不等式恒成立問題的基本類型及常用解法

第1講不等式恒成立問題基本類型及常用解法類型1：設(shè)f(x)=ax+bf(x)＞0在x∈上恒成立f(x)＜0在x∈上恒成立.例1.對于-1≤a≤1,求使不等式()<()恒成立的x的取值范圍。練習(xí)1：若對于任意a，函數(shù)的值恒大于0，求x的取值范圍。練習(xí)2：對于（0，3）上的一切實(shí)數(shù)x,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。類型2：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)＞0在x∈R上恒成立a＞0 且△＜0;f(x)＜0在x∈R上恒成立a＜0 且△＜0.說明：=1\*GB3①.只適用于一元二次不等式=2\*GB3②.若未指明二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，注意分類討論.例2.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。練習(xí)3.不等式＜1對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。類型3：分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來解決。例3、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。練習(xí)4．定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)時，有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.。類型4：a＞f(x)恒成立對x∈D恒成立a＞f(x)，a＜f(x)對x∈D恒成立a＜f(x).說明：=1\*GB3①.f(x)可以是任意函數(shù)=2\*GB3②.這種思路是：首先是---分離變量，其次用---極端值原理。把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范圍，問題同樣可以解出。例4.已知f(x)=＞0在x∈上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí)5.已知x∈時,不等式1+2x+(a-a2).4x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：要求a的取值范圍，如何構(gòu)造關(guān)于a的不等式是關(guān)鍵，利用分離變量的方法可達(dá)到目的。類型5：=1\*GB3①.“f(x)＞g(x)對任意x∈D恒成立”可通過分離變量，極端值原理可求得。=2\*GB3②.“f(x1)＞g(x2)對任意x1、x2∈D恒成立”f(x)＞例4.已知兩個函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中kR若對任意的x[-3,3],都有f(x)g(x)成立，求k的取值范圍；若對任意的x[-3,3],都有f(x)g(x)，求k的取值范圍。類型6：能成立問題(部分成立)（存在性問題）1）若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式f(x)>A成立,即f(x)>A在區(qū)間上能成立,f(x)>A2）若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式f(x)<A成立,即f(x)<A在區(qū)間上能成立,f(x)<A例5．已知兩個函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).若對于任意,總存在使得成立，求的取值范圍.練習(xí)5．設(shè)函數(shù)，且在處取得極值。（1）求實(shí)數(shù)的值（2）若存在使不等式能成立，求實(shí)數(shù)m的最小值；類型7、數(shù)形結(jié)合法1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。例6．設(shè),,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.練習(xí)8、若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。課后練習(xí)1．已知．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對一切的時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．3．已知函數(shù)，（），令．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)m的最小值．4．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)，對于任意，總存在，使得成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；（3）若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的最小值；（2）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，證明：參考答案1．試題解析：（Ⅰ），令，解得，∴單調(diào)遞減區(qū)間是；令，解得，∴單調(diào)遞增區(qū)間是；（Ⅱ）由題意:即，可得，設(shè),則，令,得（舍），所以當(dāng)時,;當(dāng)時,，當(dāng)時,取得最大值,=-2．的取值范圍是．考點(diǎn)：1、導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用；2、導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)的最值中的應(yīng)用．2．試題解析：（1）∵,當(dāng)時，∵∴所求切線方程為．（2）令∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；要使恒成立，即．由上知的最大值在或取得．而∴實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)：求切線方程及恒成立問題．3．試題解析：（1）當(dāng)時，，（），由，得，又∵，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）關(guān)于x的不等式恒成立，即為恒成立，令，，當(dāng)可得恒成立，遞增，無最大值，不成立；當(dāng)時，，當(dāng)，，遞減，當(dāng)，，遞增，則有取得極大值，且為最大值．由恒成立思想可得，即為，顯然不成立，時，即有成立．整數(shù)m的最小值為2．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．4．解析：（1），，由于函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，或?qū)θ我夂愠闪?，即或?qū)θ我夂愠闪?，或?qū)θ我夂愠闪⒘?，由于，，設(shè)因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，故，即，當(dāng)，，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即對任意，總存在，使得成立，可知，所以，即，故所求正實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)：1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2、函數(shù)的應(yīng)用；3、恒成立的問題．5．解析：（1）由題意，的定義域?yàn)椋遥畷r，∴的單調(diào)增區(qū)間為．（2）由（1）可知，①若，則，即在上恒成立，在上為增函數(shù)，∴，∴（舍去）．②若，則，即在上恒成立，在上為減函數(shù)，∴，∴（舍去）．③若，當(dāng)時，，∴在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，∴在上為增函數(shù)，∴，∴綜上所述，．（3）∵，∴．∵，∴在上恒成立，令，則．∵，∴在上恒成立，∴在上是減函數(shù)，∴，即，∴在上也是減函數(shù)，∴．∴當(dāng)在恒成立時，．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．6.試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)的最小值；（2）要使對任意的恒成立，則只需求出的最小值即可得到結(jié)論．（3）由（2）得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令則，所以累加即可得證試題解析：（1）由題意，由得．當(dāng)時，;當(dāng)時，．∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增即在處取得極小值，且為最小值，其最小值為（2）對任意的恒成立，即