新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機變量的方差分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊

第七章7.3.2離散型隨機變量的方差A(yù)級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1),則E(X),D(X)的值分別是()A.0和1 B.p和p2C.p和1-p D.p和(1-p)p2.[探究點一]設(shè)0<a<1,已知隨機變量X的分布列是X0a1P111若D(X)=16,則a=(A.12 B.C.14 D.3.[探究點二]由以往的統(tǒng)計資料表明,甲、乙兩名運動員在比賽中的得分情況為X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽,應(yīng)派哪位運動員參加較好()A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.無法確定4.[探究點一](多選題)已知A1,A2為兩所高校舉行的自主招生考試,某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率均為12,該同學(xué)一旦通過某所高校的考試,就不再參加其他高校的考試,設(shè)該同學(xué)通過考試的高校個數(shù)為隨機變量X,則(A.X的可能取值為0,1 B.X服從兩點分布C.E(X)=1 D.D(X)=35.[探究點二]已知離散型隨機變量X的可能取值為x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,則對應(yīng)x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分別為,,.

6.[探究點一]設(shè)隨機變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(X)=,D(X)=.

7.[探究點一]已知隨機變量X的分布列為X01xP11p若E(X)=23(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.B級關(guān)鍵能力提升練8.已知X的分布列如表所示.X-101P111有下列式子:①E(X)=-13;②D(X)=2327;③P(X=0)=13.其中正確的個數(shù)是A.0 B.1C.2 D.39.設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,隨機變量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機變量X2取值x1+x22,x2+x32,x3+x42,x4+x52,A.D(X1)>D(X2)B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2)D.D(X1)與D(X2)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)10.(多選題)袋內(nèi)有大小完全相同的2個黑球和3個白球,從中不放回地每次任取1個小球,直至取到白球后停止取球,則()A.抽取2次后停止取球的概率為3B.停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為9C.取球次數(shù)ξ的均值為2D.取球次數(shù)ξ的方差為911.甲、乙、丙三人參加某比賽三個賽區(qū)的志愿服務(wù)活動,若每人只能選擇一個賽區(qū),且選擇其中任何一個賽區(qū)是等可能的.記X為三人選中的賽區(qū)個數(shù),Y為三人沒有選中的賽區(qū)個數(shù),則()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)12.若X是離散型隨機變量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,又已知E(X)=43,D(X)=29,則x1+x13.已知隨機變量ξ的所有可能取值為m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=m+n2,則E(ξ)=,當D(ξ)取最小值時,14.有甲、乙兩名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計,他們在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時,各自的成績在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.甲:分數(shù)X8090100概率P0.20.60.2乙:分數(shù)Y8090100概率P0.40.20.4試分析兩名學(xué)生的成績水平.15.有10張卡片,其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5,從中隨機地抽出3張卡片,設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X.(1)求X的分布列及方差D(X);(2)若ξ=aX+2,且D(ξ)=33.6,求實數(shù)a的值.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.某迷宮有三個通道,進入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達此門,系統(tǒng)會隨機(即等可能)為你打開一個通道,若是1號通道,則需要1小時走出迷宮;若是2號、3號通道,則分別需要2小時、3小時返回智能門.再次到達智能門時,系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道,直至走出迷宮為止.令X表示走出迷宮所需的時間.(1)求X的分布列;(2)求X的均值和方差.參考答案7.3.2離散型隨機變量的方差1.D由X的分布列知,P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,故E(X)=0×(1-p)+1×p=p,易知X服從兩點分布,∴D(X)=p(1-p).2.A∵E(X)=0×13+a×13+1×∴D(X)=1+a32×13+(a-1+a3)2×13+(1-1+a3)∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=123.A∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).則甲比乙得分穩(wěn)定,故派甲運動員參加較好.4.ABD由已知X的可能取值為0,1,且服從兩點分布.P(X=0)=12P(X=1)=12∴E(X)=0×14+1×3D(X)=9165.0.40.10.5由題意知,-p16.28隨機變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(Y)=2E(X)+b=4+b.所以E(X)=2.D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,所以D(X)=8.7.解(1)由12+13+p=1,又E(X)=0×12+1×13+16x=2D(X)=0-232×12+(2)因為Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.8.CE(X)=(-1)×12+0×13+1×16=-13,D(X)=-1+132×由分布列知③正確.9.A由題意可知E(X1)=E(X2),又由題意可知,X1的波動性較大,從而有D(X1)>D(X2).10.BD設(shè)取球次數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為1,2,3,則P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,對于A選項,抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=310,A選項錯誤對于B選項,停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+3對于C選項,取球次數(shù)ξ的均值為E(ξ)=1×35+2×310+3×110對于D選項,取球次數(shù)ξ的方差為D(ξ)=1-322×35+2-322×310+3-322×110=92011.D由題意得X的可能取值為1,2,3,則P(X=1)=C3133=19,P(X=2)=C32×A3233=23,P(X=3)=A3333=29,所以E(X)=1×19+2×23+3×29=199,DY的可能取值為0,1,2,則P(Y=0)=A3333=29,P(Y=1)=C3所以E(Y)=0×29+1×23+2×19=89,D(Y)=0-892×29+1-892×23+2-8故E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故選D.12.3由已知得x即2解得x又x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以13.1214由分布列的性質(zhì)得m+n2所以E(ξ)=m·m+n2+n·m+n2=(m+n)22=12,D(ξ)=m-122×12+n-122×12=m-122×12+1-m-122×12=14.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴甲生與乙生的成績均值一樣,甲的方差較小,因此甲生的學(xué)習(xí)成績較穩(wěn)定.15.解(1)X的所有可能取值為6,9,12.P(X=6)=C83C103=715P(X=12)=C8∴X的分布列為X6912P771∴E(X)=6×715+9×715+12×115=7.8,D(X)=(6-7.8)2×715+(9-7.8)2×715+(12-7.8)2×1(2)由(1),可知D(ξ)=D(aX+2)=a2D(X)=3.36a2=33.6,解得a=±10.16.解(1)X的所有可能取值為1,3,4,6,當X=1時,直接從1號通道走出,則P(X=1)=13當X=3時,先走2號通道,再走1號通道,則P