排列組合初步

學(xué)習(xí)奧數(shù)的優(yōu)點(diǎn)學(xué)習(xí)奧數(shù)的優(yōu)點(diǎn)1、激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的愛好，更容易讓學(xué)生體驗(yàn)成功，樹立自信。2、訓(xùn)練學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。要使通過(guò)奧數(shù)訓(xùn)練的學(xué)生，思維更敏捷，考慮問(wèn)題比別人更深層次。3、鍛煉學(xué)生優(yōu)良的意志品質(zhì)。能夠培養(yǎng)持之以恒的耐心和克服困難的信心，以及戰(zhàn)勝難題的勇氣。能夠養(yǎng)成堅(jiān)韌不拔的毅力4、獲得扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，發(fā)揮創(chuàng)新精神和發(fā)明力的最大空間。 學(xué)科培優(yōu)數(shù)學(xué) “排列組合初步”學(xué)生姓名授課日期教師姓名授學(xué)時(shí)長(zhǎng)知識(shí)定位理解加乘原理的根本，分辨何時(shí)使用加法原理、何時(shí)使用乘法原理知識(shí)梳理一、乘法原理：我們?cè)谕戤呉患聲r(shí)往往要分為多個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)又有多個(gè)辦法，當(dāng)計(jì)算一共有多少種完畢辦法時(shí)就要用到乘法原理.乘法原理：普通地，如果完畢一件事需要n個(gè)環(huán)節(jié)，其中，做第一步有m1種不同的辦法，做第二步有m2種不同的辦法，…，做第n步有mn種不同的辦法，則完畢這件事一共有N=m1×m2×…×mn種不同的辦法．乘法原理運(yùn)用的范疇：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立環(huán)節(jié)來(lái)完畢，這幾步是完畢這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問(wèn)題能夠使用乘法原理解決．我們能夠簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步有關(guān)”.二、加法原理：無(wú)論自然界還是學(xué)習(xí)生活中，事物的構(gòu)成往往是分門別類的，例如解決一件問(wèn)題的往往不只一類途徑，每一類途徑往往又包含多個(gè)辦法，如果要想懂得一共有多少種解決辦法，就需要用到加法原理.加法原理：普通地，如果完畢一件事有k類辦法，第一類辦法中有m1種不同做法，第二類辦法中有m2種不同做法，…，第k類辦法中有mk種不同的做法，則完畢這件事共有N=m1+m2+…+mk種不同的辦法.加法原理運(yùn)用的范疇：完畢一件事的辦法分成幾類，每一類中的任何一種辦法都能完畢任務(wù)，這樣的問(wèn)題能夠使用加法原理解決．我們能夠簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”.加乘原理的區(qū)別：加法原理運(yùn)用的范疇：完畢一件事的辦法分成幾類，每一類中的任何一種辦法都能完畢任務(wù)，這樣的問(wèn)題能夠使用加法原理解決．我們能夠簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”.乘法原理運(yùn)用的范疇：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立環(huán)節(jié)來(lái)完畢，這幾步是完畢這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問(wèn)題能夠使用乘法原理解決．我們能夠簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步有關(guān)?！崩}精講【試題來(lái)源】【題目】用2、4、5、7這4個(gè)不同數(shù)字能夠構(gòu)成24個(gè)互不相似的四位數(shù)，將它們從小到大排列，那么7254是第多少個(gè)數(shù)？【答案】7254【解析】由已知得每個(gè)數(shù)字開頭的各有24÷4=6個(gè)，從小到大排列7開頭的從第6×3＋1=19個(gè)開始，易知第19個(gè)是7245，第20個(gè)7254?！局R(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，構(gòu)成各位數(shù)字互不相似的四位數(shù)，例如1023、2341等，求全體這樣的四位數(shù)之和?！敬鸢浮?59980【解析】這樣的四位數(shù)共有×=96個(gè)1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和為（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000；

1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和為（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；

1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和為（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；

1、2、3、4在個(gè)位各有24÷4×3=18次，和為（1＋2＋3＋4）×1×18=180；總和為240000＋18000＋1800＋180=259980【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】如果從3本不同的語(yǔ)文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、5本不同的外語(yǔ)書中選用2本不同窗科的書閱讀，那么共有多少種不同的選擇？【答案】47【解析】由于強(qiáng)調(diào)2本書來(lái)自不同的學(xué)科，因此共有三種狀況：來(lái)自語(yǔ)文、數(shù)學(xué)：3×4=12；來(lái)自語(yǔ)文、外語(yǔ)：3×5=15；來(lái)自數(shù)學(xué)、外語(yǔ)：4×5=20；因此共有12＋15＋20=47【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】有5個(gè)標(biāo)簽分別對(duì)應(yīng)著5個(gè)藥瓶，正好貼錯(cuò)3個(gè)標(biāo)簽的可能狀況共有多少種？【答案】20【解析】第一步考慮從5個(gè)元素中取3個(gè)來(lái)進(jìn)行錯(cuò)貼，共有=10，第二步對(duì)這3個(gè)瓶子進(jìn)行錯(cuò)貼，共有2種錯(cuò)貼辦法，因此可能狀況共有10×2=20種?！局R(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目。問(wèn)：⑴如果4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種不同的安排次序？⑵如果規(guī)定每?jī)蓚€(gè)舞蹈節(jié)目之間最少安排一種演唱節(jié)目，一共有多少種不同的安排次序？【答案】604800【解析】⑴4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，好比把4個(gè)舞蹈?在一起當(dāng)作一種節(jié)目，這樣和6個(gè)演唱共有7個(gè)節(jié)目，全排列7！，加上4個(gè)舞蹈本身也有全排4！，因此共有7！×4！=120960種。⑵4個(gè)舞蹈必須放在6個(gè)演唱之間，6個(gè)演唱涉及頭尾共有7個(gè)空檔，7個(gè)空檔取出4個(gè)放舞蹈共有，加上6個(gè)演唱的全排6！，共有×6！=604800種。

【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完畢?，F(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會(huì)。從7人中挑選4人完畢這項(xiàng)工作，共有多少種辦法？【答案】27【解析】分兩類狀況討論：1.都會(huì)的這1人被挑選中，則有：（1）如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有3種辦法，再選2名電工也有3種辦法；因此有3×3=9（種）。（2）同樣，這人做電工，也有9種辦法。2都會(huì)的這一人沒(méi)有被挑選，則也有3×3種辦法。因此一共有9+9+9=27(種)辦法?！局R(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】在下圖的街道示意圖中，有幾處街區(qū)有積水不能通行，那么從A到B的最短路線有多少種？【答案】22【解析】由于B在A在左下方，由標(biāo)號(hào)法可知，從A到B的最短途徑上，達(dá)成任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它上側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和.有積水的街道不可能有路線通過(guò)，能夠認(rèn)為積水點(diǎn)的走法數(shù)是0.接下來(lái)，能夠從左上角開始，按照加法原理，依次向下向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù).如圖，從A到B的最短路線有22條.【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】我們學(xué)習(xí)好們學(xué)習(xí)好玩學(xué)習(xí)好玩的習(xí)好玩的數(shù)好玩的數(shù)學(xué)【題目】以下表，請(qǐng)讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個(gè)字，規(guī)定你選擇的9個(gè)字里能持續(xù)（即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰），這里共有多少種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”的讀法?！敬鸢浮?0【解析】第一種字只能選位于左上角的“我”，后來(lái)每一種字都只能選擇前面那個(gè)字的下方或右方的字，因此本題也能夠使用標(biāo)號(hào)法來(lái)解：（在格子里標(biāo)數(shù)）共70種不同的讀法。【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】①有5個(gè)人排成一排攝影，有多少種排法？

②5個(gè)人排成兩排攝影，前排2人，后排3人，共有多少種排法？

③5個(gè)人排成一排攝影，如果某人必須站在中間，有多少種排法？

④5個(gè)人排成一排攝影，某人必須站在兩頭，共有多少種排法【答案】1.1202.1203.244.48【解析】①5個(gè)人排成一排攝影，從左到右共5個(gè)位置。第一種位置可從5個(gè)人中任選一人，有5種選法；第二個(gè)位置只能從剩余的4個(gè)人中任選一人，有4種選法，同理，第三、第四、第五個(gè)位置分別有3種、2種、1種選法。每個(gè)位置上站了一人就是一種排法。根據(jù)乘法原理，共有5×4×3×2×1=120種排法。

②5個(gè)人排成兩排攝影，可先排前排、再排后排，依次也有5個(gè)位置，類似①的辦法可得共有5×4×3×2×1=120種排法。

③這里，限定某人必須站在中間，他的位置固定了，而其它4人能夠任意站位，類似①的分析可知共有4×3×2×1=24種排法。

④這里，限定某人必須站在兩頭，這件事分兩步完畢，第一步，安排限定的人，有2種辦法；第二步，安排其它的4人，類①的分析，有4×3×2×1=24種辦法，根據(jù)乘法原理，共有2×（4×3×2×1）=24×2=48種排法.注：對(duì)于①和②其實(shí)是一種題，算法能夠歸為一種，由于每個(gè)位置都是獨(dú)一無(wú)二的，沒(méi)有重復(fù)，因此5人一排和兩排辦法是沒(méi)有分別的【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】1.迎春杯決賽2.愛好杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽【題目】（1）如右圖（1）是中國(guó)象棋盤，如果雙方準(zhǔn)備各放一種棋子，規(guī)定它們不在同一行，也不在同一列，那么總共有多少種不同的放置辦法？（2）在右圖（2）中放四個(gè)棋子“兵”，使得每一列有一種“兵”，每一行至多有一種“兵”．有多少種不同的放法？【答案】648016【解析】（1）設(shè)甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方能夠把棋子放在棋盤的任意位置，故甲方有：10×9=90種不同的放置辦法．對(duì)應(yīng)甲方的第一種放法，乙方按規(guī)定必須去掉甲方棋子所在的行與列，而放置在剩余的任意位置，因此乙方有：9×8=72種不同的放置辦法．因此，總共有：72×90=6480種不同的放置辦法．（2）第一列有2種放法．第一列放定后，第二列又有2種放法．…如此下去，共有2×2×2×2=16種不同的放法．注：對(duì)于第（2）題，一定要從第一列開始考慮，也就是從取值范疇小的開始入手，如果從范疇大的入手，那么就會(huì)出現(xiàn)兩種狀況：包含小范疇的和不包含小范疇的。分類考慮起來(lái)可能會(huì)比較麻煩，因此碰到這類題，從小范疇的開始考慮比較容易得到答案【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】有10塊糖，每天最少吃一塊，吃完為止。問(wèn)：共有多少種不同的吃法？【答案】512【解析】將10塊糖排成一排，糖與糖之間共有9個(gè)空。從頭開始，如果相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，那么就在其間畫一條線。下圖表達(dá)10塊糖分在五天吃：第一天吃2塊，第二天吃3塊，第三天吃1塊，第四天吃2塊，第五天吃2塊。由于每個(gè)空都有加線與不加線兩種可能，根據(jù)乘法原理，不同的加線辦法共有29＝512（種）。由于每一種加線辦法對(duì)應(yīng)一種吃糖的辦法，因此不同的吃法共有512種。【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】【題目】計(jì)算機(jī)上編程序打印出前10000個(gè)正整數(shù)：1、2、3、……、10000時(shí)，不幸打印機(jī)有毛病，每次打印數(shù)字3時(shí)，它都打印出x，問(wèn)其中被錯(cuò)誤打印的共有多少個(gè)數(shù)？【答案】3439【解析】共有10000個(gè)數(shù)，其中不含數(shù)字3的有：五位數(shù)1個(gè)，四位數(shù)共8×9×9×9=5832個(gè)，三位數(shù)共8×9×9=648個(gè)，二位數(shù)共8×9=72個(gè)，一位數(shù)共8個(gè)，不含數(shù)字3的共有1＋5832＋648＋72＋8=6561所求為10000－6561=3439個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】【題目】一樓梯共10級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法？【答案】89【解析】例如登上一級(jí)臺(tái)階有1種走法，登上第二級(jí)臺(tái)階有2種走法(一步走兩級(jí)或者走兩步每步走一級(jí))；由此得出登上第三級(jí)臺(tái)階的走法數(shù)為1+2=3．又懂得走上第四級(jí)臺(tái)階的走法總數(shù)也等于登上第三級(jí)和第二級(jí)臺(tái)階的走法總數(shù)之和，又能夠算出登上第四級(jí)臺(tái)階共有2+3=5種辦法，依這類推：1級(jí)2級(jí)3級(jí)4級(jí)5級(jí)6級(jí)7級(jí)8級(jí)9級(jí)10級(jí)123581321345589因此，登上第10級(jí)臺(tái)階的走法數(shù)為89．【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】【題目】有一堆火柴共12根，如果規(guī)定每次取1～3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？【答案】927【解析】取1根火柴有1種辦法，取2根火柴有2種辦法，取3根火柴有4種取法，后來(lái)取任意根火柴的種數(shù)等于取到前三根火柴全部狀況之和，以這類推，參考上題列表以下：1根2根3根4根5根6根7根8根9根10根11根12根124713244481149274504927取完這堆火柴一共有927種辦法.【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】【題目】在1000到9999之間，千位數(shù)字與十位數(shù)字之差（大減?。?，并且4個(gè)數(shù)字各不相似的四位數(shù)有多少個(gè)？【答案】840【解析】1□3□構(gòu)造：8×7=56，3□1□同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；

2□4□構(gòu)造：8×7=56，4□2□同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；

3□5□構(gòu)造：8×7=56，5□3□同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；4□6□構(gòu)造：8×7=56，6□4□同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；

5□7□構(gòu)造：8×7=56，7□5□同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；

6□8□構(gòu)造：8×7=56，8□6□同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；

7□9□構(gòu)造：8×7=56，9□7□同樣56個(gè)，計(jì)112個(gè)；

2□0□構(gòu)造：8×7=56，

以上共112×7×56=840個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】【題目】大林和小林共有小人書不超出50本，他們各自有小人書的數(shù)目有多少種可能的狀況？【答案】1326【解析】大林有0本書，小林有0～50本書，51種狀況；大林有1本書，小林有0～49本書，50種狀況；大林有2本書，小林有0～48本書，49種狀況；…………大林有49本書，小林有0～1本書，2種狀況；大林有50本書，小林有0本書，1種狀況；因此共有：1+2+3+……+51=1326種狀況.【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】【題目】（1）如右圖（1），從學(xué)校到少年宮的最短路線有多少條？（2）小君家到學(xué)校的道路如右圖（2）所示。從小君家到學(xué)校的最短路線有多少種不同的走法？【答案】見分析【解析】標(biāo)數(shù)法【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】【題目】某沿海都市管轄7個(gè)縣，這7個(gè)縣的位置以下圖．現(xiàn)用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色給下圖染色，規(guī)定任意相鄰的兩個(gè)縣染不同顏色．共有_____種不同的染色辦法．【答案】4860【解析】把地圖上的7個(gè)縣分別編號(hào)為A、B、C、D、E、F、G(如圖1)．為了便于觀察，能夠把圖1改畫成(圖2)(相鄰關(guān)系不變化)．我們不妨按A、B、C、D、E、F、G的次序，用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色依次染色，根據(jù)乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860種不同的染色辦法．【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來(lái)源】【題目】用1～9能夠構(gòu)成______個(gè)不含重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)：如果再規(guī)定這三個(gè)數(shù)字中任何兩個(gè)的差不能是1，那么能夠構(gòu)成______個(gè)滿足規(guī)定的三位數(shù)．【答案】504210【解析】（1)9×8×7=504個(gè)（2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×6-7×6=210個(gè)（減去有2個(gè)數(shù)字差是1的狀況，括號(hào)里8個(gè)數(shù)分別表達(dá)這2個(gè)數(shù)是12，23，34，45，56，67，78，89的狀況，×6是對(duì)3個(gè)數(shù)字全排列，7×6是三個(gè)數(shù)持續(xù)的123234345456567789這7種狀況）【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來(lái)源】【題目】數(shù)3能夠用4種辦法表達(dá)為1個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。問(wèn)：1999表達(dá)為1個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和的辦法有多少種？【答案】【解析】我們將1999個(gè)1寫成一行，它們之間留有1998個(gè)空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填上“＋”號(hào)。例如對(duì)于數(shù)3，上述4種和的體現(xiàn)辦法對(duì)應(yīng)：111，11＋1，1＋11，1＋1＋1。顯然，將1999表達(dá)成和的形式與填寫1998個(gè)空隙處的方式之間一對(duì)一，而每一種空隙處都有填“＋”號(hào)和不填“＋”號(hào)2種可能，因此1999能夠表達(dá)為正整數(shù)之和的不同辦法有種【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3習(xí)題演習(xí)【試題來(lái)源】【題目】阿強(qiáng)和牛牛結(jié)伴騎車去圖書館看書，第一天他們從學(xué)校直接去圖書館；第二天他們先去公園再去圖書館；第三天公園修路不能通行．問(wèn)：這三天從學(xué)校到圖書館的最短路線分別有多少種不同的走法？【答案】16條；8條；8條．【解析】16條；8條；8條．【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】1【試題來(lái)源】【題目】10只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著。請(qǐng)問(wèn)一共有多少種不同的放法？【答案】66【解析】66【知識(shí)點(diǎn)】排列組合初步【合用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)