專題13指數函數及其性質（解析版）

專題13指數函數及其性質【考點預測】知識點一、指數函數的概念：函數（且）叫做指數函數，其中x是自變量，a為常數，函數定義域為．知識點二、指數函數的圖象及性質：時圖象時圖象圖象性質①定義域，值域②，即時，，圖象都經過點③，即時，等于底數④在定義域上是單調減函數④在定義域上是單調增函數⑤時，時，⑤時，時，⑥既不是奇函數，也不是偶函數知識點詮釋：（1）當底數大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．（2）當時，，；當時，．當時，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．當時，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．（3）指數函數與的圖象關于軸對稱．知識點三、指數函數底數變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時，（底大冪大）時，（2）特殊函數，，，的圖像：【典型例題】例1．（2022·重慶市巴川國際高級中高一期中）已知函數．(1)用定義法證明在上單調遞增；(2)若對任意恒成立，求實數的取值范圍．【解析】（1），任取實數，且，；，根據指數函數性質，，又，，，即，根據單調性的定義可得，在上單調遞增.（2），為上的奇函數，由得：，由（1）知：在上單調遞增，在上恒成立；當時，，在上恒成立；令，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，，，即實數的取值范圍為.例2．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期中）已知函數是奇函數.(1)求的值，并判斷的單調性（不必說明理由）；(2)若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍.【解析】（1），，

檢驗：，定義域為，，為奇函數，故.

∴，∴為增函數.（2），，

設，因為，即存在，使b成立，當時，，.例3．（2022·江蘇·淮陰高一期中）已知函數為定義域內的奇函數.(1)求的值；(2)設函數，若對任意，總存在使得成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）因為，是奇函數，所以，解得，此時，是奇函數.故.（2）當時，，故，則，又因為恒成立；故當時，恒成立，符合條件.當時，當時，根據復合函數單調性可得在上單調遞增，，所以，令，因為都在上單調遞增，故在單調遞增，又，所以；當時，根據復合函數單調性可得在單調遞增，在單調遞減，故，所以令，都是上的單調遞增函數，故也是上的單調增函數，又當時，，故在上恒成立，故在無解，即不滿足條件；綜上所述，.例4．（2022·山西省運城中高一期中）已知函數是定義域為的奇函數.(1)求函數的解析式；(2)判斷在上的單調性并用定義證明；(3)設，求在上的最小值.【解析】（1）∵為奇函數，∴，可得，此時，滿足，即函數是定義域為的奇函數，所以函數的解析式為；（2）在上為增函數.證明：設為R上任意兩個實數，且，,,∴，∴在上為增函數.（3）由，可得,令，由(2)知為增函數，∵，∴，令,當時，在上單調遞增,故；當時，在上單調遞減，在上單調遞增,故；當時,在上單調遞減，故;綜上所述,.例5．（2022·重慶南開高一期中）已知函數滿足．(1)求函數的解析式；(2)若不等式對恒成立，求實數t的取值范圍．【解析】（1），解得：．（2），和均為單調遞減函數，故為在上單調遞減的函數，又函數的定義域為，則，所以為奇函數，即對恒成立，整理得：對恒成立，當時，不等式等價于對恒成立，，當時，，令，，由于所以，當時取等，∴，綜上：．【過關測試】一、單選題1．（2022·北京高一階段練習）函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，因為，所以函數單調遞增，當時，，因為，所以函數單調遞減．故選：C．2．（2022·重慶高一期中）已知函數的圖像恒過定點，則點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于函數，令，解得，所以，即函數恒過定點.故選：A3．（2022·湖南省岳陽縣第一高一階段練習）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，故選：C.4．（2022·天津·南開大學附屬高一期中）已知函數，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，得，，即.故選：B5．（2022·江蘇省新海高級高一期中）已知函數滿足對，都有成立，則實數a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得在上單調遞增，則，解得，故選：C6．（2022·遼寧·育明高中高一期中）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得，令，其中.則由可得.又注意到：在R上單調遞增，在R上單調遞減，則在R上單調遞增.則由可得，即.故選：C7．（2022·山東青島·高一期中）設函數，若實數滿足：，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作函數的圖象，如圖，設，，所以，，，所以，，，故，故選：D8．（2022·福建·三明高一期中）已知函數，若，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，，由，得因為單調遞減，所以單調遞減，又時，在上單調遞減；所以，解得，所以實數的取值范圍為，故選：A二、多選題9．（2022·黑龍江·虎林市高級高一期中）以下命題正確的是（

）A．,使B．若函數在上單調遞增,則正實數的取值范圍是C．若函數的定義域為,則函數的定義域為D．函數單調遞增區(qū)間為【答案】BD【解析】解:由題知,關于選項A,不妨令,單調遞減,,,即,,,故選項A錯誤;關于選項B,在上單調遞增,,解得,故選項B正確;關于選項C,的定義域為,則的定義域為,解得,故選項C錯誤;關于選項D,為復合函數,單調遞減,在上單調遞減,單調遞增,在上單調遞增,單調遞減,故選項D正確.故選:BD10．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級高一期中）已知函數，，則下列結論正確的是（

）A．為奇函數 B． C． D．【答案】ACD【解析】，，故A正確；單調遞增，∴，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD11．（2022·江蘇·淮陰高一期中）已知函數的圖象過原點，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則下列說法正確的是（

）A．， B．的值域為C．若，則 D．若，且，則【答案】AD【解析】∵過原點，∴，∴①，又∵時，，∴時，，由題知圖象無限接近直線，則②，由①②知，，故A正確；所以，，，所以B錯誤；的圖象如下：由圖知，在上單調遞減，因為，則，故C錯誤；∵，∴為偶函數，又∵，且，在上單調遞減，在上單調遞增，∴，∴，故D正確.故選：AD.12．（2022·重慶高一期中）以下命題中是真命題的有（

）A．若定義在上的函數在是增函數，在也是增函數，則在為增函數B．若函數是定義在上的單調遞增函數，則一定在上單調遞增C．函數，則直線與的圖像有1個交點D．，都有函數在上是單調函數【答案】BD【解析】，顯然在是增函數，在也是增函數，而在上不是增函數，所以A項錯誤；因為函數是定義在上的單調遞增函數，所以，有，則，則，所以一定在上單調遞增，B項正確；顯然0不在的定義域內，所以，與的圖像沒有交點，C項錯誤；當時，函數在上單調遞增，所以在上是單調函數；當時，函數對稱軸為，當且僅當，即時等號成立，此時可得函數在上是單調遞增函數；當時，函數對稱軸為，當且僅當，即時等號成立，此時可得函數在上是單調遞增函數.綜上所述，，都有函數在上是單調函數，D項正確.故選：BD.三、填空題13．（2022·河南洛陽·高一期中）若函數為奇函數，則實數a=______．【答案】【解析】因為是奇函數，所以，即，所以，所以.故答案為：-1.14．（2022·廣東東莞·高一期中）已知函數為定義在上的函數滿足以下兩個條件：（1）對于任意的實數恒有；（2）在上單調遞增.請寫出滿足條件的一個的解析式，___________.【答案】（答案不唯一）【解析】根據題意，不唯一，不妨取，因為，且是上的單調增函數，故滿足題意.故答案為：.15．（2022·安徽·淮北高一期中）函數的單調遞增區(qū)間___________.【答案】【解析】令，即，解得，所以的定義域為，因為在上遞增，在上遞減，且在上遞減，所以的單調增區(qū)間為，故答案為：16．（2022·重慶市永川北山中高一期中）已知函數，若方程恰好有三個實數根，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】函數的圖象如圖所示，因為恰好有三個實數根，即函數與的圖象有三個交點，由圖象可知，實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．（2022·重慶南開高一期中）已知函數的圖象過原點,且無限接近直線但又不與該直線相交．(1)求函數的解析式,并畫出的圖象;(2)結合圖象,寫出不等式的解集．【解析】（1）解:由題知,,且函數無限接近直線,但又不與該直線相交∴,即,,為偶函數,只需考慮的圖象,再將的圖象關于軸對稱,即可得到的圖象,時,,先將圖象橫坐標不變,縱坐標擴大為原來的4倍即可得到,再將圖象關于軸對稱,即可得到的圖象,再將圖象向上平移4個單位即可得到,再將的圖象去除,將圖象關于軸對稱,即可得到的圖象,所以畫圖象如下所示:（2）不妨令,可得,結合圖象可知不等式的解集為．18．（2022·江蘇南通·高一期中）已知奇函數和偶函數的定義域均為，且.(1)證明：函數在上單調遞增；(2)求函數在區(qū)間上的最大值.【解析】（1）因為，①所以.②因為奇函數和偶函數，所以.③②+③得，.設任意，且，因為，所以，，所以，所以函數在上的單調遞增.（2）因為是偶函數，且在上的單調遞增，所以在上的單調遞減.①當即時，在上的最大值為；②當即時，在上的最大值為.19．（2022·北京高一階段練習）設函數.(1)判斷函數的奇偶性并證明；(2)設，若，求的取值范圍.【解析】（1）函數是奇函數，證明如下：函數，，因為，，且所以，函數是奇函數.（2），設，則，，，而，故，即在R上是增函數，若，即，即，已知，令解得或，①當時，要使，則，②當時，此時，要使，則；③當時，要使，則，綜上，若，當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍為.20．（2022·河南洛陽·高一期中）已知（，且）．(1)解關于x的不等式；(2)若，且對，，求實數n的取值范圍．【解析】（1）可化為，即，因為恒成立，故．當，不等式的解集為，當時，不等式的解集為．（2）當時，因為，是減函數，所以是減函數，又因為，得，即．當時，不等式恒成立，，當時，不等式兩邊同除以得：，因為，當且僅當時等號成立，所以．綜上，實數n的取值范圍是．21．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)龍城高級高一期中）已知函數為定義在上的奇函數.(1)求的值；(2)根據單調性的定義證明函數在上單調遞增；(3)若對任意實數恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）因為函數為定義在上的奇函數，所以，得，經檢驗符合題意，所以；（2）證明：根據（1）知，，且，則，因為，所以，，，所以，即