一元二次方程專項(xiàng)訓(xùn)練

一元二次方程專題講練一、知識點(diǎn)歸納及題型：概念——解法——實(shí)際應(yīng)用——根的判別式、根系關(guān)系——二次函數(shù)（一）概念：叫一元二次方程。相關(guān)題型：1、判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程；2、求一個(gè)一元二次方程中相關(guān)字母的值。例：eq\o\ac(○,1)、下列方程中，不是一元二次方程的是_________．[]A．2x2+7=0B．2x2+2x+1=0C．5x2++4=0D．3x2+(1+x)+1=0小結(jié)：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的條件是：eq\o\ac(○,1)是整式方程；eq\o\ac(○,2)未知數(shù)的指數(shù)為2；eq\o\ac(○,3)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，即a≠0。eq\o\ac(○,2)、若關(guān)于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，則a的值是_________．判斷a的取值范圍需要把方程整理為一般形式后才進(jìn)行解答。（二）解法：直接開平方法配方法公式法因式分解法適用方程a、b、c較小直接開平方法：方程有根的前提：A≥0配方法：（適用所有方程，但方程易化成的形式）根的情況△>0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△<0沒有實(shí)數(shù)根公式法：有根的前提⊿≥0，一元二次方程根的判別式：⊿另外：⊿≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；4、因式分解法：提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法、5、換元法解方程解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，它可以化高次為低次、化分式為整式。換元法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。6、解含絕對值的方程。相關(guān)題型：1、解方程；2、利用配方法求代數(shù)式的最值或證明恒為正（負(fù)）；3、利用根的判別式判斷根的幾種情況或相關(guān)字母的取值范圍；4、用換元法解方程。5、解含絕對值的方程例：1、請你選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?、3x2-1=02、x（2x+3）=5（2x+3）x2-3x+2=04、2x2-5x+1=0小結(jié)：eq\o\ac(○,1)、形如（x-k）2=h的方程可以用直接開平方法求解eq\o\ac(○,2)、千萬記?。悍匠痰膬蛇呌邢嗤暮形粗獢?shù)的因式的時(shí)候不能兩邊都除以這個(gè)因式，因?yàn)檫@樣能把方程的一個(gè)跟丟失了，要利用因式分解法求解。eq\o\ac(○,3)、當(dāng)方程的左邊是二次三項(xiàng)式的時(shí)候優(yōu)先用十字相乘法求解。eq\o\ac(○,4)、當(dāng)我們不能利用上邊的方法求解的時(shí)候就就可以用公式法求解，公式法是萬能的。例：2①無論X為何值,代數(shù)式x2-2x+11的值均為正數(shù)；②求代數(shù)式-x2+x-的最值。小結(jié):求代數(shù)式的最值，一般要把代數(shù)式配方化為一個(gè)完全平方式加一個(gè)常數(shù)的形式即：的形式。＞0時(shí)，代數(shù)式有最小值為，此時(shí)；＜0,代數(shù)式有最大值為,此時(shí)。例：3、m為何值時(shí)，方程2(m+1)x2+4mx+2m－1=0。(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(3)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(4)無實(shí)數(shù)根。4、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2－2x+6=0沒有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。注意：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)⊿≥0。例：5、用換元法解方程設(shè)，原方程可化為，也就是，解這個(gè)方程，有，，．由＝5得方程，解得，；由＝2得方程，解得，．經(jīng)檢驗(yàn)，，，，都是原方程的解．例：6、解方程（三）、二次三項(xiàng)式的因式分解若方程的兩根分別是x1、x2，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為，即：=。相關(guān)題型：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。例：二次三項(xiàng)式4x2－12x+9分解因式的結(jié)果是()A.B.C.D.（四）根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別是x1、x2，,1、特殊情況：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，即：，有x1+x2=－p,x1﹒x2=q。2、此性質(zhì)存在的前提是⊿≥0。3、構(gòu)造以x1、x2為根的一元二次方程為相關(guān)題型：eq\o\ac(○,1)、已知一根，不解方程求另一根及待定系數(shù)；eq\o\ac(○,2)、已知方程，求含有兩根之和、兩根之積的代數(shù)式的值；eq\o\ac(○,3)、已知方程的根求作合適的方程；eq\o\ac(○,4)、已知兩數(shù)之和與兩數(shù)之積，求這兩個(gè)數(shù)。（這部分內(nèi)容是一元二次方程的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是中考中經(jīng)常考查的內(nèi)容。）eq\o\ac(○,5)與幾何相關(guān)的題型。例：eq\o\ac(○,1)已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。eq\o\ac(○,2)已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值：eq\o\ac(○,3)求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是2+和2－。eq\o\ac(○,4)已知兩數(shù)之和為－7，兩數(shù)之積為12，求這兩個(gè)數(shù)。eq\o\ac(○,5)已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰長為7的等腰三角形的底邊長，求當(dāng)k取何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根。（五）實(shí)際應(yīng)用（與二次函數(shù)最值聯(lián)系）：面積、增長率、銷售等1、求幾何圖形的面積問題一般要從面積公式方面找等量關(guān)系。2、增長率問題：此類問題是在某個(gè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長（或降低）兩次得到新的數(shù)據(jù)，解這類題目需要牢記公式或，其中表示增長（降低）前的數(shù)據(jù)，表示增長率或降低率，表示后來得到的數(shù)據(jù)?！?”表示增長，“—”表示降低。3、利潤問題：“總利潤=總售價(jià)—總成本”或“總利潤=每件商品的利潤×銷售數(shù)量”利潤問題經(jīng)常與配方相結(jié)合求最大利潤。例：eq\o\ac(○,1)一塊長方形木板長40cm，寬30cm。在木板中間挖去一個(gè)底邊長為20cm，高為15cm的U形孔，已知剩下的木板面積是原來面積的，求挖去的U形孔的寬度。eq\o\ac(○,2)某工廠在兩年內(nèi)將機(jī)床年產(chǎn)量由400臺提高到900臺。求這兩年中平均每年的增長率。eq\o\ac(○,3)某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出4件，若商場平均每天盈利2100元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，可使商場每天盈利元．根據(jù)題意，得．解得：，．因盡快減少庫存，故．答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)元．二、典型習(xí)題：A卷（一）一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是，它的二次項(xiàng)系數(shù)是；一次項(xiàng)系數(shù)是；常數(shù)項(xiàng)是。2、已知方程2(m+1)x2+4mx+3m－2=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么m的取值范圍是。3、已知關(guān)于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，則m=。4、已知關(guān)于x的方程(m+3)x2－mx+1=0，當(dāng)m時(shí)，原方程為一元二次方程，若原方程是一元一次方程，則m的取值范圍是。5、已知方程：①2x2－3=0；②；③；④ay2+2y+c=0；⑤(x+1)(x－3)=x2+5；⑥x－x2=0。其中，是整式方程的有，是一元二次方程的有。(只需填寫序號)（二）一元二次方程的解法1、解方程（1）（2）(3)(4)4x2–8x+1=0（用配方法）(5)3x2+5(2x+1)=0（用公式法）2、當(dāng)a,c異號時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是()A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定3、下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的方程是()A.2x2－2x－9=0B.x2－10x+1=0C.y2－y+1=0D.3y2+y+4=04、用配方法解方程，下列配方正確的是（）A． B． C． D．5、二次三項(xiàng)式2x2－2x－5分解因式的結(jié)果是()A.B.C.D.6、對于任意實(shí)數(shù)x，多項(xiàng)式x2－5x+7的值是一個(gè)()A.負(fù)數(shù)B.非正數(shù)C.正數(shù)D.無法確定正負(fù)的數(shù)7、二次三項(xiàng)式2x2－2x－5分解因式的結(jié)果是()A.B.C.D.8、已知代數(shù)式的值是7，則代數(shù)式的值是9、配方,使等式成立:x2－3x+____=(x－_____)2.10、關(guān)于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－2=0的根的判別式的值等于4，則m=。11、已知關(guān)于x的方程(m2－1)x2+2(m+1)x+1=0，試問：m為何實(shí)數(shù)值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根?12、用配方法證明：代數(shù)式－3x2－x+1的值不大于。（三）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=。2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的兩個(gè)根，那么：x1+x2=；x1·x2=；3、關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a=0的一個(gè)根是1－，那么另一個(gè)根是，a的值為。4、如果關(guān)于x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2，那么k=。5、已知方程2x2+mx－4=0兩根的絕對值相等，則m=。6、以3，－1為根，且二次項(xiàng)系數(shù)為3的一元二次方程是()A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=07、設(shè)x1，x2是方程3x2－2x－2=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：(1)(x1－4)(x2－4)；(2)x13x24+x14x23；（四）方程的應(yīng)用1、某化肥廠去年四月份生產(chǎn)化肥500噸，因管理不善，五月份的產(chǎn)量減少了10％．從六月起強(qiáng)化管理，產(chǎn)量逐月上升，七月份產(chǎn)量達(dá)到648噸．那么，該廠六、七兩月產(chǎn)量平均增長的百分率是多少？2、有一間長為20米，寬為15米的會議室，在它們中間鋪一塊地毯為，地毯的面積是會議室面積的一半，四周未鋪地毯的留空寬度相同，則留空寬度為多少米？B卷（一）一元二次方程的概念1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是A． B．C． D．2、已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）A.1B.2C.-2D.-13、已知關(guān)于x的方程（m2-1）x2+（m-1）x-2m+1=0，當(dāng)m時(shí)是一元二次方程，當(dāng)m=時(shí)是一元一次方程，當(dāng)m=時(shí)，x=0。（二）一元二次方程的解法1、如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的最大整數(shù)值為()(A)1.(B)2.(C)0.(D)－1.2、（2011山東威海，9，3分）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（）A． B． C． D．或3、已知方程x2+mx+n=0的兩根為5和－7,則x2－mx+n可分解為()(A)(x+5)(x－7).(B)(x－5)(x－7).(C)(x－5)(x+7).(D)(x+5)(x+7).4、關(guān)于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程的解是。5、孔明同學(xué)在解一元二次方程x2-3x+c=0時(shí)，正確解得x1=1，x2=2，則c的值為．6、已知|a-1|+=0，求方程+bx=1的解.7、（2010年畢節(jié)）26．（本題14分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（6分）（2）當(dāng)時(shí)，求的值．（8分）8、解方程9、代數(shù)式有最小值嗎？如果有，請求出當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)它有最小值，最小值是多少？（三）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1、若關(guān)于x的方程(a2－1)x2+(a－5)x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為倒數(shù),則a的值為______.2、如果方程x2－(m+2)x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的絕對值相等,則m的值為()(A)－2.(B)0,－4(C)－4,0,－2.(D)－2,4,0.3、若關(guān)于x的方程x2－mx－2m=0的兩根的和為4m－3,則兩根的積為()(A)－2.(B)2.(C)6或－2.(D)－6或2.4、（玉溪市2010）.一元二次方程x2-5x+6=0的兩根分別是x1,x2,則x1+x2等于（） A.5 B.6 C.-5D.-65、設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為__________________6、若，是方程的兩個(gè)根，則=__________．7、已知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于________.8、已知一元二次方程的兩根為a、b，則的值是____________．9、關(guān)于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是x1和x2。（1）求k的取值范圍；（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k為整數(shù)，求k的值。10、選做題：從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計(jì)分。題甲：已知關(guān)于x的方程的兩根為、，且滿足.求的值。12、（2010湖北孝感，22，10分）已知關(guān)于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.（1）求k的取值范圍；（4分）（2）若，求k的值.（6分）（四）方程的應(yīng)用1、（2011山東濱州，3，3分）某商品原售價(jià)289元,經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元,設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則下面所列方程中正確的是()A.B.C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2892、如圖，鄰邊不等的矩形花圃ABCD，它的一邊AD利用已有的圍墻，另外三邊所圍的柵欄的總長度是6m．若矩形的面積為4m2，則AB的長度是m（可利用的圍墻長度超過6m）．3、某城市居民最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到元，則該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是_______________．4、如圖，用兩段等長的鐵絲恰好可以分別圍成一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形，其中正五邊形的邊長為（）cm，正六邊形的邊長為（）cm.求這兩段鐵絲的總長.5、商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件．設(shè)每件商品降價(jià)x元.據(jù)此規(guī)律，請回答：（1）商場日銷售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2100元？C卷1、已知方程x2+x－1=0的兩根為x1和x2,則(x12+2x1－1)(x22+2x2－1)的值為___.2、若實(shí)數(shù)x1、x2滿足x12－3x1+1=0,x22－3x2+1=0,則+的值是_________.3、若關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+bx+=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么以a、b、c為三邊的三角形是()(A)以c為斜邊的RtΔ.(B)以a為斜邊的RtΔ.(C)以b為底邊的等腰Δ.(D)以c為底邊的等腰Δ.4、已知:關(guān)于x的一元二次方程(1－2a)x2+2x－1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.(1)求a的取值范圍.(2)設(shè)α、β是此方程的兩個(gè)根,且a=,求+的值.5、已知:關(guān)于x的方程x2－(2k－3)x+(2k－4)=0.(1)無論k取任何實(shí)數(shù),方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)當(dāng)k取何值時(shí),方程的兩個(gè)根都是正數(shù)?(3)k為何值時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都比2大?6、已知x1、x2是一元二次方程2x2－2x＋