2024屆遼寧省沈陽市第31中學數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆遼寧省沈陽市第31中學數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖①所示，將一邊長為1的正方形沿對角線折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.2．下圖是一個“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉時形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點A與點C，點B與點D均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm3．函數，若實數是函數的零點，且，則（）A. B.C. D.無法確定4．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）5．某中學的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數為（）A.13 B.14C.15 D.166．已知點是橢圓方程上的動點，、是直線上的兩個動點，且滿足，則（）A.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有一個B.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有兩個C.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有三個D.存在實數使為等腰直角三角形的點有無數個7．設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A. B.C. D.8．若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數n的取值A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于59．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.1210．拋擲兩枚硬幣，若記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（）.A. B.C. D.11．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知，，則下列結論一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若不等式的解集是，則的值是___________.14．若實數x，y滿足約束條件，則的最大值是_________.15．已知直線，，為拋物線上一點，則到這兩條直線距離之和的最小值為___________.16．直線與直線的夾角大小等于_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一個法向量.18．（12分）已知二次函數，.（1）若，求函數的最小值；（2）若，解關于x的不等式.19．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點，線段的中點為，為坐標原點，且，求面積的最大值.20．（12分）設橢圓方程為，短軸長，____________.請在①與雙曲線有相同的焦點，②離心率，③這三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，完成以下問題.（1）求橢圓的標準方程；（2）求以點為中點的弦所在的直線方程.21．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點在線段上.（1）求證：；（2）若點在上，滿足，點滿足，求實數使得二面角的余弦值為.22．（10分）已知，（1）當時，求函數的單調遞減區(qū)間；（2）當時，，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點在面上的投影為的中點，由俯視圖可以看出C點在面上的投影為的中點，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長為，于是左視圖的面積為故選：A.2、B【解析】由離心率求出雙曲線方程，由對稱性設出點A，B，D坐標，求出坐標，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因為離心率，所以，，故雙曲線方程為，設，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B3、A【解析】利用函數在遞減求解.【詳解】因為函數在遞減，又實數是函數的零點，即，又因為，所以，故選：A4、A【解析】構造函數h（x）＝f（x）g（x），由已知得當x＜0時，h（x）＜0，所以函數y＝h（x）在（﹣∞，0）單調遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，得函數y＝h（x）為R上的奇函數，所以函數y＝h（x）在（0，+∞）單調遞減，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【詳解】設h（x）＝f（x）g（x），因為當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以當x＜0時，h（x）＜0，所以函數y＝h（x）在（﹣∞，0）單調遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以函數y＝h（x）為R上的奇函數，所以函數y＝h（x）在（0，+∞）單調遞減，因為f（﹣1）＝0，所以函數y＝h（x）的大致圖象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）故選A【點睛】本題考查導數乘法法則、導數的符號與函數單調性的關系；奇函數的單調性在對稱區(qū)間上一致，屬于中檔題5、C【解析】由題意可得募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數列，設共募捐了天，然后建立關于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數列，根據題意，設共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：6、B【解析】求出點到直線的距離的取值范圍，對點是否為直角頂點進行分類討論，確定、的等量關系，綜合可得出結論.【詳解】設點，則點到直線的距離為.因為橢圓與直線均關于原點對稱，①若為直角頂點，則.當時，此時，不可能是等腰直角三角形；當時，此時，滿足是等腰直角三角形的直角頂點有兩個；當時，此時，滿足是等腰直角三角形的直角頂點有四個；②若不是直角頂點，則.當時，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點不存在；當時，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點有兩個；當時，滿足是等腰直角三角形非直角頂點有四個.綜上所述，當時，滿足是等腰直角三角形的點有八個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有六個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有四個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有兩個；當時，滿足是等腰直角三角形的點不存在.故選：B.7、B【解析】根據題中所給的條件，結合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標，代入方程求得的值，進而求得其焦點坐標，得到結果.【詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：B.【點睛】該題考查的是有關圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標，屬于簡單題目.8、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況成立，注意運用外接球和三角形三邊的關系，即可判斷解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構成等邊三角形，成立；4個點兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個點兩兩距離相等，構成一個正四面體，成立；若n＞4，由于任三點不共線，當n=5時，考慮四個點構成的正四面體，第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點評：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點的距離相等的情況，注意結合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關系，屬于中檔題和易錯題9、D【解析】設，，，由向量關系化為坐標關系，再結合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設，，由得則，化簡得所以故選：D10、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來，利用古典概型的計算公式，把，，算出來，判斷四個選項的正誤.【詳解】兩枚硬幣，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會出現的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯誤，BCD正確故選：A11、B【解析】因但12、B【解析】根據不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用和是方程的兩根，再利用根與系數的關系即可求出和的值，即可得的值.【詳解】由題意可得：方程的兩根是和，由根與系數的關系可得：，所以，所以，故答案為：14、##【解析】畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，平移基準直線到點時，取得最大值為.故答案為：15、【解析】過作，垂足分別為，由直線為拋物線的準線，轉化，當三點共線時，取得最小值【詳解】過作，垂足分別為拋物線的焦點為直線為拋物線的準線由拋物線的定義，故，當三點共線時，取得最小值故最小值為點到直線的距離：故答案為：16、##【解析】根據直線的傾斜角可得答案.【詳解】直線是與軸平行的直線，直線的斜率為1，即與軸的夾角為角，故直線與直線的夾角大小等于.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】建立空間直角坐標系，由向量法求法向量即可.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則設平面ACD1的法向量.，又為平面ACD1的一個法向量，化簡得令x=1，得y=z=1.平面ACD1的一個法向量.【點睛】本題主要考查了求平面的法向量，屬于中檔題.18、（1）（2）當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為【解析】（1）帶入，將化解為，再利用基本不等式求最值即可；（2）將不等式移項整理為，再對a分類討論，比較兩根的大小，即可求得解集.【小問1詳解】當a=3時，函數可整理為，因為，所以利用基本不等式，當且僅當，即時，y取到最小值.所以，當時，函數的最小值為.【小問2詳解】將不等式整理為，令，即，解得兩根為與1，因為，當時，即時，此時的解集為；當時，即時，此時的解集為；當時，即時，此時的解集為.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.19、（1）；（2）2.【解析】(1)根據已知條件列出關于a、b、c的方程組即可求得橢圓標準方程；(2)直線l和x軸垂直時，根據已知條件求出此時△AOB面積；直線l和x軸不垂直時，設直線方程為點斜式y＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結合韋達定理和弦長得k和t關系，表示出△AOB的面積，結合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標準方程為.【小問2詳解】當軸時，位于軸上，且，由可得，此時；當不垂直軸時，設直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設到直線的距離為，則，結合化簡得此時的面積最大，最大值為2.當且僅當即時取等號，綜上，的面積的最大值為2.20、（1）答案見解析，.（2）.【解析】（1）若選①：求得雙曲線得雙曲線的焦點得出橢圓的，再由，可求得橢圓的標準方程；若選②：根據已知條件和橢圓的離心率可求得，從而得橢圓的標準方程；若選③：由已知建立方程，求解可求得，從而得橢圓的標準方程.（2）設直線的斜率為k，所求的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，設直線與橢圓的交點為，由根與系數的關系和中點坐標公式可求得答案.【小問1詳解】解：若選①：由雙曲線得雙曲線的焦點和，因為橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以橢圓的，又，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；若選②：因為，所以，又離心率，所以，即，解得，所以橢圓的標準方程為；若選③：因為，所以，即，又，解得，，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】解：由題意得直線的斜率必存在，設直線的斜率為k，所求的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，設直線與橢圓的交點為，則，因為點為AB中點，所以，解得，所以所求的直線方程為，即.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質可證得結論成立；（2）設，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可得出關于實數的等式，即可解得實數的值.【小問1詳解】證明：因為，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問2詳解】解：設，由（1）可知且，，因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則