近世代數(shù)復習

世代數(shù)模擬試題一一、 單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1、 設(shè)人=B=R(實數(shù)集)，如果A到B的映射：x-x+2,xCR,則是從A到B的()A、滿射而非單射B、單射而非滿射C、一一映射D、既非單射也非滿射2、 設(shè)集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合AXB中含有()個元素。A、2B、5C、7D、103、 在群G中方程ax=b,ya=b,a,bCG都有解，這個解是()乘法來說A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)4、 當G為有限群，子群H所含元的個數(shù)與任一左陪集aH所含元的個數(shù)()A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、 n階有限群G的子群H的階必須是門的()A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)二、 填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)1、 設(shè)集合A1,0,1;B1,2，則有BA。2、 若有元素eCR使每aCA,都有ae=ea=a,則e稱為環(huán)R的。3、 環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個。4、 偶數(shù)環(huán)是的子環(huán)。5、 一個集合A的若干個--變換的乘法作成的群叫做A的一個。6、 每一個有限群都有與一個置換群。7、 全體不等于0的有理數(shù)對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元是，元a的逆元是。8、 設(shè)I和S是環(huán)R的理想且ISR,如果I是R的最大理想，那么9、 一個除環(huán)的中心是一個。1、設(shè)置換和分別為:12345678641735281、設(shè)置換和分別為:12345678641735281234567823187654和的奇偶性,三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)并把和寫成對換的乘積。2、 證明：任何方陣都可唯一地表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。3、 設(shè)集合Mm{0,1,2,,m1,m}(m1),定義Mm中運算“m”為amb=(a+b)(modm),則^叫間是不是群，為什么？四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1、 設(shè)G是群。證明：如果對任意的xG,有x2e,則G是交換群。2、 假定R是一個有兩個以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個包含R的域，那么F包含R的一個商域。近世代數(shù)模擬試題一參考答案一、 單項選擇題1、C;2、D;3、B;4、C;5、D;二、 填空題1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1；2、單位元；3、交換環(huán)；4、整數(shù)環(huán)；5、變換群；6、同構(gòu)；7、1、-;8、S=I或S=R;9、域；a三、 解答題1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知為奇置換，為偶置換。和可以寫成如下對換的乘積：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)

112、 解：設(shè)A是任思萬陣，令B—（AA）,C—（AA）測B是對稱矩陣，而C是22反對稱矩陣，且ABC。若令有AB1ci，這里B/口C1分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則BB.C.C,而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于是兩邊必須都等于0,即：BBjCCj,所以，表示法唯一。3、 答：（Mm,m）不是群，因為Mm中有兩個不同的單位元素0和也四、證明題1、 證：對于G中任意元x,y,由于（xy）2e,所以xy（xy）1y1x1yx（對每個x,從x2e可得xx1）。a2、 證：在F里ab1b1a—（a,bR,b0）有意義，b作F的子集Q所有一（a,bR,b0）bQ顯然是R的一個商域，證畢。近世代數(shù)模擬試題二一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）A、1、2、A、aB、a,eC設(shè)G有6個元素的循環(huán)群，下面的代數(shù)系統(tǒng)（A、1、2、A、aB、a,eC設(shè)G有6個元素的循環(huán)群，下面的代數(shù)系統(tǒng)（G,*）中，G為整數(shù)集合，*為加法B、33eaD、e,a,aa是生成元，則G的子集（）是子群。（）不是群G為偶數(shù)集合，*為加法G為有理數(shù)集合，*為乘法CG為有理數(shù)集合，*為加法D、3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運算是可結(jié)合的？（）a*b=a+2bD、a*b=|a-b|1=（12）（23）（13）,4、 設(shè)］、2、則3=（）A、21B>5、 任意一個具有A、不可能是群3是三個置換，其中2=(24)(14),3=(1324),12C、）D2個或以上元的半群B、不一定是群C它（二、填空題（本大題共10小題，每空A、a*b=a-bB、a*b=max（a,b}C凱萊定理說：任一個子群都同一個同構(gòu)。一個有單位元的無零因子稱為整環(huán)。已知群G中的元素a的階等于50,則a4的階等于a的階若是一個有限整數(shù)n,那么G與同構(gòu)。A={1.2.3}B={2.5.6}那么AAB=。1、2、3、4、5、7、叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的21）°定是群D共30分）是交換群%,a1,L,an使得a。a1 La0。n6、若映射既是單射又是滿射，則稱為。8、 a是代數(shù)系統(tǒng)（A,0）的元素，對任何xA均成立xoa如果滿足G對于乘法封閉；結(jié)合律9、 有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群成立、。如果滿足G對于乘法封閉；結(jié)合律10、 一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、設(shè)集合A=(1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H=(I,(12)},寫出H的所有陪集。2、 設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，“？”是數(shù)的乘法，則“？”是E中的運算，(E,?)是一個代數(shù)系統(tǒng)，問(E,?)是不是群，為什么？3、 a=493,b=391,求(a,b),［a,b］和p,q。四、證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1、 若＜G,*＞是群，則對于任意的a、bCG必有t一的xCG使得a*x=b。2、 設(shè)m是一個正整數(shù)，利用m定義整數(shù)集Z上的二元關(guān)系：a?b當且僅當m|a-b。近世代數(shù)模擬試題二參考答案一、 單項選擇題1、C;2、D;3、B;4、B;5、A二、 填空題1、變換群；2、交換環(huán)；3、25;4、模n乘余類加群；5、{2};6、 映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；三、 解答題1、 解：H的3個右陪集為：{I,(12)},{(123),(13)},{(132),(23)}H的3個左陪集為：{I,(12)},{(123),(23)},{(132),(13)}2、 答：(E,?)不是群，因為(E,?)中無單位元。3、 解：輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：a=b+102b=3X102+85102=1X85+17由此得到(a,b)=17,［a,b］=axb/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3x102)=4x102-b=4x(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、 證明題1、 證：設(shè)e是群＜G,*＞的幺元。令x=a—1*b,則a*x=a*(a—1*b)=(a*a—1)*b=e*b=b。所以，x=a—1*b是a*x=b的解。若xCG也是a*x=b的解，則x=e*x=(a—1*a)*x=a—1*(a*x)=a—1*b=x。所以，x=a—1*b是a*x=b的惟一解。2、 證：容易證明這樣的關(guān)系是Z上的一個等價關(guān)系，把這樣定義的等價類集合2記為Zm,每個整數(shù)a所在的等價類記為［a］={xCZ；m|x-a}或者也可記為a,稱之為模m剩余類。若mIa-b也記為a=b(m)。當m=2時，Z2僅含2個元：［0］與［1］。近世代數(shù)模擬試題三一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1、 6階有限群的任何子群一定不是()。A、2階B、3階C、4階D、6階2、 設(shè)G是群，G有()個元素，則不能肯定G是交換群。A4個B、5個C、6個D、7個3、 有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于()。A、偶數(shù)B、奇數(shù)C、4的倍數(shù)D、2的正整數(shù)次募4、 下列哪個偏序集構(gòu)成有界格()A、(N,)B、(Z,)C、({2,3,4,6,12},|(整除關(guān)系))D、(P(A),)5、 設(shè)S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有()A、(1),(123),(132)B、12),(13),(23)C、(1),(123)D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)1、 群的單位元是的，每個元素的逆元素是的。2、 如果f是A與A間的映射， a是A的一個元，則f3、 區(qū)間】1,2］上的運算ab{mina,b}的單位元是。4、 可換群G中|a|二6,|x|=8,則|ax|二。5、 環(huán)Zg的零因子有。86、 一個子群H的右、左陪集的個數(shù)。7、 從同構(gòu)的觀點，每個群只能同構(gòu)于他/它自己的。8、 無零因子環(huán)r中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為一RS匚。9、 設(shè)群G中元素a的階為m,如果ane,那么m與n存在整除關(guān)系為三、 解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)1、 用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？2、 Si,S2是A的子環(huán)，則sns也是子環(huán)，S1+S2也是子環(huán)嗎？3、 設(shè)有置換(1345)(1245),(234)(456)S6。.求和1；.確定置換和1的奇偶性。四、 證明題(本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分)1、 一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。2、 M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。近世代數(shù)模擬試題三參考答案一、 單項選擇題1、C;2、C;3、D;4、D;5、A二、 填空題1、唯一、唯一；2、a；3、2;4、24;5、八＜6.&相等；7、商群；8、特征；9、mn;三、 解答題1、 解：在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。2、 證：由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b￡S1nS2有a-b,ab￡S1nS2：因為S1,S2是A的子環(huán)，故a-b,abCS1和a-b,abCS2,因而a-b,abCS1AS2,所以S1AS2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：曷見品與應(yīng)均為子甌但況中國-{口；|代人尺￡卜是子環(huán)3、解:1.(1243)(56),1(16524);2.兩個都是偶置換。四、證明題1、 證：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a。，由理想的定義a1a1,因而R的任意元bb?1,這就是說二R,證畢。2、 證：必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,

ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e,所以b=a-1。近世代數(shù)模擬試題四(無參考答案)一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1.設(shè)集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合AXB中含有()個元素。A.2B.5C.7D.10.設(shè)A=B=R(實數(shù)集)，如果A到B的映射：x-x+2,xCR,A.滿射而非單射B.單射而非滿射C.一一映射D.既非單射也非滿射.設(shè)4={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在&中可以與(123)交換的所有元素有()A.(1),(123),(132)B.(12),(13),(23)C.(1),(123)D.S3中的所有元素.設(shè)乙5是以15為模的剩余類加群，那么，乙5的子群共有()個。A.2B.4C.6D.8.下列集合關(guān)于所給的運算不作成環(huán)的是()整系數(shù)多項式全體Z[x]關(guān)于多項式的加法與乘法有理數(shù)域Q上的n級矩陣全體M(Q)關(guān)于矩陣的加法與乘法整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“〃：mW€Z,mn=0整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法〃〃：mnCZ,mn=1二、 填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分).設(shè)“?”是集合A的一個關(guān)系，如果“?”滿足，則稱“?”是A的一個等價關(guān)系。.設(shè)(G,?)是一個群，那么，對于a,bCG,則abCG也是G中的可逆元，而且(ab)t=.設(shè)b=(23)(35),T=(1243)(235)C包那么°=(表示成若干個沒有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。.如果G是一個含有15個元素的群，那么，根據(jù)Lagrange定理知，對于a€G,則元素a的階只可能是5,15,1,3,0.在3次對稱群S3中，設(shè)H=((1),(123),(132)}是S的一個不變子群，則商群G/H中的元素(12)H=o.設(shè)Z6=([0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6為模的剩余類環(huán)，則Z6中的所有零因子是2,3,4。.設(shè)兩一個無零因子的環(huán)，其特征n是一個有限數(shù)，那么，n是。.設(shè)Z[x]是整系數(shù)多項式環(huán)，(x)是由多項式x生成的主理想，則(x)二。.設(shè)高斯整數(shù)環(huán)Z[i]={a+bi|a,bCZ},其中i2=—1,則Z[i]中的所有單位是.有理數(shù)域Q上的代數(shù)元V2+<3在Q上的極小多項式是。三、 解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分).設(shè)Z為整數(shù)加群，Zm為以m為模的剩余類加群，是Z到Zm的一個映射，其中:k-[k],k€Z,驗證：是Z到Zm的一個同態(tài)滿射，并求的同態(tài)核Kero.求以6為模的剩余類環(huán)Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子環(huán)，并說明這些子環(huán)都是Z6的理想。.試說明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關(guān)系，并舉例說明唯一分解環(huán)未必是主理想環(huán)。四、 證明題(本大題共3小題，第19、20小題各10分，第21小題5分，共25分).設(shè)G={a,b,c},G的代數(shù)運算〃”cdc0已知R關(guān)于矩陣的加法和乘法作成一個環(huán)。證明：I是R的一個子環(huán)，但不是理想。21.設(shè)(R,+,?)是一個環(huán)，如果(R,+)是一個循環(huán)群，證明：R是一個交換環(huán)。近世代數(shù)試卷(選擇題有誤，已經(jīng)刪去)一、判斷題(每小題1分，共10分)1、 設(shè)A與B都是非空集合，那么ABxxA且xBo()2、 設(shè)A、B、D都是非空集合，則AB到D的每個映射都叫作二元運算。()3、 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1o()4、 如果循環(huán)群Ga中生成元a的階是無限的，則G與整數(shù)加群同構(gòu)。（）5、 如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。（）6、 群G的子群H是不變子群的充要條件為gG,hH;g1HgHo（）7、 如果環(huán)R的階2,那么R的單位元10。（）8、 若環(huán)R滿足左消去律，那么R必定沒有右零因子。（）9、F（X）中滿足條件p（）0的多項式叫做元在域F上的極小多項式。（）10、 若域E的特征是無限大，那么E含有一個與Z/p同構(gòu)的子域，這里Z是整數(shù)環(huán)，p是由素數(shù)p生成的主理想。（）二、 填空題（每空2分，共20分）1、 設(shè)集合A1,0,1；B1,2,則有BA。2、 如果f是A與A間的映射，a是A的一個元，則f1fa。3、 設(shè)集合A有一個分類，其中A與A.是A的兩個類，如果AA,那么AAj。4、 設(shè)群G中元素a的階為m,如果ane,那么m與n存在整除關(guān)系為。5、 凱萊定理說：任一個子群都同一個同構(gòu)。6、 給出一個5-循環(huán)置換（31425）,那么1。7、 若I是有單位元的環(huán)R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達為。8、 若R是一個有單位元的交換環(huán)，I是R的一個理想，那么％是一個域當且僅當I是O9、 整環(huán)I的一個元p叫做一個素元，如果。10、 若域F的一個擴域E叫做F的一個代數(shù)擴域，如果。三、 改錯題（每小題3分，共15分）1、 如果一個集合A的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在a1a2an里，元的次序可以掉換。2、 有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果?t足G對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。3、 設(shè)I和S是環(huán)R的理想且ISR,如果I是R的最大理想，那么S0。4、唯一分解環(huán)I的兩個元a和b不一定會有最大公因子，若子，那d和d都是a和b的最大公因么必有dd。5、叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,,an5、nan0。四、計算題(共15分)341234,3,4432134并且求出G的單位元及341234,3,4432134并且求出G的單位元及11,2是模6的剩余類環(huán)，且f(x),g(x)24x5x3,計算f(x)g(x)、12342143一?11 ,,.3,4和G的所有子Z6x。如果f(x)g(x)和1,2123412組成的群G,試寫出G的乘法表，群。2、設(shè)ZQ123453f(x)3x5x2、g(x)1、給出下列四個四元置換f(x)g(x)以及它們的次數(shù)。1、設(shè)a和b是一個群G的兩個元且ab ba,又設(shè)a的階am,b的階bn,并且五、證明題(每小題10分，共40分)(m,n)1,證明：ab的階abmn。R,xaxb,xR,將R的所有0,試證明：對于變換普通的乘法，GI2abaI1，b12都是R,xaxb,xR,將R的所有0,試證明：對于變換普通的乘法，GI2abaI1，b12都是R的理R中的非零元不是可逆元就是零因子。這樣的變換構(gòu)成一個集合Gf(ab)a,bR,a(a,u)作成一個群。3、 設(shè)I1和I2為環(huán)R的兩個理想，試證I1I2和I1想。4、 設(shè)R是有限可交換的環(huán)且含有單位元1,證明：近世代數(shù)試卷參考解答一、 判斷題12345678910xx，，x，，，XX二、 填空題1、 1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1。2、a。3、。4、mn。5、變換群。6、13524。7、xiayi,xi,y.Ro8、一個最大理想。9、 p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、 E的每一個元都是F上的一個代數(shù)元。三、 改錯題1、 如果一個集合A的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在a1a2an里，元的次序可以掉換。結(jié)合律與交換律2、 有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果?黃足G對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。消去律成立3、 設(shè)I和S是環(huán)R的理想且ISR,如果I是R的最大理想，那么S0oS=I或S=R八.*?一._... '4、 唯一分解環(huán)I的兩個兀a和b不一te會有取大公因子，右d和d都是a和b的最大公因子，那么必有d=d'。一定有最大公因子；d和d'只能差一個單位因子22叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的都不等于零的元a’a—an使得a0ajann0。不都等干零的元四、 計算題：五、證明題(略)

基礎(chǔ)測試題一、填空題(42分)1、 設(shè)集合M與M分別有代數(shù)運算與一，且M~M,則當一滿足結(jié)合律時,也滿足結(jié)合律；當一滿足交換律時，一也滿足交換律。2、 對群中任意元素a,b,有(ab)i=；3、 設(shè)群G中元素a的階是n,n|m則am=；4、 設(shè)⑻是任意一個循環(huán)群，若|a|,則網(wǎng)與同構(gòu)；若|a|n,則(a)與同構(gòu)；5、 設(shè)6=⑻為6階循環(huán)群，則G的生成元有;子群有7、設(shè)123423416、n次對稱群Sn的階是；置換(1378)(24)的階是8、設(shè)(14)(235),(136)(25),則9、 設(shè)H是有限群G的一個子群，則|G|=10、 任意一個群都同一個同構(gòu)。二、證明題(24)1、 設(shè)G為n階有限群，證明：G中每個元素都滿足方程xne。2、 敘述群G的一個非空子集H作成子群的充要條件，并證明群G的任意兩個子群H與K的交HK仍然是G的一個子群。3、證明：如果群G中每個元素都滿足方程x2e,則G必為交換群。三、解答題(34)1、 敘述群的定義并按群的定義驗證整數(shù)集Z對運算abab4作成群。2、 寫出三次對稱群S3的所有子群并寫出S3關(guān)于子群H=((1