高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)1 第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算

第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算課標(biāo)要求考情分析1.了解向量的實(shí)際背景．2．理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義．3．理解向量的幾何表示．4．掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．5．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義．6．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.本講主要考查平面向量的線性運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘)及其幾何意義、向量共線定理，有時(shí)也會(huì)有創(chuàng)新的新定義問題，題型以選擇題、填空題為主，屬于中低檔題目.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．[注意](1)向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向．(2)任意向量a的模都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即|a|≥0.2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．常用結(jié)論1．三點(diǎn)共線的等價(jià)轉(zhuǎn)化A，P，B三點(diǎn)共線?eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任意一點(diǎn)，t∈R)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任意一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．2．向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．【小題自測】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．()(2)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反．()(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(向量共線定理認(rèn)識(shí)不清致誤)對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要條件．3．(教材改編)如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(MD,\s\up6(→))為()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b解析：選D.eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.4．化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝________．(2)eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝________．解析：(1)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)原式＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝0.答案：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))(2)05．在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD的形狀為________．解析：如圖，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.由對角線相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形．答案：矩形考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念(自主練透)1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)與－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|C．a(chǎn)與λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a解析：選C.當(dāng)λ取負(fù)數(shù)時(shí)，a與－λa的方向是相同的，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)|λ|<1時(shí)，|－λa|≥|a|不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；|－λa|＝|λ|a中等號左邊表示一個(gè)數(shù)，而等號右邊表示一個(gè)向量，不可能相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)棣恕?，所以λ2一定是正數(shù)，故a與λ2a的方向相同，故選C.2．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|解析：選C.因?yàn)橄蛄縠q\f(a,|a|)的方向與向量a相同，向量eq\f(b,|b|)的方向與向量b相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a與向量b的方向相同，故可排除選項(xiàng)A，B，D.當(dāng)a＝2b時(shí)，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件．3．給出下列命題：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中真命題是________．(填序號)解析：①是錯(cuò)誤的，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)．②是錯(cuò)誤的，|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b的方向不一定相等或相反．③是正確的，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形．④是錯(cuò)誤的，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．⑤是錯(cuò)誤的，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．答案：③平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算(師生共研)(1)(2022·昆明市質(zhì)檢)已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則()A.eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))(2)(2022·太原市模擬(一))已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2DC，點(diǎn)P在線段BC上，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)【解析】(1)取BC邊的中點(diǎn)為D，連接PD，則eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，又eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝－(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).(2)如圖，延長AD，BC交于點(diǎn)E，因?yàn)锳B∥CD且AB＝2CD，所以點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，由題知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，因?yàn)锽，P，E三點(diǎn)共線，所以eq\f(5,6)＋eq\f(λ,2)＝1，解得λ＝eq\f(1,3).【答案】(1)D(2)C(1)平面向量的線性運(yùn)算技巧①不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．②含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解．(2)三種運(yùn)算法則的關(guān)注點(diǎn)①加法的三角形法則要求“首尾相接”，平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”．②減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向“被減向量”．③數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．(2022·佛山市質(zhì)檢(一))平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近B)，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：選D.方法一：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).方法二：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).2.如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)) B．2eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)) D．2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選D.連接CD(圖略)，因?yàn)镃，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以CD∥AB，且AB＝2CD，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))＝2(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故選D.考點(diǎn)三平面向量共線定理的應(yīng)用(思維發(fā)散)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)(巧用結(jié)論1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【解】(1)證明：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．(2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0，解得k＝±1.1．若將本例(1)中“eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b”改為“eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb”，若A，B，D三點(diǎn)共線，則m＝________．解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故當(dāng)m＝7時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線．答案：72．若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k＝________．解析：因?yàn)閗a＋b與a＋kb反向共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))解得k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故當(dāng)k＝－1時(shí)兩向量反向共線．答案：－1[提醒]證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩個(gè)向量有公共點(diǎn)．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知向量a與b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線的條件是()A．m＋n＝0 B．m－n＝0C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0解析：選D.由題意得a＋mb＝λ(na＋b)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λn，,m＝λ，))所以mn－1＝0.2．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在()A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上解析：選B.由eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))得eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，即eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).則eq\o(CP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))為共線向量，又eq\o(CP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))有一個(gè)公共點(diǎn)P，所以C，P，A三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在直線AC上．[A級基礎(chǔ)練]1．(2022·唐山市第二次模擬)在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上的點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選B.由題意可得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，故選B.2．已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0 B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向 D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb解析：選D.由題意得a與b共線同向，故D正確．3．已知A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則使等式x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0成立的實(shí)數(shù)x的取值集合為()A．{0}B．?C．{－1}D．{0，－1}解析：選C.因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝－x2eq\o(OA,\s\up6(→))－(x－1)eq\o(OB,\s\up6(→))，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.當(dāng)x＝0時(shí)，x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，此時(shí)B，C兩點(diǎn)重合，不合題意，舍去．故x＝－1.4．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：選B.由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CE,\s\up6(→))為()A.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選B.eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)（\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))）))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).6．(2022·福州市質(zhì)檢)在△ABC中，E為AB邊的中點(diǎn)，D為AC邊上的點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)F.若eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,7)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(AC,AD)的值為()A．2B．3C．4D．5解析：選C.方法一：如圖，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,7)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,7)eq\o(AD,\s\up6(→))，因?yàn)镕，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\f(3,7)＋eq\f(λ,7)＝1，解得λ＝4，故eq\f(AC,AD)＝4.方法二：設(shè)eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))＋λμeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λμeq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,7)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,7)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(3,7)，,λμ＝\f(1,7)，))解得μ＝eq\f(1,4)，故eq\f(AC,AD)＝4.7．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________．解析：由題意得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(λ＋1)eq\o(BP,\s\up6(→))，則λ＝________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，所以λ＋1＝－eq\f(3,2)，解得λ＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)9．已知e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點(diǎn)共線，則λ＝________．解析：因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.答案：－410．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正確命題有________．(填序號)解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①錯(cuò)；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；eq\o