復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步研究的進展與展望

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步研究的進展與展望

1經(jīng)典網(wǎng)絡(luò)協(xié)議與同步復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)隨處可見[1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、18、19和20]。例如，萬維網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)、無線通信網(wǎng)絡(luò)、能源網(wǎng)絡(luò)、大規(guī)模電路、商業(yè)網(wǎng)絡(luò)、科學(xué)文獻咨詢系統(tǒng)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝系統(tǒng)、生物細胞、dna、cns和社會網(wǎng)絡(luò)[21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、32、33、34、35、36、37、38、39和40]。這些復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)與我們的生活密切相關(guān)。這項研究不僅促進了許多重要科學(xué)分支的發(fā)展，而且還為人類社會生活方式的根本性變化帶來了許多變化[41、42、43、45、46、47、48、49、50、51、52、54、55、56、58、59和60]。隨著信息技術(shù)和科學(xué)知識的快速發(fā)展，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究越來越重要。傳統(tǒng)的,人們通過經(jīng)典圖論來研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).1960年,數(shù)學(xué)家Erd?s和Rényi提出了隨機網(wǎng)絡(luò).近10年來,由于計算技術(shù)的迅猛發(fā)展和人們對互聯(lián)網(wǎng)等大量復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的不斷深入,使得人們的計算能力得到很大的提高并且獲得了大量的數(shù)據(jù)信息,這些都迫使人們不得不重新認識復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).1998年,Watts和Strogatz發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界(small-world)特征.1999年,Barabási和Albert發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無標度(scale-free)特征.小世界和無標度特性的提出極大地推動了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的發(fā)展.在過去10年里,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的理論與應(yīng)用在很多相關(guān)領(lǐng)域得到了迅猛發(fā)展.同步是自然界中廣泛存在的一類非常重要的非線性現(xiàn)象.關(guān)于兩個物理振子同步的研究可以追溯到1665年荷蘭物理學(xué)家Huygens(惠更斯)對于兩個掛鐘同步擺動的有趣現(xiàn)象的觀察:兩個鐘擺不管從什么不同的初始位置出發(fā),經(jīng)過一段時間以后它們總會趨向于同步擺動.1680年,荷蘭旅行家Kempfer在泰國湄南河上發(fā)現(xiàn)了螢火蟲同步閃光的有趣現(xiàn)象.Winfree將同步問題簡化為相位變化問題,深入研究了多個耦合振子之間的同步問題.Kuramoto深入探討了有限個恒等振子的耦合同步問題.Wu深入研究了各種耦合映象格子(coupledmaplattice,CML)和細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(celularneuralnetworks,CNN)的同步問題.上述這些網(wǎng)絡(luò)的一個典型特征就是具有規(guī)則的拓撲結(jié)構(gòu).最近,人們深入探討了各種小世界和無標度網(wǎng)絡(luò)的同步問題.盡管在過去相當長一段時間里人們并不了解同步現(xiàn)象的內(nèi)在機理,但卻在物理、化學(xué)、生物、工程技術(shù)、經(jīng)濟以及社會科學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)觀察到了各種各樣的同步現(xiàn)象.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)作為一個載體展示了豐富多彩的網(wǎng)絡(luò)同步現(xiàn)象.在過去10年里,不同研究領(lǐng)域的學(xué)者從不同的角度廣泛而深入地開展了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究.許多實際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在弱耦合情況下仍然展示很強的同步傾向性.對全連接的網(wǎng)絡(luò)(如圖1(a)),無論耦合強度多小,若網(wǎng)絡(luò)充分大,則一個全局耦合的網(wǎng)絡(luò)一定能同步.對最近鄰居耦合的網(wǎng)絡(luò)(如圖1(b)),無論耦合強度多大,若網(wǎng)絡(luò)充分大,則一個局部耦合的網(wǎng)絡(luò)一定不能同步.事實上,網(wǎng)絡(luò)同步主要取決于網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)和節(jié)點的動力學(xué).網(wǎng)絡(luò)同步可能是有益的,也可能是有害的.有益的同步如保密通訊、語言涌現(xiàn)及其發(fā)展、組織管理的協(xié)調(diào)及高效運行;有害的同步如傳輸控制協(xié)議窗口的增加、英特網(wǎng)或通訊網(wǎng)絡(luò)中的信息擁塞、不同路由的周期信息可能同步.今天,網(wǎng)絡(luò)同步在核磁共振儀、激光設(shè)備、超導(dǎo)材料和通信系統(tǒng)等領(lǐng)域起著非常重要的作用.本文根據(jù)作者自身的研究經(jīng)歷,力圖從動力學(xué)與控制論的角度來簡要概述國內(nèi)外過去10年在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步方向上的主要研究進展,包括理論、方法、應(yīng)用與展望.本文不可避免地包括作者自己的一些主要研究工作[15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25],再加上篇幅所限,因而難免有失偏頗.第2節(jié)簡要概述幾種典型的網(wǎng)絡(luò)同步的定義;第3節(jié)簡述網(wǎng)絡(luò)同步的基本方法與判別準則;第4節(jié)簡要總結(jié)全文并展望一些將來發(fā)展的趨勢.2復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)1的傳統(tǒng):概念、特性以及相位同步現(xiàn)象網(wǎng)絡(luò)同步是一種非常普遍而且十分重要的非線性現(xiàn)象.許多實際的大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在弱耦合情況下仍然展示很強的同步傾向性.網(wǎng)絡(luò)同步可以是有益的,如調(diào)和振子的生成、保密通訊、語言的涌現(xiàn)及其發(fā)展、組織管理的協(xié)調(diào)及高效運行等;網(wǎng)絡(luò)同步也可以是有害的,如英特網(wǎng)或通訊網(wǎng)絡(luò)中的信息擁塞、傳輸控制協(xié)議窗口的增加、周期路由信息的同步.對于有益的同步,我們要采取各種技術(shù)手段保持網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步性;對于有害的同步,我們要采取各種技術(shù)手段破壞網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步性.網(wǎng)絡(luò)同步有很多不同的類別,如常見的恒等同步、相同步、廣義同步等.下面僅給出我們常用的恒等同步和相同步的定義.定義1:假定xi(t,X0)(i=1,2,…,N)是復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的一個解,其中,f:D→Rn和gi:D×…×D→Rn(i=1,2,…,N)都是連續(xù)可微的,D?Rn,且滿足g(x1,x2,…,xn)=0.若存在一個非空開集E?D,使得對于任意∈E(i=1,2,…,N)和t≥0,i=1,2,…,N,有xi(t,X0)∈D且其中s(t,x0)是系統(tǒng)=f(x)的一個解且有x0∈D,則復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)(1)能夠?qū)崿F(xiàn)恒等同步且E×…×E稱為復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)(1)的同步區(qū)域.恒等同步是一類最常見的網(wǎng)絡(luò)同步現(xiàn)象.簡單的說,網(wǎng)絡(luò)恒等同步是指所有的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點都趨近于相同的狀態(tài).具體而言,上述定義中的x0)是網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)(synchronizedstate),而x1=x2=…=xN是網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間中的同步流形(synchronizationmanifold).在人們的日常生活中,同步現(xiàn)象比比皆是.例如,當一場精彩的演出結(jié)束時,剛開始能夠聽見兒個觀眾零星的掌聲,隨后是整個劇場里的觀眾都一起鼓起掌來.在整個過程中,最初的掌聲是稀疏的、零亂的、節(jié)奏不同的,但隨后經(jīng)過兒秒鐘的調(diào)整,所有的觀眾都會以一致的節(jié)奏鼓起掌來.2000年,Nature雜志上發(fā)表了一篇論文,從非線性動力學(xué)的觀點詳細分析了掌聲同步產(chǎn)生的機理,認為周期加倍產(chǎn)生掌聲同步.2007年,李德毅在《中國科學(xué)》E輯上發(fā)表一篇論文,認為周期加倍只是產(chǎn)生掌聲同步的一個特例同步在通訊系統(tǒng)、激光系統(tǒng)等當今科學(xué)的前沿研究領(lǐng)域存在廣泛的應(yīng)用.定義2:如果兩個耦合節(jié)點的相位Φ1和Φ2之間以一定的比率n:m(n和m均為整數(shù))鎖定,即|nΦ1-mΦ2|≤ε,其中ε>0是一個很小的常數(shù),理想情況下為零.則我們稱兩個耦合節(jié)點能夠?qū)崿F(xiàn)相位同步.相位同步(phasesynchronization)是一類程度相對較弱的同步現(xiàn)象.當一個網(wǎng)絡(luò)發(fā)生相位同步時,所有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的相位都會被鎖定,但它們的幅值可能彼此之間相差懸殊.Kuramoto模型是研究網(wǎng)絡(luò)相位同步的一個代表性模型.3兒童復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的一般方法與判別準則為了深入探討復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步,我們首先需要建立合適的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的典型特征是大量的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點和復(fù)雜的拓撲結(jié)構(gòu).在過去10年里,人們發(fā)展了一套十分有效的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的建模方法.根據(jù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的建模原理,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的模型大致上可以分為概率模型和動力學(xué)模型.概率模型主要包括隨機網(wǎng)絡(luò)模型、小世界網(wǎng)絡(luò)模型、無標度網(wǎng)絡(luò)模型、混合演化網(wǎng)絡(luò)模型等.動力學(xué)模型主要包括連續(xù)和離散復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)模型等.下面簡要介紹兒種常用的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的基本方法與判別準則.3.1特征穩(wěn)定性的線性化條件二考慮下列時不變的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)這里=f(A)是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i的動力學(xué)方程,xi=(xi1,xi2,…,xin)∈Rn是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i的狀態(tài)變量,A=(aij)n×n∈Rn×n是網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部耦合矩陣,C=(cij)N×N是網(wǎng)絡(luò)的耦合框架矩陣且行和為零.假定,其中cij為0或1.對時不變的網(wǎng)絡(luò)方程(3)在同步解s(t)上作線性化,則得到變分方程這里,Df(s)是f(x)的Jacobi矩陣在x=s(t)處的取值.令和,則上述變分方程轉(zhuǎn)換為下列方程組判斷同步流形穩(wěn)定的一個常用判據(jù)就是要求上述方程的橫截Lyapunov指數(shù)全部為負值.值得注意的是,這個條件并不是十分嚴格充分的.在上述方程中,只有和λi與i相關(guān).考慮到外部耦合框架矩陣的特征值可能為復(fù)數(shù),則網(wǎng)絡(luò)(3)的主穩(wěn)定方程(masterstabilityequation)定義為它的最大Lyapunov指數(shù)LEmax是實變量α和β的函數(shù),稱為復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(3)的主穩(wěn)定函數(shù)(masterstabilityfunction).對于給定的耦合強度c和任一固定的i(i=2,…,N),在(α,β)復(fù)平面上可以對應(yīng)地找到一個固定的點cλi,該點所對應(yīng)的LEmax的+-號反映了該特征模態(tài)的穩(wěn)定性(-意味著穩(wěn)定,+意味著不穩(wěn)定).若所有的特征模態(tài)都穩(wěn)定,則在該耦合強度下整個網(wǎng)絡(luò)的同步流形是漸近穩(wěn)定的.注意,由于上面采用了線性化方法,主穩(wěn)定矩陣方法的結(jié)果都是局部的.3.2內(nèi)耦合矩陣特征考慮一個由N個相同網(wǎng)絡(luò)節(jié)點組成的離散時間ER(Erd?s-Rényi)隨機網(wǎng)絡(luò)的同步問題.為簡單起見,考慮卜列離散模型這里xi(n)是第i個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點在時刻n的狀態(tài),f(·)是logistic函數(shù),c>0是整個網(wǎng)絡(luò)的耦合強度,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的述接概率為0<p<1,,其中,ki是第i個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的連接度數(shù),網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)耦合矩陣定義如下根據(jù)文獻,若條件成立,則上述ER隨機網(wǎng)絡(luò)的同步流形是穩(wěn)定的,這里0=λ1<λ2≤…λN是網(wǎng)絡(luò)(4)的耦合矩陣的特征根,μ是f(·)的最大Lyapunov指數(shù).當N較大時,這個條件近似為(1)當p→1,上述條件變?yōu)閏>1-e-μ,這與全局耦合網(wǎng)絡(luò)的結(jié)論是一致的;(2)當0<p<1固定且N→∞,上述條件變?yōu)閏>1-e-μ,這與全局耦合網(wǎng)絡(luò)的結(jié)論也是一致的;(3)當N>>kc=Np且c=1,上述條件變?yōu)閗>4e2μ,這表明網(wǎng)絡(luò)的同步與網(wǎng)絡(luò)的尺寸無關(guān),即只要耦合強度足夠大,這種ER隨機網(wǎng)絡(luò)總能達到網(wǎng)絡(luò)同步.由于隨機網(wǎng)絡(luò)的生成依賴于概率,許多結(jié)論很難用確定性的公式明確地表達出來,通常只能用隨機分析的工具進行理論分析或用數(shù)值仿真來驗證.圖2給出了N很大的情況下,具有不同連接概率p的ER隨機網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步時所對應(yīng)的耦合強度.3.3仿真擬測試下面考慮傳統(tǒng)的NW小世界網(wǎng)絡(luò)的同步問題.因為小世界網(wǎng)絡(luò)的生成依賴于概率,許多結(jié)論很難用確定性的公式明確地表達出來,通常只能用隨機分析的工具進行理論分析或用數(shù)值仿真來驗證.假定,則網(wǎng)絡(luò)模型(3)變?yōu)樵谏鲜鼍W(wǎng)絡(luò)模型中,以概率p加邊的過程相對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)耦合矩陣C中元素以概率p取值為1.記網(wǎng)絡(luò)的第一二大特征根為λsw,2=λsw,2(p,N).文獻詳細討論了小世界網(wǎng)絡(luò)的同步能力,數(shù)值結(jié)果如圖3所示.主要結(jié)論總結(jié)如下:(1)對于給定的耦合強度c>0,假定有足夠多的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)(),若概率p大于一定的閾值,則該網(wǎng)絡(luò)就能最終達到同步;(2)在加邊概率相同的情況下,規(guī)模越大的小世界網(wǎng)絡(luò)的同步能力越強.3.4關(guān)于時變的離散復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)6的時變模型2006年,Earn和Levin提出了一個簡單的時不變的離散生態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型.2007年,我們提出了一個基本的時變離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.假定網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的動力學(xué)方程為:x(n+1)=f(x(n)),則時變離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)方程為這里i=1,2,…,N,n=0,1,…,C(n)=(cij(n)N×N是網(wǎng)絡(luò)的耦合框架矩陣且滿足條件離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型(6)是一個基本的離散網(wǎng)絡(luò)模型,在這個模型的基礎(chǔ)上我們可以派生出很多類似的模型,如考慮時延、脈沖、切換等各種因素.近來,我們深入探討了時變離散復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)(6)的同步.主要結(jié)果如下:定理1:假定H1成立且C(n)(n=1,2,…)是一個N×N的行和為0的實矩陣.假定存在一個非奇異的實矩陣Φ(n),滿足Φ-1(n)C(n)Φ(n)=diag{λ1(n),A2(n),…,λN(n)}和Φ-1(n)Φ(n+1)=diag{β1(n),β2(n),…,βN(n)}.則時變的離散復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)(6)能夠?qū)崿F(xiàn)局部漸近同步的充分必要條件是線性系統(tǒng)在零解漸近穩(wěn)定.假定H1成立且C是一個可對角化的N×N的行和為0的實矩陣,則有(1)時不變的離散復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)局部漸近同步的充分必要條件是線性系在零解漸近穩(wěn)定.(2)若rλmax<1,則時不變的離散復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)局部漸近同步.假定H1成立,C(t)是一個N×N的行和為0的實矩陣且可通過一個常數(shù)矩陣對角化.若|λi(n)|(i=2,3,…,N)對于任意的t≥t0和|λi(t0)|<e-μ0都是非遞增的函數(shù),則時變的離散復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)(1)能夠?qū)崿F(xiàn)局部漸近同步,其中μ0是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點動力系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù).上述定理和推論中的參數(shù)詳見參考文獻.事實上,上述定理的主要思想是將一個高維系統(tǒng)(nN維)的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為很多個(N-1個)低維系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.3.5廣義時變的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)8同步2005年,為了刻畫實際世界的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),我們引入了一個廣義時變的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)模型,動力學(xué)方程如下這里i=1,2,…,N,xi(t)=(xi1(t),Xi2(t),…,xin(t))T∈Rn是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i的狀態(tài)變量,A(t)=(aij(t))n×n∈Rn×n是時刻t時網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部耦合矩陣,C(t)=(cij(t))N×N是時刻t時網(wǎng)絡(luò)的耦合框架矩陣.這里cij(t)定義如下:若t時刻從網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點j(j≠i)之間存在著連接,則t時刻的耦合強度cij(t)≠0;否則,t時刻的耦合強度cij(t)=0(j≠i).另外,耦合框架矩陣C(t)=(cij(t)N×N滿足卜列條件顯然,若C(t)是一個0～1的對稱矩陣且A(t)是一個0～1的對角矩陣,則連續(xù)時變的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(8)變成一個時不變的一致連接的動力網(wǎng)絡(luò)模型.汪小帆和陳關(guān)榮深入探討了這個網(wǎng)絡(luò)模型的同步.這里,時不變的一致連接的動力網(wǎng)絡(luò)模型是廣義時變復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)模型(8)的一個特例.值得注意的是我們并沒有假定矩陣C(t)的對稱性和非對角元素的非負性,僅僅假定矩陣C(t)是不可約的.若矩陣A(t)、C(t)均為常值矩陣,則時變的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)(8)變?yōu)闀r不變的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)(3).連續(xù)時變的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型(8)是一個基本的連續(xù)網(wǎng)絡(luò)模型,在這個模型的基礎(chǔ)上我們可以派生出很多類似的連續(xù)模型,如考慮時延、脈沖、切換等各種因素.過去兒年,我們深入研究了廣義時變連續(xù)復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)(8)的同步.主要結(jié)果概括如下:假設(shè)s(t)為網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)且滿足條件(t)=f(s(t)),其中f(·)為光滑可微的混沌系統(tǒng).令ξi(t)=xi(t)-s(t)(這里不失一般性,令x1(t)=s(t),則得到ξ1(t)=x1(t)-s(t)三0).將ξi(t)代入網(wǎng)絡(luò)(8)中得到再令擴充的向量,則上述誤差系統(tǒng)可以簡寫成一個擴充的向量方程.記函數(shù)F(t,)在平衡點處的Jacobi矩陣為則下面兩個定理分別給出了時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8)同步的充分條件和充要條件.定理2:考慮混沌的時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8).假定F:Ω→Rn(N-1)在正不變集Ω={x∈Rn(N-1):||x||2<r}上連續(xù)可微.若存在兩個對稱的正定矩陣P,Q∈Rn(N-1)×n(N-1),滿足條件P(DF(t,0))+(DF(t,0))TP≤-Q≤-c1I以及則時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8)的同步流形是指數(shù)穩(wěn)定的.這里c1>0且定理3:考慮混沌的時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8).假設(shè)F:Ω→Rn(N-1)在正不變集Ω={x∈Rn(N-1):||x||2<r}上連續(xù)可微,且對于任意的時間t,F(t,0)=0,Jacobi矩陣DF(t,x)在Ω上有界、Lipschitz連續(xù)、關(guān)于時間t是一致的.若存在一個有界的非奇異實矩陣Φ(t),滿足卜列條件以及則網(wǎng)絡(luò)(8)的同步流形是指數(shù)穩(wěn)定的充分必要條件是線性時變系統(tǒng)=[Df(s(t))+λk(t)A(t)-βk(t)IN]w,k=2,…,N的零解都是指數(shù)穩(wěn)定的.類似的,假設(shè)f(·)為光滑可微的非混沌系統(tǒng).令ηi(t)=xi(t)-s(t).將ηi(t)代入網(wǎng)絡(luò)(8)中得到再令擴充的向量,則上述誤差系統(tǒng)可以簡寫成一個擴充的向量方程.記函數(shù)在平衡點=0處的Jacobi矩陣為則下面兩個定理分別給出了時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8)同步的充分條件和充要條件.定理4:考慮非混沌的時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8).假定在正不變集上連續(xù)可微.若存在兩個對稱的正定矩陣,滿足條件以及則時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8)的同步流形是指數(shù)穩(wěn)定的.這里c1>0且定理5:考慮非混沌的時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8).假設(shè)在正不變集上連續(xù)可微,且對于任意的時間t,,Jacobi矩陣(t,x)在上有界、Lipschitz連續(xù)、關(guān)于時間t是一致的.若存在一個有界的非奇異實矩陣Φ(t),滿足下列條件則網(wǎng)絡(luò)(8)的同步流形是指數(shù)穩(wěn)定的充分必要條件是線性時變系統(tǒng)的零解都是指數(shù)穩(wěn)定的.定理2～5將廣義連續(xù)時不變的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(3)的同步穩(wěn)定性理論推廣到廣義連續(xù)時變的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8)的同步情形,并指出了時變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(8)的同步完全由內(nèi)部耦合矩陣A(t)、外部耦合框架矩陣C(t)的特征根λk(t)(k=2,…,N)及其對應(yīng)特征向量的函數(shù)βk(t)(k=2,…,N)共同決定的.這里的外部耦合框架矩陣C(t)并沒有嚴格的限制,如對稱性和非對角線元素的非負性,僅要求它為耗散耦合矩陣.而時不變復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(3)的同步完全由內(nèi)部耦合矩陣A和外部耦合框架矩陣C(t)的特征根λk(k=2,…,λ)所決定.另外,我們還可以用圖論的方法來判定一個網(wǎng)絡(luò)同步流形的穩(wěn)定性值得注意的是,基于連接圖的網(wǎng)絡(luò)同步的判據(jù)并不需要計算Lyapunov指數(shù)和耦合框架矩陣的特征根.這樣對于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不規(guī)則或耦合矩陣特征根不易求得的情況下,我們也可以得到網(wǎng)絡(luò)同步的全局(不是局部)穩(wěn)定的充分條件.基于連接圖的網(wǎng)絡(luò)同步判據(jù)的另外一個突出的優(yōu)點就是可以給出不同邊的不同耦合強度的卜界,且比上面介紹的Lyapunov函數(shù)方法較為不保守.4無標度復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步能力本文簡要的回顧了過去10年里復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的若干基本理論與方法,由于論文的篇幅所限,不可避免的存在某些遺漏,讀者可以參考其他相關(guān)綜述論文[1,2,3,4,24,25,26,27,28,42,47,54