

＝(λ－7)0

故A有特征值 當(dāng)λ＝7時，由(λE－A)x＝ 2 2 4 當(dāng)λ＝1時，由(λE－A)＝ 2

＝0，解得

2 由|A|＝7，P－1＝

B＋2E有特征值μ1＝2＝3，μ2＝μ3＝ 0

1

0 11k1

1 11 0110

11

1 001k2η2＋k3η3 0 1 【評注】 2，P－1＝ 0

5

0

1 0 0B＝P－1A*P＝ 4，B＋2E＝ 3 5B＋2E

若能觀察出A 2

本題是求矩陣的特征向量，不是求可逆矩陣P，因為特征向量是(λE－A)x＝04．[08，一(6)|4分]A是三階實對稱矩陣，如果二次曲面方程xy

y＝1交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖，則A的正特征值的個數(shù)是

【分析】【詳解】應(yīng)選 【得分率】x2

b2 【評注】5．[08，二(13)|4分]設(shè)A是二階矩陣，α1，α2是線性無關(guān)的二維列向量，且Aα1＝0，Aα2＝2α1＋α2，則A的非零特征值是 【分析】【詳解】應(yīng)填 【得分率】 A(α，α)＝(0，2α＋α)＝(α，α) 1

，α

線性無關(guān)，P＝(α，α) 2 P1AP＝

11 A和上三角陣 相似，有相同的特征值 λ2＝1，故A的非零特征值為 【分析】1【詳解】應(yīng)填 【得分率】βαT有非零特征值λ＝2.(對應(yīng)的特征向量為β≠0)，故應(yīng)填2. (A－2E)A＝O，A≠O，(A－2E)X＝0有非零解，|A－2E|＝0 2 222332 22233 b3

故 【評注】nA1AX＝0n－1個線性無關(guān)解，它們均是對應(yīng)于λ＝0的特征向量，故λ＝0An－1A

(C)

【分析 看清題目，說清每個已知條件的作用，即可得出結(jié)論【詳解 應(yīng)選 【得分率】解：(1)A為四階實對稱矩陣，AA的全部 A2＋A＝0A的特征值滿足λ2＋λ＝λ(λ＋1)＝0，A 由上述三個條件知，應(yīng)選 【評注】由(2)知，A的特征值取值范圍是－1，01A的特征值，故可排i記n階矩陣A＝αβT.求：

bA*λαb 1 二關(guān)于相似及相似對角化的問題12xn別為x和y，記成向 ynxn1 xn xn1 xn與y求 y

＝Ayn1 n

n1 n 驗證η1＝，η2＝

x1

xn1時， 2y 1 21 n12xn1 xn與【分析】仔細(xì)讀懂題意，建立 y的遞推關(guān)系式并表示成矩陣形式，然n1 nxn1

yy【詳解】【得分率】5x與1x＋yx與工和非熟練工所占百分比為6x

65

21

y n

n

xn1

x n＋1年一月，有

5

，整理得

10

n

y

yn1

x3

56

10 5

xn1

2 5

3y

3n1

5

n

511

1，由|P|＝

1Aη＝

254＝4＝ηηA對應(yīng)于特征值λ＝1

52Aη＝ 5

1

η是矩陣 1 1

5

21＝η2，故

xn1＝Axn＝A2xn1＝…＝Anx1 y yn1 n n1—

1— 0—

2

1

，Λn＝ 210n110n1 2

1 4 4

5 5 1 1 2 2 1 1n1 1n x 42

442

1832n1 2 因此 y＝ 1 1n1

10 1nn1 1 1 1 2 2 2 2 2 12：將2η，η1

22 2

，解

1x11x21 1＝5，2＝10，故

xn1

2nx1 n1η

3η

1 所以 ＝A ＝A5 102＝1η1 1n 1 31n n ＋ n 1021 10 1

2 2滿足A3x＝3Ax－2A2x.計算行列式ABPB.A沒有具體給出，因而應(yīng)從定量不是A的特征向量，這一點不要混淆．【詳解】【得分率】A(x，Ax，A2x)＝(Ax，A2x，A3x)＝(Ax，A2x，3Ax－2A2x)＝ 010 3100 所以B＝

03 0

03 0 :A(A2x＋2Ax－3x)＝0(A2x＋2Ax－3x)，－3x是屬于λ＝0的特征向量 類似地，由知λ＝1AA2x＋3Ax；λ＝－3A的特征值，A2x－Ax是特征向量．A有三個不同的特征值1，－3，0，也就有三個線性無關(guān)的特征向量，依次是 2

1于是所以

＝

1

1

＝ 0

03. 4:

3c1 c3

(Ax，Ax，Ax)＝(x，Ax，A

3AxaxbAxcA2

c1 c3即

2xaxb2Axc2A2 2A3xaxbAxcA2x3Ax2A2 ax(b1)AxcA2x 于是a2xb2Axc21A2xa(b3)Ax(c2)A2x a0,b0,c a0,b3,c

3 A＋E的特征值是2，－2，1.于是|A＋E|＝2·(－2)·1＝－4.但是從A3x＝3Ax－2A2x?(A3＋2A2－3A)x＝0得|A3＋2A2－3A|＝0?|A||A－E||A＋3E|＝0.A的特征值就是0，1，－3，這一點要理解清楚．3．[02，十|8分]A，B【分析】(1)【詳解】【得分率】故 A，B有相同的特征多項式

0，B＝

1，則有|λE－A|＝λ2＝|λE－B|，A，B 的逆命題不成立 A，B有相同的特征值(包括重數(shù))，A，B將相似于同一個對角陣，設(shè)特征值為λ1，A～

n【評注】2002年考得比較差的考題之一．關(guān)于(1)是若A～B，則A與B有相同的特征值，但A與B的特征值相同時，A和B不一定相似．考題要求考生舉出一個2階矩陣的反例．A～

2ABA，BΛ 2與10， 0與 0， 0與

4．[04，三(21)|9分]設(shè)矩陣A＝

5【分析】AA可相似對角化?An個線性無關(guān)特征向量，來討論A是否可相似對角化．【詳解 【得分率

1

0

0

1

2

3

＝(λ－2)

3＝(λ－2)

a

重根，則λ2－8λ＋18＋3a是一個完全平方． a＝－2的特征值為2，2，6，矩陣2E－A＝

331，故

3

3的秩為2，故 2，亦可求2

0

1 設(shè)n矩陣A＝ 三Ax＝0α1，α2AA的特征值、特征向量聯(lián)系起A的特征值和特征向量，再將重特征值的特征向量正交化，將全體特征向量單位化，求得正交變換矩陣Q.【詳解 【得分率】向量，α1，α2線性無關(guān)，故λ＝0至少是A的二重特征值．A1

33， 33，13應(yīng)于λ＝0的全部特征向量． (2)α1，α2β1＝α1＝2 1 2 β2＝α2βββ1＝1 2＝ β2＝0 1 1 1

21 1 6 3

11

，β＝ ，α 311 11 6 3 1 3 Q＝[β，β，α

QAQ＝Λ，Λ＝

1 3 1 3

【評注】(1)中將題設(shè)條件與A的特征值、特征向量聯(lián)系起來很重要，這要依靠(2)中的正交化是標(biāo)準(zhǔn)做法，也可將λ＝0α1，α2中舍去一個，而利用正T，設(shè)ξ2＝[x1，x2，x3]T與α2，α3正交(α1，α3已正交)，得{(ξ2，α1)＝－x1＋2x2－x3＝0，ξ2,α1x12x2x3

ξ，α，α(ξ,α)xxx 【分析】(Ⅰ)α1B的特征向量，A是實對稱矩陣，B求B，其中B＝PΛP－1.【詳解】【得分率】 ＝1，λ2＝2，λ3＝－2時，Bλ′1＝f(λ′1)＝－2，λ′2＝f(λ′2)＝1，λ′3＝fBλ′1＝－2＝[1，－1，1]T，可取對應(yīng)λ′2＝1的特征向量為α2＝[1，1，0]T，取對應(yīng)λ′3＝1的特征向量為 6Q＝

1