一元二次函數(shù)與一元二次方程間的關系

前言一元二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容，是初中過渡到高中的銜接點，則它在高中數(shù)學中也具有一定地位。那如何將知識之間的聯(lián)系與認識上的轉變結合起來呢？在學生理解一元二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系基礎上，能夠運用二次函數(shù)及其圖象、性質去解決實際生活中的一些問題，進一步培養(yǎng)學生綜合解題的能力;初步了解運用二分法求一元二次函數(shù)與軸交點的近似值思想；認識一個新的自變量取值范圍,復數(shù)域;培養(yǎng)讀者自主學習能力和創(chuàng)新能力。一一元二次函數(shù)與一元二次方程一元二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容,是初中、高中數(shù)學知識的銜接點,是中考中數(shù)學的重點考察內容之一,要全面掌握一元二次函數(shù)的基礎知識和基本性質,并能分析和解決有關一元二次函數(shù)的綜合問題,合理利用一元二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是十分必要的[1]。首先，從其形式上來看：一元二次函數(shù)與一元二次方程(其中、、為常數(shù)):①它們都是關于的二次式，從上面我們可以看出，時，便是一個一元二次方程。所以，我們可以認為一元二次方程是一元二次函數(shù)的特殊形式,這是用函數(shù)的觀點看一元二次方程。②條件上，都是在保證的情況下，去認識一元二次函數(shù)和一元二次方程。如果時,再談便無意義。③從其表達式上可知道，無論是一元二次函數(shù)的值，還是一元二次方程的解應該都與系數(shù)、、有關。其次，我們還可以從其內涵上來看：①一元二次方程是求時的某確定值，即方程的根。實質是用、、來表示,如將反代入表達式，則值為0.②一元二次函數(shù)是研究變量隨自變量的變化情況，反應的是的變化規(guī)律。當變化時，也隨著以變化。而當時，求出方程的兩根、。而此時的、正是一元二次函數(shù)與軸的交點.最后，我們知道，無論是一元二次函數(shù)還是一元二次方程，其交點或根都與系數(shù)、、有關。有交點就說明方程有根。那么，是不是所有的一元二次方程都有根或者說所有的一元二次函數(shù)都與軸有交點呢？又是不是只要一元二次方程有根，一元二次函數(shù)就與軸有交點呢?先看例題：例1求解一元二次方程的根.解利用配方法，得在初中我們無法解決一個負數(shù)的開平方根，也就是說當在實數(shù)范圍內，不能對一個負數(shù)進行開平方。即一個實數(shù)的平方是一個非負實數(shù)。所以，在實數(shù)范圍內一個負數(shù)的開平方根是不存在的。即此方程無根。例2在平面直角坐標系中畫出一元二次函數(shù)圖象，并觀察它與軸的交點。解由可知其開口向上，所以我們應先找出最小值及對稱軸由配方法，得圖像如圖－1所示：所以，該函數(shù)與軸無交點。圖-1一元二次函數(shù)一元二次方程一元二次函數(shù)可化為與軸的交點數(shù)方程根的個數(shù)當22當00當11當00當22當11上面兩例題告訴我們，并不是所有的一元二次方程都有實數(shù)根，也不是全部一元二次函數(shù)都與實數(shù)軸軸有交點。既然這樣，那怎樣的一元二次方程才有實數(shù)根，又是什么樣的一元二次函數(shù)才與實數(shù)軸軸有交點呢？上面已經(jīng)說過，無論是方程的根，還是函數(shù)與軸的交點坐標都應該和其系數(shù)、、有關。所以，現(xiàn)在我們應該考慮，能否通過它們的系數(shù)關系來判斷一元二次方程有根或一元二次函數(shù)有交點的問題。有根，有幾個根；有交點，又有幾個交點；滿足有根或有交點時，系數(shù)之間是否呈現(xiàn)一定的關系和規(guī)律呢？綜上，我們可以看到，無論,且時，=1\*GB3①.當時,一元二次函數(shù)與軸有兩個不同的交點，且相應方程有兩個不同的實數(shù)根；=2\*GB3②.當時，一元二次函數(shù)與軸僅有一個交點和對應方程有一對相等的根（即）;=3\*GB3③.當時，一元二次函數(shù)與軸無交點，對應方程無實數(shù)根。亦說明一元二次函數(shù)與一元二次方程間是有著密切聯(lián)系的。它們都有一共同特征：就是一元二次函數(shù)與軸有無交點和一元二次方程有無實數(shù)根都決定于與0的比較。一元二次函數(shù)與軸有無交點和一元二次方程有無根都與表達式有關，并把它作為判斷有無交點和有無根的依據(jù)，所以叫它為判別式,記為△[2]。（注：它只是一個記號.）判別式給了我們一個判別一元二次方程是否有根和一元二次函數(shù)是否與軸有交點的方法。那怎樣去運用它的呢?例3已知方程沒有實數(shù)根，其中是實數(shù)．判定方程有無實數(shù)根．這是一個典型的判別式應用的問題，先通過無實數(shù)根，則判別式小于0，求出的取值范圍，再對與0的比較，進而對方程有無實數(shù)根作出判斷。這是純方程思想的解法，我們已經(jīng)知道，方程有無根實際上就等價于函數(shù)與軸有無交點。既然這樣，我們何不用函數(shù)的觀點去看一元二次方程呢！二用一元二次函數(shù)的觀點看一元二次方程例4如圖－2，以的速度將小球沿以地面成300角的方向擊出時，球的路線將是一條拋物線，如果不計空氣阻力，球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有關系圖－2(1)球飛行高度能否達到?呢？呢？（2）若能，需多長時間呢？解當時，是球飛行的最大高度。,即球不能達到;能達到，當，則或.此題實際上是求分別滿足時,是否存在實數(shù)解，但這要分別對這三個一元二次方程進行討論,這是很煩瑣的。如按以上的解法,就是充分運用了函數(shù)的性質,進而將問題就簡單化、明了化。它是用變量和函數(shù)來思考問題的方法就是函數(shù)思想，函數(shù)思想是函數(shù)概念、圖像和性質等知識更高層次的提煉和概括，是在知識和方法反復學習中抽象出的帶有觀念的指導方法。還有在一些考題中，我們只一味的用純數(shù)學的方法去解，較為抽象，況且我們已經(jīng)掌握一些常見函數(shù)圖象，那我們何不借助圖形加以理解呢？例5（12分）一開口向上的拋物線與軸交于、兩點，記拋物線頂點為，且.=1\*GB2⑴若為常數(shù)，求拋物線的解析式；=2\*GB2⑵設拋物線交軸正半軸于點，問是否存在實數(shù)，使得為等腰三角形？若存在，D求出的值.不存在，請說明理由。解=1\*GB2⑴根據(jù)根與系數(shù)的關系（韋達定理[3])，有AB,,為常數(shù)。C所以，,,又由圖可知圖－3，解得,,.拋物線的解析式為：.=2\*GB2⑵假設存在,使,則有,解得或=1\*GB3①當時，拋物線與軸交于點與軸交于兩點和，都滿足條件。所以當，是等腰三角形.=2\*GB3②當時，拋物線與軸的交點為原點與已知拋物線與交于正半軸矛盾。所以，不成立，應舍去.綜上存在實數(shù)，使為等腰三角形。在解一些常見函數(shù)時，往往借助其一般圖形，更為便捷地對題目進行了解答，這是數(shù)與形的結合——即數(shù)形結合思想。三數(shù)形結合解一元二次函數(shù)數(shù)形結合思想，在中學數(shù)學里，我們不可能把“數(shù)”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數(shù)問題可以幾何化，幾何問題也可以代數(shù)化，“數(shù)”和“形”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透。在學生理解二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系基礎上，能夠運用二次函數(shù)及其圖象、性質去解決現(xiàn)實生活中一些問題，進一步培養(yǎng)學生綜合解題的能力。下面我們根據(jù)數(shù)形結合，理解如何用二分法[4]求函數(shù)零點的近似值例6探究：觀察二次函數(shù)的圖像（如圖－4），我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間上有零點(1)。（1）使變量等于零的自變量的取值。（在笛卡爾坐標系中,函數(shù)圖像與軸的交點）計算(1)與的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有什么特點？(2)在區(qū)間上是否也具有這種特點呢？(3)用二分法驗證-1和3是函數(shù)的零點.解（1）將－2、1、代入函數(shù)中，得,,,由圖可知,零點左右的函數(shù)值異號,由此我們可以猜想與異號.是不是呢？－103（2）將2和4代入函數(shù)，,,則,-3，(1)中猜想成立.圖－4(3)現(xiàn)在我來用二分法去驗證－1和3是函數(shù)的零點.定義通過每次把的零點所在小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個端點逐步迫近函數(shù)的零點，以求得零點的近似值，這種方法叫做二分法。現(xiàn)任取兩數(shù)、,且,使與異號,如圖，任取,則,那么，即就在上取，就任取此時第一步：將代入函數(shù)中，得，取第二步：再將代入函數(shù)中，得,…………第步：將代入函數(shù)中，討論=1\*GB3①若，則；=2\*GB3②若，則……第十二步：,所以，第十三步：，第十四步:,則取……直至,即同理由此可以得到以下結論：設二次函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若存在一個點，使當，且,都有,則必為零點,必有,即為方程的根（其實這對所有連續(xù)函數(shù)都成立,但我們現(xiàn)在研究的是一元二次函數(shù)與一元二次方程的關系,所以只說在一元二次函數(shù)中.此結論是二分法求近似值的理論依據(jù)）.四二分法在一元二次函數(shù)中的應用例7運用二分法求方程的正根，要求誤差小于0.05.解把求的轉化為求函數(shù)與軸的交點.0畫圖，結合圖形分析。如圖－5求正根，就是與軸正半軸的交點，所以，我們可把區(qū)間取為圖－5,所以在區(qū)間內有一正根引用公式：[5]取n=6,計算結果列表如下：104212021-161.51.6251.5625所以方程的正根近似值為.由上可知，無論是根與系數(shù)，還是二分法，我們都是在一元二次方程或一元二次函數(shù)在實數(shù)內存在相應的根或相應的零點的前提下進行的運算。此刻，我們在想，一元二次方程可以寫成通式的形式，那么，是不是只要我們把根取值的范圍擴充、放大，不只局限于實數(shù)域，這樣來保證形如的方程在這個新范圍內有根，這不就讓我們的范圍更廣、性質更為一般了嗎！那這個范圍如何定義呢？五復數(shù)域中的一元二次方程和一元二次函數(shù)上面是在實數(shù)域上討論了一元二次函數(shù)與軸交點和一元二次方程根的問題,我們知道在實數(shù)域中,有些一元二次函數(shù)與軸無交點,有些一元二次方程無解。實數(shù)域不過是滿足某些條件下,的取值范圍。那么有沒有一個范圍,使,都滿足一元二次函數(shù)與軸有交點,一元二次方程都有解?；卮鹗强隙ǖ?這就是復數(shù)域。復數(shù)域是如何產(chǎn)生的呢？我們的目標是讓這個域滿足一定的運算，使一切形如的方程都有根。首先，在實數(shù)域內有根這是勿庸置疑的事；然而，當時，根據(jù)知，在實數(shù)域內無根。所以，要求在當時，在復數(shù)域內有根。定義：有一個域,使得在中滿足運算，我們叫它復數(shù)域。由此可知形如的方程在復數(shù)域中有：=1\*GB2⑴當，方程有根;=2\*GB2⑵當，方程有根;所以，形如的方程在我們的復數(shù)域內都有解。又因一元二次函數(shù)與一元二次方程是密切聯(lián)系的，所以，形如的一元二次函數(shù)應在平面上一定也存在零點，即零點坐標為：=1\*GB2⑴當，函數(shù)有零點;=2\*GB2⑵當，函數(shù)有零點。綜上，在我們的復數(shù)域中，無論是形如的一元二次函數(shù)還是形如的一元二次方程都有相應的零點或相應的根。結束語通過本文研習，我們更近一步認識了一元二次函數(shù)，更清楚地明白了它與一元二次方程間的密切關系,初步掌握了除因式分解、求根公式外的另一種求一元二次函數(shù)與軸交點的方法—