正側(cè)半群的p-總則半群

正側(cè)半群的p-總則半群

1最大正則型半群1.1在文獻(xiàn)中，正半組和m-p組的子集p被稱為p-p正半組，并被記錄為s（p）。如果條件滿足：。此時(shí),P稱為S的一個(gè)C-集。A2)中的a+稱為a的一個(gè)P-逆元。a的全體P-逆元集記為VP(a)。特別地,如果對每一個(gè)p∈P都有,則稱S(P)為一個(gè)強(qiáng)P-正則半群。每個(gè)元素都只有唯一P-逆元時(shí),S(P)稱為一個(gè)以P為射影集的正則*-半群。定義1.2文獻(xiàn)P-正則半群S(P)上同余p稱為一個(gè)強(qiáng)P-同余,如果在S(P)中apb意味著對任意a+∈VP(a)和b+∈VP(b)總有a+pb+。定理A設(shè)為一個(gè)正則x-半群,和分別為以P為下標(biāo)集的兩兩不相交的左、右零半群和的并,記及如果映射Φ:K→T(I),v|→Φv和Ψ:K→T(∧),v|→Ψv滿足條件:則在S上可定義二元運(yùn)算。Cl)則S(P)構(gòu)成一個(gè)最大正則*-同態(tài)像*-同構(gòu)于的強(qiáng)P-正則半群。反之,任意強(qiáng)P-正則半群在P-同構(gòu)的意義下都可如此構(gòu)造。2文獻(xiàn)的線性范圍和檢出限下面兩個(gè)引理收集了一些關(guān)于P-正則半群的結(jié)論。引理2.1設(shè)S(P)為一個(gè)P-正則半群,a,b∈S,p,q∈P。1)文獻(xiàn)對任意的a+∈V(a),a+∈VP(a)當(dāng)且僅當(dāng)a,a+,a+a∈P。2)文獻(xiàn)如果a+∈V(a)且pRaLq,則a*=qa+p為唯一滿足aa*=p和a*a=q的a的P-逆元。3)文獻(xiàn)對任意a+∈Vp(a)有Vp)=Vp(a+a)a+Vp(aa+)。4)文獻(xiàn)對任意e∈E(S),Vp(e)=(P∩Le)(P∩Re)為一個(gè)矩形帶且(P∩Re)(P∩Le)={e}。5)文獻(xiàn)Vp(a)Vp(b)=Vp(ba)。6)文獻(xiàn)下列各款等價(jià)于S(P)為一個(gè)強(qiáng)P-正則半群:引理2.2設(shè)S(P)為一個(gè)P-正則半群。1)文獻(xiàn)S(P)上同余ρ為強(qiáng)P-同余當(dāng)且僅當(dāng)S(P)/ρ為正則*-半群。2)文獻(xiàn)S(P)上最小強(qiáng)P-同余γ為{(x,y)∈S×S|Vp(a)=Vp(b)}的傳遞閉包。3)文獻(xiàn)當(dāng)S(P)為強(qiáng)P-正則半群時(shí),γ={(x,y)∈S×S|Vp(a)=Vp(b)}。4)文獻(xiàn)P)arp}為S的一個(gè)C集使S(Q)為一個(gè)強(qiáng)P-正則半群[以后稱S(Q)為S(P)的強(qiáng)P-閉色]。3有條件映射p先把定理正面部分的證明分成幾個(gè)引理。證明:對任意的,由B1),B2)和B3)有設(shè)S(P)為一個(gè)強(qiáng)P-正則半群,其上的最小強(qiáng)P-同余為γ。從每個(gè)x∈S所在的γ-類xγ中選取一個(gè)代表元,記,。在上定義二元運(yùn)算為,其中xy為x與y在S(P)中的積。引理3.5為一個(gè)正則*-半群。以后,每個(gè)既可看作中元,也可看作S(P)中元,交替使用時(shí)其含義不再特別指出。在中P-逆元記為,顯然,對任意都有,對任意p∈P,為一個(gè)矩形帶,其中和分別為左、右零半群。從而P為和的子直積,令引理3.6映射為雙射。證明:由和,同理,故ξ為映射,對任意和,令,易知因此,ξ為滿射。如果xξ=yξ,那么且使及其對偶等式都成立,以致xγy且xγy,從而x=y,因而ξ是單射。在T上定義二元運(yùn)算:對任意的x,y∈S,引理3.7。證明:ξ顯然為T(Q)到S(P)上的一個(gè)P-同構(gòu)。對任意的p∈P和x∈S(P),定義P上變換xp,φx和wx為引理3.8對任意,xp,φx和wx在上的限制分別為到,和上的同態(tài),使。證明:顯然,且:使。對任意的有設(shè)ρ和λ分別為P到I和A的第一和第二射影,定義引理3.91)對p,q∈P,pρ=qρ當(dāng)且僅當(dāng)pRq且2)對p,q∈P,pλ=qλ當(dāng)且僅當(dāng)pRq且3)對任意,設(shè)則,則。證明:1)如果pρ=qρ,那么一定有。設(shè)p=(pq,pλ),q=(qp,qλ),則pRq,反之,如果pRq,則以致pρ=qρ。3)由為部分半群P上的同態(tài)可知它們保持P中的R和L一關(guān)系,根據(jù)1)、2)有引理3.10B1)～B4)成立。證明:B1)～B3)顯然成立,下證B4)也成立,對任意的q∈P和(,設(shè)。則另一等式對稱可證注意到T中定義的二元運(yùn)算為這說明S(P)P一同一構(gòu)于一個(gè)如定理正面部分所構(gòu)造的強(qiáng)P一正則半群。4元運(yùn)算型型“最大逆半群”注意到純整半群是以其冪等元帶為C-集,最大正則x-同態(tài)像*-同構(gòu)于一個(gè)逆半群的強(qiáng)P-正則半群,得出以下結(jié)論:定理B設(shè)為一個(gè)逆半群,其冪等元半格為Y,I=∪a∈γIa和∧=Ua∈γAa分別為以Y為下標(biāo)集的兩兩不相交的左、右零半群Iα和∧α的并,記及如果映射Φ:K→T(I),v→Φv和Ψ:K→T(A),v|→Ψv滿足條件在S上定義二元運(yùn)算則S構(gòu)成一個(gè)最大逆半群像同構(gòu)于的純整半群。反之,任意純整半群可如此構(gòu)造。引理3.1S是一個(gè)半群。從而Cl)為合理定義，Cl)的可結(jié)合性也可驗(yàn)證如下:引理3.2S是正則半群。證明：設(shè),由Bl)有再根據(jù)引理3.1的證明可知：由對稱性可知為的一個(gè)逆元。引理3.3證明：如果，當(dāng)然有;反之，如果,則，由Bl)和B2)有引理3.4S(P)為一個(gè)最小強(qiáng)P-同余為的強(qiáng)P-正則半群。證明：對任意的由和有且易證和在S中互為P-逆元當(dāng)