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第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知
識(shí)
梳
理根式1.根式的概念及性質(zhì)2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):aras=_______;(ar)s=_______;(ab)r=_______,其中a>0,b>0,r,s∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念:函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,函數(shù)的定義域是R,a是底數(shù).ar+sarsarbr(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>10<a<1圖象定義域R值域_____________性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)________,即x=0時(shí),y=1當(dāng)x>0時(shí),________;當(dāng)x<0時(shí),________當(dāng)x<0時(shí),________;當(dāng)x>0時(shí),________在(-∞,+∞)上是________在(-∞,+∞)上是________(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增函數(shù)減函數(shù)[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]診
斷
自
測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指數(shù)函數(shù),故(3)錯(cuò).(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)錯(cuò).答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×答案C3.(新教材必修第一冊(cè)P119習(xí)題4.2T6改編)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是(
)A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.6x在R上單調(diào)遞減可得0.61.5<0.60.6<0.60=1,而c=1.50.6>1,∴b<a<c.答案CA.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)D.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).答案B5.(2020·河南名校聯(lián)盟調(diào)研)函數(shù)f(x)=ax-2020+2020(a>0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____.解析令x-2020=0,得x=2020,則y=2021,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2020,2021).答案(2020,2021)答案2考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算【例1】
化簡(jiǎn)下列各式:規(guī)律方法1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用法則計(jì)算,但應(yīng)注意:(1)必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加;(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí),先確定符號(hào),再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).【訓(xùn)練1】
化簡(jiǎn)下列各式:考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)已知實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足等式2020a=2021b,下列五個(gè)關(guān)系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)(2)若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.解析
(1)如圖,觀察易知a,b的關(guān)系為a<b<0或0<b<a或a=b=0.(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|2x-2|與y=b的圖象,如圖所示.∴當(dāng)0<b<2時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),從而函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn).∴b的取值范圍是(0,2).答案
(1)B
(2)(0,2)規(guī)律方法1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換得到.特別地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求解.【訓(xùn)練2】(1)函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(
)A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0(2)如果函數(shù)y=|3x-1|+m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.解析(1)由f(x)=ax-b的圖象可以觀察出,函數(shù)f(x)=ax-b在定義域上單調(diào)遞減,所以0<a<1.函數(shù)f(x)=ax-b的圖象是在f(x)=ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的,所以b<0.(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|3x-1|與y=-m的圖象,如圖所示.由函數(shù)y=|3x-1|+m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限,則y=|3x-1|與y=-m在第二象限沒(méi)有交點(diǎn),由圖象知m≤-1.答案(1)D
(2)(-∞,-1]考點(diǎn)三解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題
多維探究角度1比較指數(shù)式的大小【例3-1】
下列各式比較大小正確的是(
)A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1解析A中,∵函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),2.5<3,∴1.72.5<1.73,錯(cuò)誤;B中,∵y=0.6x在R上是減函數(shù),-1<2,∴0.6-1>0.62,正確;C中,∵(0.8)-1=1.25,∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小.∵y=1.25x在R上是增函數(shù),0.1<0.2,∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,錯(cuò)誤;D中,∵1.70.3>1,0<0.93.1<1,∴1.70.3>0.93.1,錯(cuò)誤.答案B規(guī)律方法比較指數(shù)式的大小的方法是:(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性比較大小;(2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1”等中間量比較大小.角度2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式規(guī)律方法(1)af(x)=a
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