第五屆華羅庚金杯少年數(shù)學精英邀請賽試卷（小高組筆試一）

第1頁（共1頁）第五屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請賽試卷（小高組筆試一）一、填空題Ⅰ（每題8分，共32分）1．（8分）算式的計算結(jié)果是．2．（8分）今年是2014年，2014不是完全平方數(shù)，但可以將它的各位數(shù)字改變順序，使得到的新四位數(shù)是完全平方數(shù)，例如1024＝322，已知用數(shù)字2、0、1、4各一個還能組成另一個四位完全平方數(shù)，那么這個新的四位完全平方數(shù)是．3．（8分）在不同的歷史時期，“斤”和“兩”之間的進制不同，成語“半斤八兩”就是由16進制而來的．為了方便計算，我們認為古代16兩是1斤，每斤為現(xiàn)代的600克；現(xiàn)在的10兩是1斤，每斤為現(xiàn)代的500克．有一批藥品，有一部分按古制稱，另一部分按現(xiàn)制稱，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，“斤”數(shù)和是5，“兩”數(shù)和是68．那么，這批藥品共有克．4．（8分）兩個完全相同的正三角形可以拼成一個菱形，如果正三角形的邊長為10，則這個菱形內(nèi)部最大的正方形面積為．二、填空題Ⅱ（每題10分，共40分）5．（10分）A＝，與A×100最接近的整數(shù)是．6．（10分）如圖所示，由75個小方格組成了15×5的圖案，圖中一些小方格已經(jīng)被涂上了陰影，現(xiàn)在要繼續(xù)把一些空白的小方格涂上陰影，保證任意2×2的方格中陰影小方格的數(shù)量都多于一半，那么最少需要再把個小方格涂上陰影．7．（10分）自然數(shù)A除本身以外最大的約數(shù)是d，自然數(shù)A+2除本身以外最大的約數(shù)是d+2，那么A的值是．8．（10分）如圖，三橫、三豎、三斜共9條街道，編號為1～9的9個路口，A、B、C、D、E五位警察在其中5個不同的路口站崗，如果兩個警察在同一條街道上，那么他們就能互相看到，他們各自說了如下的一句話：A：“我能看到另4位警察”．B：“我能看到另4位警察中的3位”．C：“我能看到另4位警察中的2位”．D：“我只能看到B”．E：“我誰也看不到”．已知他們恰有一人說謊，且說謊的警察所在路口的編號是五位警察中最小的，那么，A、B、C、D、E所在路口編號依次組成的五位數(shù)是．三、填空題Ⅲ（每題12分，共48分）9．（12分）四個小伙伴想辦“親情套餐”，即繳納一定金錢后，四人之間發(fā)短信免費，但是尷尬的是，當?shù)刂挥?0元的“三人間免費”的A套餐和5元的“兩人間免費”的B套餐，四人想了一下，覺得可以開幾個這種套餐，使得小伙伴們可以通過由中間人轉(zhuǎn)發(fā)器到相互之間都可以免費發(fā)短信，那么在花錢最少的情況下，他們有種開通套餐的方式．10．（12分）如圖，正八邊形中連出3條對角線圍成一個三角形（圖中陰影部分），如果該正八邊形的邊長為60，那么陰影部分的面積是．11．（12分）A、B兩地相距291千米，甲、乙兩人同時從A地出發(fā)勻速前往B地，與此同時丙從B地出發(fā)勻速前往A地，當乙走了p千米后與丙相遇時，甲走了q千米，又過了一段時間，當甲、丙相遇時，乙共走了r千米，如果p、q、r均是質(zhì)數(shù)，那么p、q、r的和是．

第五屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請賽試卷（小高組筆試一）參考答案與試題解析一、填空題Ⅰ（每題8分，共32分）1．（8分）算式的計算結(jié)果是2．【分析】先把分子部分10×12×14×18拆分為2×5×2×6×2×7×2×8×2×9，然后通過約分簡算即可．【解答】解：＝＝2；故答案為：2．2．（8分）今年是2014年，2014不是完全平方數(shù)，但可以將它的各位數(shù)字改變順序，使得到的新四位數(shù)是完全平方數(shù)，例如1024＝322，已知用數(shù)字2、0、1、4各一個還能組成另一個四位完全平方數(shù)，那么這個新的四位完全平方數(shù)是2401．【分析】首先找到這些數(shù)字中尾數(shù)只能是1或者4才能構(gòu)成平方數(shù)．再枚舉這些數(shù)字，然后進行分解．只要分解出一個不是平方數(shù)的數(shù)字就不符合題意．【解答】解：首先根據(jù)是平方數(shù)判斷尾數(shù)可以是1或者4．沒有一個平方數(shù)尾數(shù)是2的．尾數(shù)是1和尾數(shù)是4時有1024，1204，2014，2104，2041，2401，4201，4021共8個數(shù)字．對以上8個數(shù)字進行分解得：①1024＝25，②1204＝4×301（不符合題意），③2014＝2×1007（不符合題意），④2104＝8×263（不符合題意）⑤2041＝13×157（不符合題意），⑥2401＝492（符合題意），⑦4201（質(zhì)數(shù)），⑧4021（質(zhì)數(shù)）．故答案為：24013．（8分）在不同的歷史時期，“斤”和“兩”之間的進制不同，成語“半斤八兩”就是由16進制而來的．為了方便計算，我們認為古代16兩是1斤，每斤為現(xiàn)代的600克；現(xiàn)在的10兩是1斤，每斤為現(xiàn)代的500克．有一批藥品，有一部分按古制稱，另一部分按現(xiàn)制稱，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，“斤”數(shù)和是5，“兩”數(shù)和是68．那么，這批藥品共有2800克．【分析】想要求出總重量，需要求出多少斤古制多少斤現(xiàn)代，總共5斤，共68兩，屬于雞兔同籠問題，用假設法即可．【解答】解：假設全是按照古制稱量，5斤是16×5＝80（兩），實際“兩”數(shù)和是68，80﹣68＝12（兩），每斤兩數(shù)差為16﹣10＝6（兩），12÷6＝2（斤），所以是3斤古制稱重，2斤現(xiàn)代稱重，600×3+500×2＝2800（克）．故答案為：2800克．4．（8分）兩個完全相同的正三角形可以拼成一個菱形，如果正三角形的邊長為10，則這個菱形內(nèi)部最大的正方形面積為50．【分析】要使正方形的面積最大，只有當正方形的對角線與菱形的一條對角線時，正方形的邊長才能取最大值，然后求得正方形的邊長，再求得面積．【解答】解：有兩種方法如圖甲、圖乙可以將正方形放入這個菱形內(nèi)部：根據(jù)分析，當正方形的對角線與菱形的一條對角線時，即如圖甲時，正方形的邊長才能取最大值，當正方形如圖擺放時，面積最大，面積最大為：10×10÷2＝50故答案是：50．二、填空題Ⅱ（每題10分，共40分）5．（10分）A＝，與A×100最接近的整數(shù)是314．【分析】先設出原式A＝，則x＝，則x＜6+＜27，然后討論x＝6，x＝27時A的值即可解決A×100最接近的整數(shù)是多少．【解答】解：設A＝則x＝，x＝6+＜6+＜27，當x＝6時，原式＝＝＝＝＝3.142，當x＝27時，原式＝＝＝3.1408，則，3.142×100＝314.2，3.1408×100＝314.08，則，314.08＜A×100＜314.2，之間的整數(shù)只有314，所以，與A×100最接近的整數(shù)是314．故答案為：314．6．（10分）如圖所示，由75個小方格組成了15×5的圖案，圖中一些小方格已經(jīng)被涂上了陰影，現(xiàn)在要繼續(xù)把一些空白的小方格涂上陰影，保證任意2×2的方格中陰影小方格的數(shù)量都多于一半，那么最少需要再把17個小方格涂上陰影．【分析】此題實際上要求涂色后不存在相連的空白格（即任意兩個空白格不存在公共頂點）將空白格分成如下圖不相連的7塊．其中D、G兩塊為5×1，每塊至少需要涂其中2個格子，同理，C、F兩塊，每塊至少需要涂其中1個格子．其它的填法與此類似．【解答】解：按照上圖所涂，一共需要涂上17個格子．故此題填177．（10分）自然數(shù)A除本身以外最大的約數(shù)是d，自然數(shù)A+2除本身以外最大的約數(shù)是d+2，那么A的值是7．【分析】首先證明A是質(zhì)數(shù)，d＝1，推出d+2＝3，由d+2是A+2除本身以外的最大約數(shù)，推出A+2＝9，由此即可解決問題．【解答】解：如果A是偶數(shù)，則d＝，d+2＝，矛盾，所以A是奇數(shù)，A和A+2互質(zhì)，d和d+2互質(zhì)．若A不是質(zhì)數(shù)，設A＝md，m是A的最小質(zhì)因數(shù)，則（d+2）|（md+2），∴（d+2）|（md+2m+2﹣2m），∴（d+2）|（2m﹣2），∴（d+2）|（m﹣1）與m是最小質(zhì)因數(shù)矛盾，∴A是質(zhì)數(shù)，∴d＝1，d+2＝3，∵d+2是A+2除本身以外的最大約數(shù)，∴A+2＝9，∴A＝7．故答案為7．8．（10分）如圖，三橫、三豎、三斜共9條街道，編號為1～9的9個路口，A、B、C、D、E五位警察在其中5個不同的路口站崗，如果兩個警察在同一條街道上，那么他們就能互相看到，他們各自說了如下的一句話：A：“我能看到另4位警察”．B：“我能看到另4位警察中的3位”．C：“我能看到另4位警察中的2位”．D：“我只能看到B”．E：“我誰也看不到”．已知他們恰有一人說謊，且說謊的警察所在路口的編號是五位警察中最小的，那么，A、B、C、D、E所在路口編號依次組成的五位數(shù)是25496．【分析】顯然A說的話與D、E矛盾，所以A說的是錯的，B、C、D、E說的是對的，可以假設若有人站在1號位置，他可以看到2、4、8、3、6號，共5個位置，所以E不能站在1號位置，否則2、4、8、3、6號位置均不能站人，則位置不夠，同理，可以判斷其它字母所在路口的編號．【解答】解：根據(jù)分析，A說的話與D、E矛盾，所以A說的是錯的，B、C、D、E說的是對的，若有人站在1號位置，他可以看到2、4、8、3、6號，共5個位置，所以E不能站在1號位置，否則2、4、8、3、6號位置均不能站人，則位置不夠，同理，3號能看到6個位置，4號能看到6個位置，5號能5個位置，7號能看到6個位置，8號能看到6個位置，這些位置E都不能站，所以E只能站在2、6、9；若E站在2號位置，1、4、5、7不能站，剩下的3、6、8、9這4個位置中沒人能同時看到另外3個位置，與B可以看到3個人矛盾；若E站在9號位置，3、5、7、8不能站人，剩下的1、2、4、9這4個位置中能同時看到另外3個位置只有1，那么B再1，而1是最小編號，A所在位置的編號一定比1大，這與題意中“說謊的警察所在路口的編號是五位警察中最小的”矛盾；所以E在6號位置，1、3、7、8不能站人，剩下的2、4、5、9中能同時看到另外3個位置的只有5，那么B在5；說謊的A所在路口的編號是五位警察中最小的，所以A在2；4能看到在2的A與在5的B，據(jù)“D只能看到B”，所以D不在4，D在9，；剩下的C在4．故答案是：25496．三、填空題Ⅲ（每題12分，共48分）9．（12分）四個小伙伴想辦“親情套餐”，即繳納一定金錢后，四人之間發(fā)短信免費，但是尷尬的是，當?shù)刂挥?0元的“三人間免費”的A套餐和5元的“兩人間免費”的B套餐，四人想了一下，覺得可以開幾個這種套餐，使得小伙伴們可以通過由中間人轉(zhuǎn)發(fā)器到相互之間都可以免費發(fā)短信，那么在花錢最少的情況下，他們有28種開通套餐的方式．【分析】4人如果想相互之間免費發(fā)短信，最少花15元．可以辦1個三人套餐1個兩人套餐，或3個兩人套餐，分類討論，利用計數(shù)原理得出結(jié)論．【解答】解：4人如果想相互之間免費發(fā)短信，最少花15元．可以辦1個三人套餐1個兩人套餐，或3個兩人套餐．第一種情況，辦1個三人套餐和1個兩人套餐，從4個人選出3個人辦套餐共有4種方法，3人中選出1人跟沒辦3人套餐的人辦兩人套餐，所以，共有4×3＝12種方法；第二種情況，辦3個兩人套餐，A和B、B和C、C和D，共有4×3×2×1÷2＝12種方法；第三種情況，辦3個兩人套餐，A和B、C、D辦，共有4種方法．綜上所述，共有12+12+4＝28種方法．故答案為28．10．（12分）如圖，正八邊形中連出3條對角線圍成一個三角形（圖中陰影部分），如果該正八邊形的邊長為60，那么陰影部分的面積是900．【分析】由題目的已知條件可得：正八邊形由外接圓，圓心是O，利用圓周角是圓心角的一半，可求得：∠CBA、∠BCA，再用三角形的內(nèi)角和，求∠BAC．得知AB＝BC＝60；再用BF是直徑和△BOH和△BEF是相似三角形，求出OH的長是30，之后就可求出陰影部分的面積了．【解答】解：做OH⊥BE，與BE的交點是H．∵是正八邊形∴∠BOC＝360°÷8＝45°，O是外接圓的圓心，像OB、OA、OF等是圓的半徑．∠ABC＝2∠BOC÷2＝45°，∠ACB＝3∠BOC÷2＝67.5°∠CAB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°∴∠ACB＝CAB＝67.5°AB＝CB＝60又∵BF是圓的直徑∴∠BEF＝90°△BOH∽△BEFOH＝＝＝30S△AOB＝AB×OH÷2＝60×30÷2＝900故：陰影部分的面積是900．11．（12分）A、B兩地相距291千米，甲、乙兩人同時從A地出發(fā)勻速前往B地，與此同時丙從B地出發(fā)勻速前往A地，當乙走了p千米后與丙相遇時，甲走了q千米，又過了一段時間，當甲、丙相遇時，乙共走了r千米，如果p、q、r均是質(zhì)數(shù)，那么p、q、r的和是221．【分析】此題重點找甲乙丙之間的路程關(guān)系進行分析，在2次相遇過程中速度沒變，相遇時時間相同，所以速度比可以轉(zhuǎn)換成路程之比．【解答】解：由題意可知q＜p＜r當乙走了p千米時，丙共走了