高考物理計算題專項突破專題21之16 電磁感應(yīng)中的桿與導(dǎo)軌問題（原卷版）

專題16電磁感應(yīng)中的桿與導(dǎo)軌問題①磁通量公式：；②磁通量的變化量：；磁通量的變化率：；③法拉第電磁感應(yīng)定律公式：；（為線圈匝數(shù)）④感應(yīng)電流與感應(yīng)電動勢的關(guān)系：；⑤與線框有關(guān)的公式：；；；⑥恒流電路：。在解電磁感應(yīng)中的桿與導(dǎo)軌問題時，首先要找出等效電源，一般情況下，切割磁感線的導(dǎo)體是電源，等效電源之外部分為外電路，再畫出等效電路。其次要進行動力學(xué)分析：①對導(dǎo)體進行受力分析；②綜合牛頓第二定律、運動學(xué)公式以及電磁學(xué)的知識分析導(dǎo)體的加速度以及速度的變化。第三要分析導(dǎo)體運動過程中的能量轉(zhuǎn)化，從而確定是單棒（動量定理）模型還是雙棒模型（分析其受力情況，動量若守恒，則用動量守恒定律）。最后，根據(jù)以上的分析并結(jié)合已知量和待求量，列出方程求解。一、單桿模型1.當(dāng)時：如圖，質(zhì)量為，電阻不計的單桿以一定初速度在光滑水平金屬導(dǎo)軌上滑動，兩平行導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌電阻不計。【力學(xué)角度分析】桿以速度切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為，電流，安培力，桿做減速運動，有，當(dāng)時，，，桿保持靜止。【圖像分析】【能量角度分析】動能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能：。1.當(dāng)時：（1）金屬導(dǎo)軌水平光滑，單桿質(zhì)量為，電阻不計，兩平行導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌電阻不計。（如圖）【力學(xué)角度分析】S閉合時，桿受安培力，此時，桿速度感應(yīng)電動勢安培力?加速度，當(dāng)時，最大，且°【圖像分析】【能量角度分析】電源的電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能及桿的動能。（2）金屬導(dǎo)軌水平光滑，單桿質(zhì)量為，電阻不計，兩平行導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌電阻不計，拉力F恒定。（如圖）【力學(xué)角度分析】開始時，桿速度?感應(yīng)電動勢??安培力，由知，當(dāng)時，最大，有?！緢D像分析】【能量角度分析】F做的功一部分轉(zhuǎn)化為桿的動能，一部分產(chǎn)生焦耳熱：。（3）金屬導(dǎo)軌水平光滑，單桿質(zhì)量為，電阻不計，兩平行導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌電阻不計，拉力F恒定。（如圖）【力學(xué)角度分析】桿速度?感應(yīng)電動勢，經(jīng)過Δt速度為ν+Δv，此時感應(yīng)電動勢，△t時間內(nèi)流入電容器的電荷量，電流，安培力，，可得所以桿以恒定的加速度做勻加速運動。【圖像分析】【能量角度分析】F做的功一部分轉(zhuǎn)化為動能，部分轉(zhuǎn)化為電能。二、雙桿模型1.光滑的平行金屬導(dǎo)軌如圖，質(zhì)量，電阻長度?！玖W(xué)角度分析】桿b受安培力做變減速運動，桿a受安培力做變加速運動，穩(wěn)定時，兩桿的加速，度均為零，以相等的速度勻速運動。【圖像分析】【動量角度分析】兩桿組成的系統(tǒng)動量守恒。2.光滑不等距的平行金屬導(dǎo)軌如圖，質(zhì)量，電阻長度。【力學(xué)角度分析】桿b受安培力做變減速運動，桿a受安培力做變加速運動，穩(wěn)定時，兩桿的加速度均為零，桿b、a的速度之比為1：2?！緢D像分析】【動量角度分析】兩桿組成的系統(tǒng)動量不守恒。對單桿可以用動量定理。3.光滑的平行金屬導(dǎo)軌（初速度為0，一桿受恒定水平外力）如圖，質(zhì)量，電阻長度。【力學(xué)角度分析】開始時，兩桿做變加速運動；穩(wěn)定時，兩桿以相同的加速度做勻加速運動?！緢D像分析】【動量角度分析】兩桿組成的系統(tǒng)動量不守恒。對單桿可以用動量定理。【能量角度分析】F做的功轉(zhuǎn)化為兩桿的動能和內(nèi)能，即。典例1：（2022·遼寧·高考真題）如圖所示，兩平行光滑長直金屬導(dǎo)軌水平放置，間距為L。區(qū)域有勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向豎直向上。初始時刻，磁場外的細金屬桿M以初速度向右運動，磁場內(nèi)的細金屬桿N處于靜止?fàn)顟B(tài)。兩金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好且運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直。兩桿的質(zhì)量均為m，在導(dǎo)軌間的電阻均為R，感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場及導(dǎo)軌的電阻忽略不計。（1）求M剛進入磁場時受到的安培力F的大小和方向；（2）若兩桿在磁場內(nèi)未相撞且N出磁場時的速度為，求：①N在磁場內(nèi)運動過程中通過回路的電荷量q；②初始時刻N到的最小距離x；（3）初始時刻，若N到的距離與第（2）問初始時刻的相同、到的距離為，求M出磁場后不與N相撞條件下k的取值范圍。典例2：（2021·海南·高考真題）如圖，間距為l的光滑平行金屬導(dǎo)軌，水平放置在方向豎直向下的勻強磁場中，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，導(dǎo)軌左端接有阻值為R的定值電阻，一質(zhì)量為m的金屬桿放在導(dǎo)軌上。金屬桿在水平外力作用下以速度v0向右做勻速直線運動，此時金屬桿內(nèi)自由電子沿桿定向移動的速率為u0。設(shè)金屬桿內(nèi)做定向移動的自由電子總量保持不變，金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，除了電阻R以外不計其它電阻。（1）求金屬桿中的電流和水平外力的功率；（2）某時刻撤去外力，經(jīng)過一段時間，自由電子沿金屬桿定向移動的速率變?yōu)?，求：（i）這段時間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；（ii）這段時間內(nèi)一直在金屬桿內(nèi)的自由電子沿桿定向移動的距離。典例3：（2021·湖北·高考真題）如圖（a）所示，兩根不計電阻、間距為L的足夠長平行光滑金屬導(dǎo)軌，豎直固定在勻強磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面向里，磁感應(yīng)強度大小為B。導(dǎo)軌上端串聯(lián)非線性電子元件Z和阻值為R的電阻。元件Z的圖像如圖（b）所示，當(dāng)流過元件Z的電流大于或等于時，電壓穩(wěn)定為Um。質(zhì)量為m、不計電阻的金屬棒可沿導(dǎo)軌運動，運動中金屬棒始終水平且與導(dǎo)軌保持良好接觸。忽略空氣阻力及回路中的電流對原磁場的影響，重力加速度大小為g。為了方便計算，取，。以下計算結(jié)果只能選用m、g、B、L、R表示。（1）閉合開關(guān)S。，由靜止釋放金屬棒，求金屬棒下落的最大速度v1；（2）斷開開關(guān)S，由靜止釋放金屬棒，求金屬棒下落的最大速度v2；（3）先閉合開關(guān)S，由靜止釋放金屬棒，金屬棒達到最大速度后，再斷開開關(guān)S。忽略回路中電流突變的時間，求S斷開瞬間金屬棒的加速度大小a。典例4：（2020·浙江·高考真題）如圖甲所示，在水平面內(nèi)，固定放置著間距為l的兩平行金屬直導(dǎo)軌，其間連接有阻值為R的電阻，電阻兩端連接示波器（內(nèi)阻可視為無窮大），可動態(tài)顯示電阻R兩端的電壓。兩導(dǎo)軌間存在大小為B、方向垂直導(dǎo)軌平面的勻強磁場。時一質(zhì)量為m、長為l的導(dǎo)體棒在外力F作用下從。位置開始做簡諧運動，觀察到示波器顯示的電壓隨時間變化的波形是如圖乙所示的正弦曲線。取，則簡諧運動的平衡位置在坐標(biāo)原點O。不計摩擦阻力和其它電阻，導(dǎo)體棒始終垂直導(dǎo)軌運動。（提示：可以用圖象下的“面積”代表力F所做的功）（1）求導(dǎo)體棒所受到的安培力隨時間t的變化規(guī)律；（2）求在0至0.25T時間內(nèi)外力F的沖量；（3）若時外力，求外力與安培力大小相等時棒的位置坐標(biāo)和速度。1．（2022·福建·泉州五中模擬預(yù)測）如圖（甲）所示，光滑的平行水平金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距l(xiāng)，在M點和P點間連接一個阻值為R的電阻，一質(zhì)量為m、電阻為r、長度也剛好為l的導(dǎo)體棒垂直擱在導(dǎo)軌上a、b兩點間，在a點右側(cè)導(dǎo)軌間加一有界勻強磁場，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面，寬度為d0，磁感應(yīng)強度為B，設(shè)磁場左邊界到ab距離為d?，F(xiàn)用一個水平向右的力F拉導(dǎo)體棒，使它從a、b處靜止開始運動，棒離開磁場前已做勻速直線運動，與導(dǎo)軌始終保持良好接觸，導(dǎo)軌電阻不計，水平力F-x的變化情況如圖（乙）所示，F(xiàn)0已知。求：（1）棒ab離開磁場右邊界時的速度v；（2）棒ab通過磁場區(qū)域的過程中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱Q；（3）d滿足什么條件時，棒ab進入磁場后一直做勻速運動。2．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）2022年6月17日，我國第三艘航母“福建艦”正式下水，如圖甲所示，“福建艦"配備了目前世界上最先進的“電磁彈射”系統(tǒng)。“電磁彈射”系統(tǒng)的具體實現(xiàn)方案有多種，并且十分復(fù)雜。一種簡化的物理模型如圖乙所示，電源和一對足夠長平行金屬導(dǎo)軌M、N分別通過單刀雙擲開關(guān)K與電容器相連。電源的電動勢E=10V，內(nèi)阻不計。兩條足夠長的導(dǎo)軌相距L=0.1m且水平放置處于磁感應(yīng)強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面且豎直向下，電容器的電容C=10F。現(xiàn)將一質(zhì)量為m=0.1kg，電阻r=0.1Ω的金屬滑塊垂直放置于導(dǎo)軌的滑槽內(nèi)，分別與兩導(dǎo)軌良好接觸。將開關(guān)K置于a讓電容器充電，充電結(jié)束后，再將開關(guān)K置于b，金屬滑塊會在電磁力的驅(qū)動下運動。在電容器放電過程中，金屬滑塊兩端電壓與電容器兩極板間電壓始終相等。不計導(dǎo)軌和電路其他部分的電阻，不計電容器充、放電過程中電磁輻射和導(dǎo)軌產(chǎn)生的磁場對滑塊的作用，忽略金屬滑塊運動過程中的一切摩擦阻力。（1）求在開關(guān)K置于b瞬間，金屬滑塊加速度a的大小；（2）求金屬滑塊的最大速度v的大小。3．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖1所示，在豎直向下的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，兩根足夠長的平行光滑金屬軌道MN、PQ固定在水平面內(nèi)，相距為L。一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab垂直于MN、PQ放在軌道上，與軌道接觸良好。軌道和導(dǎo)體棒的電阻均不計。（1）如圖2所示，若軌道左端MP間接一阻值為R的電阻，導(dǎo)體棒在水平向右的恒力F的作用下由靜止開始運動。求經(jīng)過一段時間后，導(dǎo)體棒所能達到的最大速度的大小。（2）如圖3所示，若軌道左端MP間接一電動勢為E、內(nèi)阻為r的電源。閉合開關(guān)S，導(dǎo)體棒從靜止開始運動。a．若導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒存在大小為f的摩擦力，求經(jīng)過一段時間后，導(dǎo)體棒所能達到的最大速度的大小；b．若不計導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒間的摩擦，將圖3改為圖4所示結(jié)構(gòu)，并入電阻的阻值為R，且那么導(dǎo)體棒最后的速度大小為多少和流過電阻R的電流大?。?．（2022·廣東北江實驗學(xué)校模擬預(yù)測）小張同學(xué)設(shè)計了一款自動灑水裝置，其簡化原理圖如圖所示。平行導(dǎo)軌和固定在同一水平面內(nèi)，間距，右端連接的電阻，邊界MN的左側(cè)導(dǎo)軌光滑，且處在豎直向下、磁感應(yīng)強度的勻強磁場中，右側(cè)導(dǎo)軌粗糙且足夠長。在導(dǎo)軌上面擱置質(zhì)量不計的灑水盒，盒內(nèi)裝有質(zhì)量的水，灑水盒的底部固定一長度為、電阻、質(zhì)量的金屬桿，桿與邊界的相距，以桿的位置為坐標(biāo)原點，沿導(dǎo)軌方向建立x軸坐標(biāo)?，F(xiàn)在打開灑水盒開始灑水，同時施加水平向右的拉力，使灑水盒沿導(dǎo)軌開始做加速度的勻加速運動。已知盒中流出水的質(zhì)量與位置的關(guān)系式為：，當(dāng)盒中的水灑完或者桿經(jīng)過邊界時，則立即撤去拉力，整個過程桿與導(dǎo)軌始終接觸良好，忽略盒的寬度，桿和盒與右側(cè)導(dǎo)軌之間的動摩擦因數(shù)，重力加速度取。（1）求灑水盒停止運動時，金屬桿的位置坐標(biāo)；（2）若灑水盒中初始裝水的質(zhì)量為，求停止運

動時金屬桿的位置坐標(biāo)。5．（2022·四川內(nèi)江·三模）如圖，兩根平行光滑的金屬導(dǎo)軌M1N1P1和M2N2P2，由四分之一圓弧與水平兩部分構(gòu)成，導(dǎo)軌的末端固定兩根絕緣柱，弧形部分的半徑r=0.8m、導(dǎo)軌間距L=1m，導(dǎo)軌水平部分處于豎直向上、磁感應(yīng)強度大小為B=2T的勻強磁場中，兩根完全相同的金屬棒a、b分別垂直于導(dǎo)軌，靜置于圓弧頂端M1M2處和水平導(dǎo)軌中的某位置，兩金屬棒的質(zhì)量均為m=1kg、電阻均為R=2Ω?，F(xiàn)將金屬棒a由靜止釋放，沿圓弧導(dǎo)軌滑入水平導(dǎo)軌，此后，金屬棒b向右運動，在導(dǎo)軌末端與絕緣柱發(fā)生碰撞且無機械能損失，在金屬棒b接觸絕緣柱之前兩棒已勻速運動且未發(fā)生碰撞。金屬棒b與絕緣柱發(fā)生碰撞后，在距絕緣柱x=0.5m的AA2位置與金屬棒a發(fā)生碰撞，碰后停在距絕緣柱：x2=0.2m的A3A4位置。整個運動過程中金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計，g=10m/s2，不計空氣阻力。求：（1）金屬棒a剛滑人水平導(dǎo)軌時，受到的安培力大小；（2）金屬棒b與絕緣柱碰撞后到與金屬棒a碰撞前的過程中，整個回路產(chǎn)生的焦耳熱；（3）金屬棒a和b在碰撞過程中損失的機械能。6．（2022·江蘇省昆山中學(xué)模擬預(yù)測）水平面內(nèi)有兩根足夠長的平行光滑金屬導(dǎo)軌，間距為L，兩端分別通過開關(guān)接有電容為C的電容器和阻值為R的電阻，導(dǎo)軌間有垂直導(dǎo)軌平面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B。一質(zhì)量為m，電阻為R，長為2L的金屬棒AD與導(dǎo)軌垂直放置，A端恰好與導(dǎo)軌接觸，初始狀態(tài)如圖所示。開始時開關(guān)S1、S2均斷開，定值電阻也為R，其他電阻均不計，金屬棒始終與導(dǎo)軌接觸良好。（1）只閉合開關(guān)S2，讓金屬棒以初速度水平向右運動，求：開始運動時金屬棒兩端的電壓和整個運動過程中金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱。（2）若金屬棒的電阻不計，閉合開關(guān)S1、S2，讓金屬棒繞A端以角速度ω勻速轉(zhuǎn)過90°的過程中，求通過電阻R的電荷量。7．（2022·安徽淮北·二模）如圖所示，固定的平行金屬導(dǎo)軌由水平導(dǎo)軌和豎直放置的四分之一圓弧導(dǎo)軌組成，水平導(dǎo)軌足夠長，圓弧導(dǎo)軌半徑r=0.8m，導(dǎo)軌間距L=1.0m，水平導(dǎo)軌與圓弧導(dǎo)軌在底端平滑連接。整個裝置處于方向豎直向上的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度B=1T。導(dǎo)體棒PQ、MN的質(zhì)量分別為m1=2.0kg、m2=1.0kg，電阻分別為R1=3.0、R2=1.0，導(dǎo)體棒PQ與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)=0.4，先將MN鎖定在圓弧導(dǎo)軌頂端。對導(dǎo)體棒PQ施加一個水平向左、大小F=9N的恒力作用，使其沿水平導(dǎo)軌從靜止開始運動，經(jīng)過時間t=9s棒PQ恰好達到最大速度；然后將PQ棒鎖定，并解除MN棒的鎖定，同時給MN棒一個v=4m/s的豎直向下的初速度，該棒恰好能夠沿圓弧導(dǎo)軌一直勻速下滑。不計導(dǎo)軌電阻，導(dǎo)體棒MN、PQ與導(dǎo)軌始終垂直且保持良好接觸。重力加速度g取10m/s2。求：（1）導(dǎo)體棒PQ運動過程中達到的最大速度；（2）導(dǎo)體棒PQ從靜止達到最大速度經(jīng)過的位移；（3）導(dǎo)體棒MN沿圓弧導(dǎo)軌下滑的過程中，MN克服摩擦力做的功。8．（2022·上?！げ軛疃卸＃┤鐖Da，兩光滑金屬導(dǎo)軌MN、MN相距L平行放置，導(dǎo)軌平面與水平面成θ夾角，MM、NN間分別連接阻值為R的電阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場，磁場區(qū)域的寬度均為d，相鄰磁場間的無磁場區(qū)域的寬度均為s。一質(zhì)量為m、阻值為R的金屬棒ab跨放在兩導(dǎo)軌上，從磁場區(qū)域Ⅰ上邊界上方某處由靜止釋放，金屬棒下滑過程中始終垂直于導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好。導(dǎo)軌的電阻忽略不計，重力加速度為g。（1）若金屬棒能勻速通過磁場區(qū)域Ⅰ，求金屬棒靜止釋放處距區(qū)域Ⅰ上邊界的距離x1；（2）在（1）的條件下，求金屬棒通過區(qū)域Ⅰ的過程中產(chǎn)生的熱量Q；（3）若金屬棒在相鄰磁場間無磁場區(qū)域中運動的時間均為t，求金屬棒靜止釋放處與區(qū)域Ⅰ上邊界的距離x2；并在圖b中定性畫出其自靜止開始運動到區(qū)域Ⅲ下邊界過程中的v-t圖線。9．（2022·上海徐匯·三模）兩根足夠長、互相平行的光