競賽試題選編之數(shù)列

本文格式為Word版，下載可任意編輯——競賽試題選編之數(shù)列競賽試題選編之數(shù)列一．選擇題

（2023年高中數(shù)學聯(lián)賽）刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,??中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列．這個新數(shù)列的第2023項是

(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049

(2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)給定正數(shù)p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比數(shù)

2

列，p,b,c,q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx?2ax+c=0()

(A)無實根(B)有兩個相等實根(C)有兩個同號相異實根(D)有兩個異號實根數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,?的第1000項是B（A）42設函數(shù)f(x)=

2（B）45（C）48

n?12（D）51

x?x?nx?x?12，（x∈R且x≠

，n∈N）的最小值為an，最大

值為bn，記Cn=（1-an）（1-bn），則數(shù)列{Cn}是（）A.公差不為零的等差數(shù)列B.公比不為1的等比數(shù)列

C.常數(shù)數(shù)列D.不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列等比數(shù)列{an}中，q為公比，(0＜|q|＜1)，Sn為前n項和，S＝limn??Sn，則下

列命題中正確的是

nn

A.Sn＝S(1－q)B.an＝S(1－q)C.an單調(diào)減少趨于零D.Sn單調(diào)減少趨于S

用Sn與an分別表示區(qū)間?0,1?內(nèi)不含數(shù)字9的n位小數(shù)的和與個數(shù)．則lim的值為D（A）

34anSnn??（B）

54（C）

74（D）

94

22十分數(shù)數(shù)列{ai}滿足ai?1?aiai?1?ai?0，且ai?1?ai?1，i=0,1,2,?,n．對

n?1于給定的自然數(shù)n，a1=an+1=1，則?ai等于D

i?0（A）2（B）?1（C）1（D）0

一批花盆堆成六角垛，頂層一個，以下各層都排成正六邊形，逐層每邊增一個花盆，設底層外圈每邊是18個花盆，則花盆總數(shù)是（）個。（A）5832（B）4913（C）4096（D）3375從1，2，3，?,n中去掉一個數(shù)，余下各數(shù)的算術平均數(shù)為5數(shù)是（）

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13，則去掉的

（A）7（B）9（C）11（D）13從?1,2,3,4,???,20?中任選3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列最多有（）對

A、90B、180C、200D、120

在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色．先染1，再染2個偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25．按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，?．則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2023個數(shù)是B（A）3844

（B）3943

（C）3945

（D）4006

n設遞增正數(shù)列a1，a2，?，an是分母為60的最簡真分數(shù)，則?cosi?1aiπ＝

A.0B.8C.16D.30

滿足(an－1)(an＋1＋1)＝0(n＝1，2，3，??，99)的數(shù)列共有

100

A.1個B.3個C.2個D.無窮多個

已知0?a?b?c?d為偶數(shù)，d?a?90，a,b,c成等差數(shù)列，b,c,d成等比數(shù)列，則a?b?c?d?()

A．384B．324C．284D．194二．填空題

（2023年高中數(shù)學聯(lián)賽）已知數(shù)列a0,a1,a2,...,an,...,滿足關系式

n(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，則?i?o1ai的值是____。

（2023年高中數(shù)學聯(lián)賽）設Mn={(十進制)n位純小數(shù)0.a1a2?an|ai只取0或1(i=1,2,?,n?1)，an=1}，Tn是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則limSnTnn??=_______.

2

n-1

2

設a1＝1，an+1＝2an＋n，則通項公式an＝．7×2－n－2n－3；設P、Q∈N，且1≤P<Q≤n，其中n是不少于3的自然數(shù)，則形如體分數(shù)之和為

pq的全

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在一個由十進制數(shù)字組成的數(shù)碼中，假如它含有偶數(shù)個數(shù)字8，則稱它為“優(yōu)選〞數(shù)碼（如12883，787480889等），否則稱它為“非優(yōu)選〞數(shù)碼（如2348756，958288等），則長度不超過n（n為自然數(shù)）的所有“優(yōu)選〞數(shù)碼的個數(shù)之和

n?1n?11?108142??．為．????2?9763??(2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽)等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比是___.

數(shù)列1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,?前1997項之和是_____

有一函數(shù)f(n)(n?N*),n=1時，f(n?1)?f(n)?3；當n為偶數(shù)時，

f(n?1)?f(n)?3；nf(n)?_________

為奇數(shù)時，f(n?1)?f(n)??1。則

等比數(shù)列?an?中，a1?m,a2?n,且|m|?|n|,

?1?111??＝＿＿＿。?????lim則ann???aaa2a3anan?1?an?1?12?有一群熱帶魚，每周死去2條，余下的經(jīng)繁殖長恰為剩下的魚的數(shù)量的2倍，設最初有6條魚，則第n周后有熱帶魚＿＿條。數(shù)列?an?滿足an?(n?1)an?12n(n?2)，且a1?23,則通項an?＿

n已知數(shù)列?an?的通項an?2?1,在a1,a2,?,a100中，先劃去a1，然后每隔

兩項劃去一項，則剩下的各項之和為＿＿＿。

設數(shù)列a1,a2,?,an,?滿足a1?a2?1,a3?2，且對任何自然數(shù)n,都有

anan+1an+2?1，又anan+1an+2an+3?an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+?+a100的值是

111設x,y,z是實數(shù)，3x,4y,5z成等比數(shù)列，且,,成等差數(shù)列，則x?z的

xyzzx值是。

從盛滿a升（a＞1）純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去．則第n次操作后溶液的濃度是．給定遞推數(shù)列??x1?x2?1?xn?2?ax1998n?1?bxn(n?1)，若T＝1998是使得xT＋1＝xT＋2＝1

的最小正整數(shù)，則?i?1xi＝___________.

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1?11?2?11?2?3???11?2?3???2023=．40082023；

給定數(shù)列{xn}，x1=1，且xn?1?3xn?13?xn，則x1999?x601=．0；

等差數(shù)列{an}的首項a1=8，且存在惟一的k使得點(k,ak)在圓x2+y2=102上，則這樣的等差數(shù)列共有17；

數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+λn(n∈N)。若{an}為單增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是

銀行計劃將某項資金的40%給項目M投資一年，其余的60%給項目N．預計項目M有可能獲得19%到24%的年利潤，N有可能獲得29%到34%的年利潤．年終銀行必需回籠資金，同時按一定的回扣率支付給儲戶．為使銀行的年利潤不少于給M、N總投資的10%而不大于總投資的15%，則給儲戶的回扣率的最小值是．10%；

若函數(shù)f(x)是定義在(0,??)上的增函數(shù)，且當n?N?時，f(n)?N?，

f[f(n)]?3n，則f(1)?f(2)＝_________.

若自然數(shù)n與k之間的函數(shù)關系k＝f(n)由等式2(1＋9＋92＋?＋9n－1)＝k(k＋1)確定，則f(n)的表達式為_____________三．解答題

無窮數(shù)列{cn}可由如下法則定義：cn+1=|1?|1?2cn||，而0≤c1≤1．（1）證明：僅當c1是有理數(shù)時，數(shù)列自某一項開始成為周期數(shù)列．

（2）存在多少個不同的c1值，使得數(shù)列自某項之后以T為周期（對于每個T=2,3,?）？

（1）證略．（2）無窮個

?a1?1,a2?2給定由正整數(shù)組成的數(shù)列?（n≥1）．

a?a?an?1n?n?2（1）求證：數(shù)列相鄰項組成的無窮個整點(a1,a2)，(a3,a4)，?，(a2k-1,a2k)，?

均在曲線x2+xy?y2+1=0上．

（2）若設f(x)=xn+xn-1?anx?an-1，g(x)=x2?x?1，證明：g(x)整除f(x)．

證略（提醒：用數(shù)學歸納法）．

設a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,?．試求出an的表達式（答案用有限個關于n的式子相加的形式表示，且項數(shù)與n無關）．

a2n＝2

n+2

－2n－3；a2n+1＝3×2

n+1

－2n－4．

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2數(shù)列{xn},x1=1,xn?1?3x3?2xn?xn,數(shù)列{yn},yn?n11?2xn?3x2n,數(shù)

列{zn},zn?2?3xn1?2xn?3x2n,若{yn}前n項乘積為P,{zn}前n項和為S,

求證:S+P=1

對于公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}，求證：數(shù)列中不同兩項之和仍是這一數(shù)列中的一項的充要條件是存在整數(shù)m≥－1，使a1＝md．已知a0，a1，a2，??，an為等差數(shù)列，f(x)＝

nbbxx?b(b＞0)

求證：?k?0akCnk[f(x)]k[f(1－x)]n－k＝a0f(1－x)＋anf(x)

對于公差為d≠0的等差數(shù)列{an}，求證：數(shù)列中不同兩項之和仍是這個數(shù)列中一項的充要條件是：存在m≥－1，使a1＝md.

某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行頑強的斗爭，到1997年底全縣的綠化率已經(jīng)達到30%(成為綠洲)，從1998年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，原有沙漠面積的16%被栽上樹，改造為綠洲，而原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬?/p>

⑴設全縣面積為1，而1997年底綠洲面積為a1＝30%，經(jīng)過n年綠洲面積為an＋1，求證：an＋1＝

45an?425

⑵至少需要經(jīng)過多少年的努力，才能使全縣的綠化率超過60%(年數(shù)取整，四舍五入)。

已知數(shù)列{an}是首項為2，公比為①用Sn表示Sn+1；

②是否存在自然數(shù)c和k，使得

1212的等比數(shù)列，且前n項和為Sn．

Sk?1?cSk?c＞2成立．

Sn?1?Sn?2；

不存在．

已知公比大于1的等比數(shù)列{an}的每一項都是整數(shù)，且100≤an≤1000，問該數(shù)列最多有多少項，寫出項數(shù)最多時的數(shù)列（寫出每一項）

給定正數(shù)列n（n≥2）,按下述方式構(gòu)成倒立的三角形數(shù)表：第一行依次寫上數(shù)1,2,3,?,n,在上一行的每兩個相鄰數(shù)的正中間下方寫上這兩個數(shù)

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之和，得到下一行（比上一行少一個數(shù)）．依次類推，最終一行（第n行）只有一個數(shù)，例如,n=5時的數(shù)表如右表示．

①求第n行的數(shù)；②當n=2023時，這張表中共有多少個數(shù)是2023的倍數(shù)．

對滿足

x0＝1xn?1xn?1?2cosaπ1999

的數(shù)列，求使xk＝1的最小正整數(shù)k，這里a為小于1999得正整數(shù)。