吉林省延邊州汪清縣四中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

吉林省延邊州汪清縣四中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是A. B.C. D.2．已知點(diǎn)，，則經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.3．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，且，則（）A. B.C. D.4．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列5．空間直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)t點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.8．若復(fù)數(shù)，則（）A B.C. D.9．若直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，則直線與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°10．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則11．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為（）A. B.C. D.12．若，則（）A.1 B.2C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14．雙曲線的左頂點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為__________.15．直線的傾斜角為_______________.16．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的下頂點(diǎn)為，如圖所示，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線垂直于，且與交于，兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，四邊形和的面積分別為，，求的最大值.18．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.19．（12分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：21．（12分）已知橢圓，點(diǎn)在上，，且（1）求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（不需要證明）（2）過A點(diǎn)作的垂線，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】過圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為，故選2、C【解析】求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線所過的兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程即可.【詳解】由已知，AB中點(diǎn)為，又，∴所求直線斜率為，故直線方程為，即故選：C.3、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得.故選：B.4、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個(gè)選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對(duì)于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對(duì)于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，a，b，c是實(shí)數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時(shí)a，b，c無對(duì)數(shù)，D不正確.故選：B5、D【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D.6、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得【詳解】解：如圖設(shè)與圓切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A7、B【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因?yàn)椋?，依題意可得，即，解得，所以定義域?yàn)?，且，令，解得或，令解得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B8、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由，故選：A9、C【解析】直接由公式，計(jì)算兩直線的方向向量的夾角，進(jìn)而得出直線與所成角的大小【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以直線與所成角的大小為故選：C10、D【解析】根據(jù)空間里面直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，若，則或相交，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項(xiàng)正確.故選：D.11、C【解析】直接根據(jù)通項(xiàng)公式，求；【詳解】，故選：C12、D【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意知在上恒成立，從而結(jié)合一元二次不等式恒成立問題，可列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求其取值范圍.【詳解】解：由題意知，知在上恒成立，則只需，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性.一般地，由增函數(shù)可得導(dǎo)數(shù)不小于零，由減函數(shù)可得導(dǎo)數(shù)不大于零.對(duì)于一元二次不等式在上恒成立問題，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.14、【解析】根據(jù)雙曲線左頂點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】不妨設(shè)在縱軸的正半軸上，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為：，因?yàn)橛医裹c(diǎn)到直線的距離為，所以有，即雙曲線的離心率為，故答案為：15、【解析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】構(gòu)造法可得，由等比數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項(xiàng)為，則，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）因?yàn)樵跈E圓上，所以，又因?yàn)闄E圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，所以，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）可知，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以，直線的方程為，即，由得，則，，，又，所以，由，得，所以，所以，當(dāng)，直線，，，，，所以當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因?yàn)槿庵侵比庵?，且，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，所以，所以，所以【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線BF與平面DEF所成角為，則，所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為19、（1）an＝2n-12；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出和的值即可.（2）根據(jù)（1）的條件求出b2＝-24，b1＝-8，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的值即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0，所以，所以，解得，所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12.【小問2詳解】設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，因?yàn)閎2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8，所以－8q＝－24，即q＝3，因此.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和，即可證明；【小問1詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；21、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理列出方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）結(jié)合第一問的定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形斜邊中線得到存在點(diǎn)，使得為定值，求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因?yàn)椋?，即，根?jù)，代入整理可得：，所以，整理化簡得:，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過點(diǎn)【小問2詳解】由（1）可知因?yàn)椋≈悬c(diǎn)，則此時(shí)，【點(diǎn)睛】直線過定點(diǎn)問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時(shí)，設(shè)出直線為，聯(lián)立后用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，結(jié)合題干條件得到等量關(guān)系，求出的關(guān)系，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo).22、（I）（II）【解析】（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，可得和的坐標(biāo)，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進(jìn)而可得答案解：（I）以，，x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz