高等數(shù)學(xué)2期末復(fù)習(xí)題和答案

...wd......wd......wd...《高等數(shù)學(xué)》2期末復(fù)習(xí)題一、填空題：1.函數(shù)的定義域是1≦X^2+Y^2<3.2.設(shè)則.3.函數(shù)在點(diǎn)的全微分4．設(shè)則.設(shè)則.5.設(shè)而則6．函數(shù)在點(diǎn)〔1，2〕處沿從點(diǎn)〔1，2〕到點(diǎn)〔2，〕的方向?qū)?shù)是7.改換積分次序；.8．假設(shè)L是拋物線上從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一段弧，則=9.微分方程的通解為.二、選擇題：1．等于〔〕〔上下求導(dǎo)〕A．2，B.C.0D.不存在2．函數(shù)的定義域是〔D〕A．B.C.D．3.〔B〕A.B.C.D.5.設(shè)，且F具有導(dǎo)數(shù)，則〔D〕A.；B.；C.；D..6．曲線，，，在處的切向量是〔D〕A．B.C.D.7．對于函數(shù)，原點(diǎn)〔A〕A．是駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)B.不是駐點(diǎn)C.是極大值點(diǎn)D.是極小值點(diǎn)8．設(shè)I=，其中D是圓環(huán)所確定的閉區(qū)域，則必有〔〕A．I大于零B.I小于零C.I等于零D.I不等于零，但符號不能確定。9.L是平面上不包含原點(diǎn)的任意閉曲線，假設(shè)曲線積分，則a等于〔〕.A-1B1C2D-210．假設(shè)L為連接及兩點(diǎn)的直線段，則曲線積分=〔〕A．0B.1C.D.211.設(shè)D為則〔〕A.；B.；C.；D..12.微分方程的通解為〔〕A.；B.；C.；D.13.〔〕是微分方程在初始條件下的特解.A.；B.；C.；D..三、計(jì)算題：1.設(shè)，求及，其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).設(shè)，求，求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面及法線方程。求函數(shù)的極值計(jì)算，其中D是由圓周及軸所圍成的右半閉區(qū)域.計(jì)算，其中D是以O(shè)〔0,0〕，A〔1,1〕，B〔0,1〕為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.7.計(jì)算，其中是三個(gè)坐標(biāo)面與平面所圍成的區(qū)域.8.計(jì)算，其中L為圓的正向邊界。9.計(jì)算曲線積分其中L是從O(0,0)沿上半圓到A(2,0).10.驗(yàn)證：在整個(gè)面內(nèi)，是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個(gè)函數(shù).11.求微分方程的通解.12.求解微分方程的特解：13.解微分方程.四、應(yīng)用題：1.用鋼板制造一個(gè)容積為V的無蓋長方形水池，應(yīng)如何選擇水池的長、寬、高才最省鋼板.2.矩形的周長為24cm，將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一圓柱體，試求所得圓柱體體積最大時(shí)的矩形面積.3.求拋物線所圍成的閉區(qū)域的面積.4.求拋物面與錐面所圍成的立體的體積.高等數(shù)學(xué)2期末復(fù)習(xí)題答案一、填空題：1、2、3、4、5、6、〔注：方向?qū)?shù)〕7、；8、〔注：〕9、二、選擇題：1、A;2.D;3.B;4.缺5.D;6.D;7.A;8.A;9.A;10.C;11.C;12.C;13.D三、計(jì)算題：1.解：令，則2.解：兩方程分別兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，注意是關(guān)于的二元函數(shù)，得即這是以為未知量的二元線性方程組。當(dāng)時(shí)，有，3.解：旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切向量于是，所求切平面方程為，即法線方程為4.解：解方程組，得四個(gè)駐點(diǎn).又.對且,則是函數(shù)的極小值點(diǎn)；對,則不是極值點(diǎn)；對,則不是極值點(diǎn)；對,且,則是函數(shù)的極大值點(diǎn).于是，函數(shù)有極小值，極大值.5.解：利用極坐標(biāo)變換，令，則，且D可表示為：.于是.6.解：三角形區(qū)域D由直線及軸圍成，選擇先對積分，.〔注：此題也可以參看課本167頁例2的解法〕7.解題過程見課本124頁例1.8.解：在L圍成的圓域D:上全在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，，從而.于是由格林公式，得.9.解：，有在整個(gè)平面上恒成立，所以曲線積分與路徑無關(guān)，故可取軸上線段OA作為積分路徑.OA的方程為，且從0變到2，，從而.10.解：，有，，即有在整個(gè)平面上恒成立，因此在整個(gè)面內(nèi)，是某個(gè)函數(shù)的全微分.取ARB為積分路徑，其中各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，得.11.解法一：方程可改寫為，這是一階非齊次線性微分方程.先求對應(yīng)的齊次線性方程的通解.由，別離變量，得，兩邊積分，解得.用常數(shù)變易法，將換成.即，.代入原方程，化簡得.故.于是方程的通解為.解法二：方程可改寫為.這是一階非齊次線性微分方程，其中.利用通解公式.12.課本212頁第8題第〔1〕小題。解：原方程可寫成.令，即，有，則原方程成為，別離變量，得.兩邊積分，得.代入并整理，得通解.由初始條件得.于是所求特解為.13.解題過程見課本212頁例5.四、應(yīng)用題：1.解法一：設(shè)水池的長、寬、高分別是.xyz=V，從而高，水池外表的面積S的定義域.這個(gè)問題就是求二元函數(shù)S在區(qū)域D內(nèi)的最小值.解方程組在區(qū)域D內(nèi)解得唯一得駐點(diǎn).根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)必存在,因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長，寬均為，高為時(shí)，水池所用材料最省.解法二：設(shè)水池的長、寬、高分別是.xyz=V，水池外表的面積S的定義域.此題就是求函數(shù)在約束條件xyz=V下的最小值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù).解方程組比擬〔1〕，〔2〕，〔3〕式，得x=y=2z，代入〔4〕式中，有,即.于是，x,y,z只有唯一一組解.由問題的實(shí)際意義最小值在定義域內(nèi)必存在.因此，函數(shù)S在其唯一駐點(diǎn)處必取得最小值.故當(dāng)長方形水池的長，寬，高分別是時(shí)所用材料最省.2.解題過程見課本98頁例4.3.利用二重積分求閉區(qū)域的面積解：所求區(qū)域的面積為，其中D為拋物線所圍成的閉區(qū)域.兩曲線交于兩點(diǎn)〔0,0〕，〔1,2〕.選擇先對積分，于是，.4.利用三重積分計(jì)算立體的體積.解法一：所求立體的體積為，其中是拋物面與錐面所圍成的立體.利用直