2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市科爾沁左翼后旗甘旗卡第二高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市科爾沁左翼后旗甘旗卡第二高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“若，則”的否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則2．已知數(shù)列滿足：，，則（）A. B.C. D.3．已知向量，，則下列向量中，使能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（）A. B.C. D.4．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.13 B.39C.45 D.215．如圖，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為正三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于y軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則經(jīng)點(diǎn)B反射后的反射光線必過(guò)點(diǎn)（）A. B.C. D.7．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓所截得的弦最短時(shí)的直線的方程為（）A. B.C. D.8．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A B.C. D.9．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)C?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)10．下列關(guān)于命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題為真命題11．已知，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足，那么點(diǎn)P到x軸的距離為（）A. B.C. D.12．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為_(kāi)________14．若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)_____.15．已知數(shù)列滿足下列條件：①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；③數(shù)列的公比滿足.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.16．與圓外切于原點(diǎn)，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為8的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）求，并求為何值時(shí)的值最大.18．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線分別與橢圓C交于點(diǎn)，過(guò)作直線的平行線與橢圓交于點(diǎn)，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）某省食品藥品監(jiān)管局對(duì)15個(gè)大學(xué)食堂“進(jìn)貨渠道合格性”和“食品安全”進(jìn)行量化評(píng)估，滿分為10分，大部分大學(xué)食堂的評(píng)分在7~10分之間，以下表格記錄了它們的評(píng)分情況：分?jǐn)?shù)段食堂個(gè)數(shù)1383（1）現(xiàn)從15個(gè)大學(xué)食堂中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分的概率；（2）以這15個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)評(píng)估全國(guó)的大學(xué)食堂的評(píng)分情況，若從全國(guó)的大學(xué)食堂中任選3個(gè)，記X表示抽到評(píng)分不低于9分的食堂個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長(zhǎng)為1正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)度.22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結(jié)論都要否定【詳解】解：因?yàn)樵}的否命題是條件結(jié)論都要否定所以命題“若，則”的否命題是若，則；故選：B2、A【解析】由a1＝3，，利用遞推思想，求出數(shù)列的前11項(xiàng)，推導(dǎo)出數(shù)列{an}從第6項(xiàng)起是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出a2022【詳解】解：∵數(shù)列{an}滿足：a1＝3，，∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，a58，4，a72，a81，a9＝3a8+1＝4，a102，a111，∴數(shù)列{an}從第6項(xiàng)起是周期為3的周期數(shù)列，∵2022＝5+672×3+1，∴a2022＝a6＝4故選：A3、D【解析】根據(jù)向量共面基本定理只需無(wú)解即可滿足構(gòu)成空間向量基底，據(jù)此檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)椋訟中的向量不能與，構(gòu)成基底；因?yàn)?，所以B中的向量不能與，構(gòu)成基底；對(duì)于，設(shè)，則，解得，，所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構(gòu)成基底；對(duì)于，設(shè)，則，此方程組無(wú)解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構(gòu)成基底.故選：D4、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.5、D【解析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質(zhì)可得到\，再在中運(yùn)用余弦定理得到、的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知，，則，因?yàn)檎切危?，在中，由余弦定理得，則，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6、D【解析】求出、坐標(biāo)可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據(jù)選項(xiàng)可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確,故選：D7、C【解析】當(dāng)是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長(zhǎng)最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)被圓所截得的弦最短，此時(shí)，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，掌握垂徑定理是求解圓弦長(zhǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵8、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.9、C【解析】利用偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定分析判斷解答.【詳解】∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】根據(jù)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞等相關(guān)知識(shí)一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構(gòu)成關(guān)系,可知A正確；B,當(dāng)a=2>1時(shí),函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)函數(shù)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點(diǎn)，例如:函數(shù),則=0，即x=0就不是極值點(diǎn),所以“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題為假命題,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞等相關(guān)知識(shí)，需牢記并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí).11、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)焦距為，，點(diǎn)P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點(diǎn)P到x軸的距離，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.12、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定復(fù)數(shù)所在象限【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意和兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式可得，結(jié)合圓的面積公式計(jì)算即可.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點(diǎn)，則，由，化簡(jiǎn)并整理得：，于是得點(diǎn)M軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故答案為：14、【解析】設(shè)圓錐的高為，可得出圓錐的母線長(zhǎng)為，以及圓錐的底面半徑為，利用圓錐的側(cè)面積公式求出的值，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的高為，由于圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，則軸截面三角形的底角為，故該圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，可得，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.15、（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列特征，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列公比滿足，所以等比數(shù)列公比，且各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，符合題意的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：（答案不唯一）16、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點(diǎn)可知兩圓心與原點(diǎn)共線，再根據(jù)弦長(zhǎng)列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因?yàn)閳A的圓心為，與原點(diǎn)連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點(diǎn)，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長(zhǎng)為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，的值最大.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋杂?，即；【小?wèn)2詳解】由（1）可知，所以該數(shù)列是遞減數(shù)列，而，當(dāng)時(shí)，解得：，因此當(dāng)或時(shí)，的值最大.18、（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)及離心率求出a,b即可；（2）設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用條件化簡(jiǎn)，結(jié)合橢圓方程，求出即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，有，又，所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為.如圖，聯(lián)立，消有：，韋達(dá)定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直線不過(guò)右端點(diǎn)，所以，則，所以直線過(guò)定點(diǎn).19、（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由題設(shè)可得，故利用二項(xiàng)分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分為事件，則.所以至多有1個(gè)大學(xué)食堂的評(píng)分不低于9分的概率為.【小問(wèn)2詳解】任意一個(gè)大學(xué)食堂，其評(píng)分不低于9分的概率為，故，所以，，，，的分布列為：0123.20、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的區(qū)間即為所求減區(qū)間；（Ⅱ）化簡(jiǎn)不等式，變形為，即求，令，求的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性求出最小值，可求出的范圍.【詳解】（Ⅰ）由題可知.令，得，從而，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由可得，即當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)，則.令，則當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴，∴.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在函數(shù)中，恒成立問(wèn)題，可選擇參變分離的方法，分離出參數(shù)轉(zhuǎn)化為或，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求出的范圍.21、（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；【小問(wèn)2詳解】（2）建系如圖：設(shè)平面的法向量